主動再制造設計下制造/再制造博弈模型研究

夏西強,朱慶華

(1.鄭州大學商學院,河南鄭州450001;2.上海交通大學安泰經濟與管理學院,上海200030);

1 引 言

進入21世紀,環境惡化、資源短缺等問題越來越突出.再制造作為資源節約和環境保護的有效手段,逐漸受到企業的重視和應用.通過再制造實踐,企業認識到如果在產品設計階段考慮主動再制造設計1主動再制造設計(下面簡稱“再制造設計”)的概念:指產品設計階段對產品的再制造性進行考慮,并提出再制造性的指標和要求,使得產品在壽命末端具有良好的再制造性[1].,則可以顯著提高再制造效益[2].Steinhilper等[3]認為在產品設計階段就考慮產品的再制造性,能夠顯著提高產品在壽命末端的再制造能力,設計階段可以決定產品的2/3的再制造性.Magrab等[4]認為再制造設計有利于原始制造商進行產品檢測、清洗、組裝和維修.Wang等[5]把再制造分為三個階段:回收–生產–銷售,在生產階段面臨的主要問題之一是原始制造商與再制造商如何承擔再制造設計費用,以使原始制造商選擇再制造設計,也即如果進行再制造設計,再制造設計費用應由原始制造商承擔還是再制造商承擔?同時,再制造設計帶給原始制造商的收益大還是再制造商的收益大?基于上述問題,本文建立了再制造設計下原始制造商與再制造商博弈模型,對比分析了由原始制造商承擔再制造設計費用和由再制造商承擔再制造設計費用兩種情況下,單位再制造節約成本和單位再制造設計努力程度給兩種產品帶來的單位收益對再制造產品邊界回收率、單位零售價格、銷售量及銷售利潤的影響.

目前,國內外關于再制造設計對原始制造商與再制造商市場競爭關系的研究主要有Gray等[6]以打印機為例研究得到再制造設計不僅可以提高廢舊產品的拆解效率,還可以增加再制造商和原始制造商的邊際效益,但是原始制造商為了減弱再制造產品帶來的市場競爭,在產品設計初期,對墨盒使用焊接技術,以增加其再制造生產成本.Orsdemir等[7]建立了原始制造商與再制造商博弈模型,基于此模型,考慮了原始制造商如何通過產品質量設計來影響雙方的市場競爭,不僅得到了新產品與再制造產品在市場競爭中存在的條件，還分析了質量高低對環境、消費者剩余和社會剩余的影響.Wu[8]基于原始制造商再制造設計策略(易于再制造設計與不易于再制造設計)建立了原始制造商與再制造商博弈模型,研究得到了再制造設計是原始制造商協調與再制造商競爭的有效策略.進一步,Wu[9]基于原始制造商再制造設計(易于再制造設計與不易于再制造設計)與再制造商價格策略(高價策略與低價策略)建立了博弈模型,分析了不同策略對新產品與再制造產品市場競爭的影響.

綜上,可以看出再制造設計對再制造商與原始制造商市場競爭關系影響的研究已經取得了很大的成就,但是再制造設計費用由誰支付或者如何分擔,是促進再制造設計的根本問題,還未見文獻發表.基于此,本文建立了原始制造商與再制造商博弈模型,解決如下問題:一是原始制造商與再制造商愿意承擔再制造設計費用的邊界是什么?二是再制造設計收益對原始制造商與再制造商市場競爭(主要表現在單位銷售價格、銷售量及銷售利潤)的影響如何?通過解決上述兩個問題,以期為原始制造商和再制造商如何合作促進再制造設計提供決策依據.

2 原始制造商與再制造博弈模型

本文基于再制造設計,建立了一個原始制造商與一個再制造商的博弈模型.原始制造商只生產新產品,決策變量是新產品的單位零售價格;再制造商只生產再制造產品,決策變量是再制造產品的單位零售價格.原始制造商與再制造商追求的都是各自利潤最大化,具體見圖1.此博弈模型考慮了由原始制造商承擔再制造設計費用和由再制造商承擔再制造設計費用兩種情況,對比分析了再制造設計努力程度對兩種產品單位零售價格、銷售量及銷售利潤的影響.

c表示生產單位新產品的成本;λ表示廢舊產品的回收率;pn表示單位新產品的零售價格;pr表示單位再制造產品的零售價格;πOEM表示原始制造商的銷售利潤;πr表示再制造商的銷售利潤;k表示再制造設計努力程度系數;qn表示新產品的需求量,是原始制造商決策變量;qr表示再制造產品的需求量,是再制造商決策變量;s表示與新產品相比,生產單位再制造產品,所節省的成本;δn表示單位再制造設計努力程度給單位新產品帶來的收益,則δn＞0;δr表示單位再制造設計努力程度給單位再制造產品帶來的收益,則δr＞0;δ表示在消費者心目中,單位再制造產品的價格與單位新產品的價格比值,則0≤δ≤1;τ表示再制造不進入市場時,再制造設計努力程度,是原始制造商的決策變量;τr表示再制造商承擔再制造設計費用時,再制造設計努力程度,是再制造商的決策變量;τOEM表示原始制造商承擔再制造設計費用時,再制造設計努力程度,是原始制造商的決策變量;λr表示再制造商承擔再制造設計費用時,廢舊產品的回收率邊界值,隨兩種產品需求變化而變化;λOEM表示原始制造商承擔再制造設計費用時,廢舊產品的回收率邊界值,隨兩種產品需求變化而變化.

圖1 再制造設計下原始制造商與再制造商博弈示意圖Fig.1 Game schematic bewteen OEM and remanufacturer based on design for remanufacturing

借鑒文獻[10,11],再制造產品不進入市場、再制造產品進入市場且原始制造商承擔再制造設計費用、再制造產品進入市場且再制造商承擔再制造設計費用,再制造設計費用分別為

借鑒文獻[12,13]假設單位產品的零售價格與需求量滿足如下關系pn=1?qn?δqr,pr=δ(1?qn?qr).由此可得

2.1 再制造產品不進入市場

再制造不進入市場時,市場上只存在新產品.不考慮再制造設計成本,原始制造商銷售單位新產品獲得的利潤等于單位零售價格減去單位新產品的生產成本再加上因再制造設計獲得收益,也即pn?c+τδ.由此可得銷售產品數量為qn時獲得的利潤為(pn?c+τδ)qn.最終利潤減去再制造設計的費用,也即(pn?c+τδ)qn?kτ2.由此,可得原始制造商的模型如下.

容易證明,式(1)中的πOEM是關于pn,τ的凹函數.因此,根據式(1)可得最優解

借鑒文獻[10],為了使下面的討論有意義(需求量為非負),首先給出下面的假設1和假設2.

假設1再制造產品不進入市場,原始制造商承擔再制造設計費用時

假設2再制造產品進入市場,原始制造商承擔再制造設計費用時k(4?δ)2＞(2δn?δr)2;再制造產品進入市場,再制造商承擔再制造設計費用時kδ(4?δ)2＞(2δr?δδn)2.

由上述最優解可以得到原始制造商不進行再制造設計時(用下標Nn表示)最優單位零售價格、銷售量及銷售利潤為=(1?c)/2,=(1+c)/2,=(1?c)2/4.

結論1在再制造商不進入市場時,再制造設計對單位零售價格、銷售量及銷售利潤的影響

證明由引理1可知,＞0,也即原始制造商選擇進行再制造設計.在此情況下,可得=δnτ/2＞0,=?δnτ/2＜0,(1?c)2/(4k(4k?＞0.證畢.

結論1說明,當再制造商不進入市場時,再制造設計可以降低單位新產品的零售價格、增加新產品的銷售量及銷售利潤.原因是:一是可以縮短產品的維修時間,進而提高消費者對新產品的使用滿意度;二是通過再制造設計可以優化了產品的結構,提高產品的質量;三是由于再制造設計提高了產品和零部件的再利用,因此降低了單位產品的零售價格[4].

當再制造產品進入市場且原始制造商進行再制造設計時,不僅可以給原始制造商帶來益處,還能給再制造商帶來益處.因此,需要考慮原始制造商與再制造商分別在哪種情況下更愿意承擔再制造設計的費用.下面兩個小節將具體給出分析.

2.2 原始制造商承擔再制造設計費用

當再制造商進入市場時,再制造產品與新產品存在市場競爭關系.由于新產品的生產原材料不受限制,因此,新產品可以根據市場需求生產足夠的產品來滿足市場需求,而再制造產品的生產首先要進行廢舊產品的回收,也即再制造產品的需求要受到廢舊產品回收量的限制.類似于3.1節,可得原始制造商與再制造商的模型如下

本文采用文獻[8,13]的決策順序:原始制造商首先決定再制造設計的努力程度,接著原始制造商和再制造決策各自產品的單位零售價格.求解時,采用逆序的方法,原始制造商和再制造商先決策各自產品的單位零售價格,最后原始制造商再決策再制造設計努力程度.為了得到最優值,首先給出如下引理.

推論1式(2)中的πOEM和式(3)中的πr分別是關于qn和qr的凹函數.通過式(2)和式(3)求解得到的最優解代入式(2)后,πOEM關于τOEM是凹函數.

證明對式(2)中的πOEM關于qn求二階偏導可得=?2＜0,故πOEM關于qn是凹函數.

式(3)的拉格朗日函數為

其中m為拉格朗日乘子且m＞0.

式(4)的K-T條件為

下面分兩種情況證明推論1.

情況1當λ或λ時由式(5)的m(λqn?qr)=0可知,當λ或λ時,m=0.

這時式(4)關于qr求二階偏導數為?2δ＜0,即式(4)關于qr是凹函數.從而聯立式(2)和式(4)可以解得qn,qr的最優解.

對式(2)關于qn求解一階偏導數可得

對式(4)關于qr求解一階偏導數可得

聯立式(6)和式(7)可得如下最優解

把上述最優解代入式(2)可得

由假設2可知式(8)關于τOEM的二次項系數為負,式(8)關于τOEM是凹函數.即情況1時推論1成立.

情況2當λ=qr/qn時,即qr=λqn時,式(2)等價于

易證式(9)中的πOEM關于qn是凹函數.類似可證式(4)關于qr是凹函數.令式(9)中πOEM關于qn的一階偏導數為0,解得最優值將代入式(9)得到的函數關于τOEM是凹函數.即情況2成立.證畢.

針對情況1,根據實際市場供需關系,當λ＞qr/qn時,廢舊產品的回收數量大于再制造產品市場的需求量,這時,再制造商會對回收的廢舊產品進行部分再制造;當λ＜qr/qn也即廢舊產品的回收量不能滿足市場需求,這時,再制造商對回收的廢舊產品全部進行再制造以滿足市場需求,即是是倍數關系.因此,當λ＜qr/qn這一情況可以看作λ=qr/qn時的一個特殊情況.故下面分λ＞qr/qn和λ≤qr/qn兩種情況進行最優解的求解.通過對情況2的求解可以得到最優值

再根據式(5)中的δ(1? qn? qr)? c+s+ δrτOEM? δqr? m=0,可解得

由推論1,求解式(2)和式(3)可得如下最優解

2.3 再制造商承擔再制造設計費用

類似2.1節和2.2節,可得如下的決策模型.

類似2.2節可知,式(10)中的πOEM和式(11)中的πr分別關于qn和qr是凹函數.將式(10)和式(11)的最優解代入式(11)后,式(11)中的πr是關于τr的凹函數.由此,可得如下最優解

結論2當再制造產品的需求不受廢舊產品回收量限制時,δn和δr對再制造設計的努力程度影響:

證明當再制造產品的需求不受廢舊產品回收量限制時,由可知,當2時,＜0,τr＞0;當時,＞0,τr＜0;當時,證畢.

結論2說明,當再制造產品的需求不受廢舊產品回收量限制時,再制造設計的努力程度與δn和δr相關.也即當再制造設計帶給單位再制造產品的收益與單位新產品收益之比大于2時且原始制造商承擔再制造設計費用時,原始制造商選擇不易于再制造的產品設計;而再制造商承擔再制造設計費用時,原始制造商會選擇易于再制造的產品設計.當再制造設計帶給單位再制造產品的收益與單位新產品收益之比小于δ/2且原始制造商承擔再制造設計費用時,原始制造商選擇易于再制造的產品設計.當再制造設計帶給單位再制造產品的收益與單位新產品收益之比在(δ/2,2)時,無論原始制造商或者再制造商承擔再制造設計費用,原始制造商都會選擇易于再制造的產品設計.

通過結論2分析，可以得到推論2,也即原始制造商與再制造商愿意承擔再制造設計費用的邊界.

推論21)當δr/δn＜δ/2時,原始制造商愿意承擔再制造設計費用,再制造商不愿意承擔再制造設計費用且原始制造商始終選擇利于再制造的設計;2)當δr/δn＞2時,原始制造商不愿意承擔再制造設計費用,再制造商愿意承擔再制造設計費用且即使再制造商承擔再制造設計費用,原始制造商選擇不利于再制造的設計;3)當δ/2＜δr/δn＜2時,原始制造商與再制造商都愿意承擔再制造設計費用,且無論那一方承擔再制造設計費用,原始制造商始終選擇易于再制造的設計.

結論3當δ/2＜δr/δn＜2時,單位再制造產品節省成本對再制造設計努力程度、銷售量、單位零售價格及銷售利潤的影響:

1)原始制造商承擔再制造設計費用:

當 λ ＞ λOEM時,＞0;

當0＜δn＜時,否則,

當λ≤ λOEM時,

2)再制造商承擔再制造設計費用:

當λ＞λr時

當 λ ≤ λr且 2k(λδ+2)2+2δδn(δn? δr)λ2+2λδn(δδn? 2δr)＞ 0 時,待定.

證明1)當λ＞λOEM時,

同理可證2)成立.證畢.

結論3說明,當原始制造商承擔再制造設計費用且再制造產品的需求不受廢舊產品回收量限制時,再制造設計努力程度、新產品的需求量與單位再制造節約的成本成反比;單位再制造設計努力程度給單位新產品帶來的收益再制造產品的需求量及銷售利潤與單位再制造節約成本成正比,當時,再制造產品的需求量及銷售利潤與單位再制造節約成本成反比;也即只有單位再制造設計努力程度給單位新產品帶來的收益不能足夠大,如果足夠大,會減少再制造產品的銷售量及銷售利潤;新產品的需求量只有在時,與單位再制造節約成本成正比,否則,成反比;新產品的銷售利潤與單位再制造節約成本成反比.再制造產品的需求受到廢舊產品回收量限制時,再制造設計的努力程度、兩種產品的單位零售價格、銷售量及新產品的銷售利潤與單位再制造節約的成本無關,再制造產品的銷售利潤與單位再制造節約成本成正比.

當再制造商承擔再制造設計費用時:當再制造產品的需求不受廢舊產品回收量限制時,再制造產品的需求量及銷售利潤與單位再制造節約成本成正比,兩種產品的單位零售價格與單位再制造節約成本成反比;只有當單位再制造設計努力程度給單位新產品帶來的收益時,新產品的需求量及銷售利潤才與單位再制造設計節約成本成正比,否則,成反比.也即,只有單位再制造設計努力程度給單位新產品帶來的收益足夠大時,再制造設計才有利于提高新產品的銷售量及銷售利潤.

結論4再制造設計努力程度對兩種產品的零售價格、銷售價格及銷售利潤的影響:

1)當再制造產品的需求量不受廢舊產品回收量限制時,

2)當再制造產品的需求量受到廢舊產品回收量限制時,與情況有相同的結果.

證明1)由可得

故可得如下結論:

結論4說明,無論原始制造商或再制造商承擔再制造設計費用,再制造設計都會降低兩種產品的單位零售價格.當再制造設計帶給再制造商的收益與帶給新產品收益之比大于2時:無論原始制造商或再制造商承擔再制造設計費用,新產品的銷售量與再制造設計努力程度成反比,再制造產品的需求量的與再制造設計努力程度成正比;原始制造商承擔再制造設計費用時,新產品的銷售利潤與再制造設計努力程度無關,再制造產品的銷售利潤與再制造設計努力程度成正比;再制造商承擔再制造設計費用時,新產品的銷售利潤與再制造設計努力程度成反比,再制造產品的銷售利潤與再制造設計努力程度無關.

當再制造設計帶給再制造商的收益與帶給新產品收益之比小于δ/2時,無論原始制造商或再制造商承擔再制造設計費用,新產品的銷售量與再制造設計努力程度成正比,再制造產品的需求量的與再制造設計努力程度成反比;原始制造商承擔再制造設計費用時,新產品的銷售利潤與再制造設計努力程度無關,再制造產品的銷售利潤與再制造設計努力程度成反比;再制造商承擔再制造設計費用時,新產品的銷售利潤與再制造設計努力程度成正比,再制造產品的銷售利潤與再制造設計努力程度無關.

當再制造設計帶給再制造商的收益與帶給新產品收益之比在(δ/2,2)時:無論原始制造商或再制造商承擔再制造設計費用,新產品的銷售量與再制造設計努力程度成正比,再制造產品的需求量的與再制造設計努力程度成正比;原始制造商承擔再制造設計費用時,新產品的銷售利潤與再制造設計努力程度無關,再制造產品的銷售利潤與再制造設計努力程度成正比;再制造商承擔再制造設計費用時,新產品的銷售利潤與再制造設計努力程度成正比,再制造產品的銷售利潤與再制造設計努力程度無關.

結論5當δ/2＜δr/δn＜2且原始制造商承擔再制造設計費用時,δn對再制造設計努力程度、兩種產品的需求量及零售價格的影響:

1)當λ＞λOEM時,

2)當λ≤λOEM時,

證明1)

類似于1)可以證明2)成立.證畢.

結論5說明,原始制造商承擔再制造設計費用時:當再制造產品的需求不受廢舊產品回收量限制時,新產品的再制造設計努力程度及銷售量與δn成正比,兩種產品的單位零售價格與δn成反比;再制造設計帶給再制造商的收益與帶給新產品收益之比大于4δ/(4+δ)時,再制造產品的需求量與δn成正比.當再制造產品的需求受到廢舊產品回收量限制時,新產品的再制造設計努力程度及兩種產品的銷售量與δn成正比,兩種產品的單位零售價格與δn成反比.

3 實例研究

為了詳細分析再制造產品不受廢舊產品回收量限制時,再制造設計給單位新產品/再制造產品帶來的收益對再制造設計努力程度、廢舊產品邊界回收率、兩種產品的單位零售價格、銷售量及銷售利潤的影響,本文以再制造發動機為例進行數值仿真.根據文獻[14,15]可知，單位再制造發動機的生產成本是單位新產品的生產成本的50%,單位再制造發動機的銷售價格是單位新產品銷售價格的50%～70%.鑒于此,本文取c=0.2,s=0.1,δ=0.6.借鑒文獻[8],取k=1.1.

3.1 δn與δr對再制造設計努力程度及邊界回收率的影響

圖2和圖3分別描述了δn與δr對再制造設計努力程度和邊界回收率的影響

圖2 δn與δr對再制造設計努力程度的影響Fig.2 The influence of δnand δron the degree of desiging for remanufacturing

由圖2可知,當原始制造商承擔再制造設計費用時,再制造設計努力程度與單位再制造設計努力程度給單位新產品帶來的收益成正比,與單位再制造設計努力程度給單位再制造產品帶來的收益成反比.當再制造商承擔再制造設計費用時,再制造設計努力程度與單位再制造設計努力程度給單位新產品帶來的收益成反比,與單位再制造設計努力程度給單位再制造產品帶來的收益成正比.

圖3 δr與δn對邊界回收率的影響Fig.3 The influence of δrand δnon the boundary recovery rate

由圖3可知,當原始制造商承擔再制造設計費用時,當δn一定,λOEM先隨δr增大達到最大時,然后隨δr增大而減小；當δr一定,λOEM先隨δn增大而增大且δr的值越小λOEM隨δn變化趨勢越緩慢.再制造商承擔再制造設計費用時,邊界回收率與單位再制造設計努力程度給單位新產品帶來的收益成正比,與單位再制造設計努力程度給單位再制造產品帶來的收益成反比.

3.2 δn與δr對單位產品零售價格及需求量的影響

δn與δr對單位產品零售價格及需求量的影響如圖4所示.

由圖4可知,當再制造商承擔再制造設計費用時,兩種產品的單位零售價格與單位再制造設計努力程度給單位再制造產品帶來的收益成反比,與單位再制造設計努力程度給單位再制造產品帶來的收益成正比.兩種產品的需求量關于δr都在某一點(不同產品的需求量不同)達到最大;當時,兩種產品的需求與成正比,與成反比;當時,兩種產品的需求與δr成反比,與δn成正比.

3.3 δn與δr對銷售利潤的影響

δn與δr對銷售利潤的影響如圖5所示.

圖5 δn與δr對銷售利潤的影響Fig.5 The influence of δnand δron the sales profit

由圖5可知,無論再制造設計費用由原始制造商承擔還是再制造商承擔,δn和δr對原始制造商和再制造商銷售利潤的影響變化趨勢一致.再制造商的銷售利潤與再制造設計帶給單位再制造產品的收益成正比,與帶給單位新產品的收益成反比.而新產品的銷售利潤變化趨勢和新產品銷售量變化趨勢一致.

4 結束語

本文基于再制造設計時,建立了原始制造商和再制造商博弈模型.考慮了原始制造商承擔再制造設計費用和再制造商承擔再制造設計費用兩種情況,對比分析了兩種情況下,單位再制造設計努力程度給單位新產品帶來的收益和單位再制造設計努力程度給單位再制造產品帶來的收益對再制造設計努力程度廢舊產品邊界回收率、單位零售價格、銷售量及銷售利潤的影響.主要得到了如下結論:

1)在再制造不進入市場時,原始制造商選擇再制造設計,不僅能降低單位新產品的零售價格,還能增加新產品的銷售量及銷售利潤,也即再制造設計有利于原始商.

2)在再制造產品進入市場時且再制造產品能滿足市場需求時,無論那一方承擔再制造設計費用,原始制造商會根據再制造設計帶給兩種產品的收益比,來決策是否進行再制造設計,也即原始制造商在再制造設計中處于主導地位.因此,只要再制造設計帶給再制造商與原始制造商的收益之比大于δ/2且小于2時,再制造商要選擇承擔再制造設計費用,這時,原始制造商更愿意選擇易于再制造的設計,最終促進再制造產業的發展.

3)當再制造產品不能滿足市場需求時,無論原始制造商或再制造商承擔再制造設計費用,原始制造商都會選擇易于再制造的設計.因此,再制造商要根據再制造產品的市場供需關系選擇是否承擔再制造設計費用.