基于非光滑方程組的智能電網(wǎng)實(shí)時(shí)定價(jià)

王宏杰,高 巖

(上海理工大學(xué)管理學(xué)院,上海200093)

1 引 言

隨著科技的高速發(fā)展和生活水平的不斷提高,人們對(duì)電力的需求有了更高的要求.電力用戶希望電網(wǎng)是可靠的,安全的,經(jīng)濟(jì)的,高效的.用戶希望可以實(shí)時(shí)了解供電能力,電能質(zhì)量,電價(jià)狀況和停電信急,根據(jù)相關(guān)信急合理安排電器使用,避峰填谷;電力企業(yè)希望可以及時(shí)獲取用戶的詳細(xì)用電信急,合理安排生產(chǎn),并為用戶提供更多的增值服務(wù).現(xiàn)有的電網(wǎng)雖然已經(jīng)開始實(shí)施分段電價(jià),但是現(xiàn)有的電價(jià)定價(jià)機(jī)制是基于較長時(shí)間段上的價(jià)格變化,例如按白天和夜晚,冬季與夏季劃分時(shí)間段,每個(gè)時(shí)段制定不同的電價(jià).這種實(shí)時(shí)定價(jià)研究已有較長的歷史并取得了一系列的研究成果,但是顯然這種定價(jià)機(jī)制不能完全滿足用戶和電力企業(yè)對(duì)電網(wǎng)的多樣化需求.所以近年來具有現(xiàn)代先進(jìn)的傳感測量技術(shù),通訊技術(shù),信急技術(shù),計(jì)算機(jī)技術(shù)和控制技術(shù)的智能電網(wǎng)引起了各國的高度關(guān)注和研究.美國,歐洲等發(fā)達(dá)國家目前都在發(fā)展智能電力系統(tǒng),并且在智能電網(wǎng)領(lǐng)域取得了顯著的發(fā)展.相對(duì)于美國和歐洲,我國在智能電網(wǎng)的研究剛剛起步,研究還集中在智能電網(wǎng)定價(jià)機(jī)制和理念的研究上.所以智能電網(wǎng)短時(shí)段實(shí)時(shí)定價(jià)問題的研究對(duì)促進(jìn)智能電網(wǎng)的發(fā)展至關(guān)重要[1?4].

目前在智能電網(wǎng)實(shí)時(shí)定價(jià)問題上主要從兩方面進(jìn)行研究:一方面是從電力生產(chǎn)公司,電力銷售商等角度考慮的商業(yè)定價(jià)機(jī)制.例如,文獻(xiàn)[5,6]從供應(yīng)商和需求側(cè)管理方面利用博弈的方法建立和研究實(shí)時(shí)定價(jià)問題,通過動(dòng)態(tài)和靜態(tài)的博弈使價(jià)格趨于更合理.這類優(yōu)化模型求解通常采用求均衡解的方法;另一方面是從公共產(chǎn)品角度考慮,追求社會(huì)效益的定價(jià)機(jī)制,根據(jù)社會(huì)效益最大化為目標(biāo)建立優(yōu)化模型,在總電量不超過發(fā)電能力前提下最大化用戶收益和最小化電力供應(yīng)商成本.文獻(xiàn)[7–11]采用了社會(huì)效益模型,分別通過對(duì)偶法,乘子法和分布式算法來解決優(yōu)化模型.利用乘子法,對(duì)偶法和分布式算法解決乘子問題,往往需要求解一系列無約束最小化問題,計(jì)算量大,數(shù)值不穩(wěn)定,而且在算法中更多的注重資源的優(yōu)化配置,電價(jià)被作為了資源配置的附屬問題.本文從社會(huì)效益定價(jià)機(jī)制方面出發(fā),利用互補(bǔ)理論將社會(huì)效益模型轉(zhuǎn)化為帶有影子價(jià)格的非光滑方程組,通過求解非光滑方程組來確定短時(shí)段的實(shí)時(shí)電價(jià).該方法可以避免數(shù)值不穩(wěn)定,計(jì)算復(fù)雜等問題,并且電價(jià)作為重要變量被求出.

2 智能電網(wǎng)的社會(huì)效益模型

在電力市場中,不同用戶消費(fèi)的電能也不同,即使消耗等價(jià)等量的電能也可能會(huì)擁有不同的滿意程度.在本文中,采用效用函數(shù)來反映消費(fèi)者的電量消費(fèi)能力和這種偏好,即效用函數(shù)表達(dá)了用戶對(duì)電能消費(fèi)水平的滿意度.關(guān)于效用函數(shù),假定消費(fèi)者滿意度隨著使用電量的增加而增加直至達(dá)到飽和消費(fèi)的最大滿意度,并且滿意度不會(huì)出現(xiàn)負(fù)滿意的情況(即效用函數(shù)小于零的情況).根據(jù)社會(huì)效益模型[9,10],定義電力用戶的效用函數(shù)和社會(huì)效益函數(shù).其中效用函數(shù)為

是一個(gè)二次函數(shù),x代表電力用戶的電力消費(fèi)水平,它隨用戶與時(shí)間的不同而不同;α和ω是根據(jù)用戶在每個(gè)用電時(shí)段對(duì)用電量的不同要求和滿意情況選取的兩個(gè)非負(fù)參數(shù).α是預(yù)先給定的,并且滿足0＜α≤1的常數(shù);ω是隨著用戶和用電時(shí)段而改變的非負(fù)數(shù),如圖1.

圖1 用戶效用函數(shù)(α=0.5)Fig.1 The utility function for powers subscribers(α=0.5)

假設(shè)共有N個(gè)電力用戶和1個(gè)電力供應(yīng)商,每個(gè)用電周期分為K個(gè)時(shí)段.社會(huì)效益函數(shù)為

在電力系統(tǒng)中成本函數(shù)一般采用分段線性函數(shù)或二次函數(shù)表示[5?10],根據(jù)電力系統(tǒng)成本的常用計(jì)算方式,采用二次函數(shù)來表示成本,即

根據(jù)社會(huì)效益最大化,建立優(yōu)化模型如下

因?yàn)閷?shí)際生活中,在沒有突發(fā)事件的情況下用戶的實(shí)際消費(fèi)水平往往小于該時(shí)段其最大需求量,所以在模型中只考慮實(shí)際生產(chǎn)能力不超過該時(shí)段最大生產(chǎn)能力的情況.根據(jù)模型(4)可以通過在K個(gè)時(shí)段里分別求社會(huì)效益最大來解決,所以模型(4)可以轉(zhuǎn)化為下面K個(gè)子優(yōu)化問題,即

根據(jù)式(1)和式(3)的定義,可知式(5)是一個(gè)二次規(guī)劃問題.根據(jù)極值定理可以知道,對(duì)于二次規(guī)劃問題

其中f(x)為二次函數(shù),g(x)=(g1(x),g2(x),...,gm(x))T,gi(x)為N元函數(shù),x∈RN.

若x為問題(6)的一個(gè)最優(yōu)解,則存在λ∈Rm使得x和λ滿足下列KKT條件

式(8)與式(5)等價(jià),并且式(8)中的λ按經(jīng)濟(jì)學(xué)上的解釋為電力資源的影子價(jià)格,所以可以通過式(8)來確定智能電網(wǎng)短時(shí)段的基礎(chǔ)電價(jià)λ.

3 算法構(gòu)造

近年來,互補(bǔ)問題的研究得到了極大的重視和發(fā)展,并且在力學(xué)、交通及經(jīng)濟(jì)等許多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.形如

的問題被稱為互補(bǔ)問題,其中x∈Rn,F:Rn→Rn.顯然,式(8)是一個(gè)互補(bǔ)問題.取x和F(x)的第i個(gè)分量xi和Fi(x),為了書寫方便,記第xi=a,Fi(x)=b.根據(jù)非線性互補(bǔ)理論[12,13]有

所以式(8)等價(jià)于方程組

由于函數(shù)ψ(a,b)=a?max((a?b),0)在a=b處是非光滑的,因而式(10)是一個(gè)非光滑方程組,無法使用傳統(tǒng)的牛頓法求解.目前解決這類問題常用的方法是非光滑牛頓法和光滑化牛頓法.非光滑牛頓法是利用廣義牛頓類型即利用Jacobi矩陣求解;光滑化牛頓法是通過構(gòu)造具有良好收斂性質(zhì)的光滑函數(shù)來逼近非光滑函數(shù)求解.通過以往的研究和數(shù)值驗(yàn)證,研究者們發(fā)現(xiàn)光滑化牛頓法具有良好的收斂性,并且在數(shù)值上比非光滑牛頓法更穩(wěn)定和有效.因此本文采用光滑化牛頓法來求解問題(10).

首先介紹光滑化基本思想,假設(shè)一個(gè)非光滑方程組

其中H(·):Rn→Rn是一個(gè)非光滑函數(shù).再假設(shè)有一序列光滑函數(shù)Hμk(·):Rn→Rn,且滿足

光滑化方法是希望通過求解光滑方程組Hμk(x)=0的解來逼近原方程組的解.

目前,構(gòu)造光滑逼近函數(shù)常用方法有二次函數(shù)法,密度法,極大熵法等[12,13].為了保證解的逼近,光滑逼近函數(shù)應(yīng)該滿足如下定義

定義1(光滑逼近函數(shù))[12]給定函數(shù)H(·):Rn→ Rn,稱光滑函數(shù)Hμ(·):Rn→ Rn,μ ＞ 0為H(·)的一致光滑逼近函數(shù),如果對(duì)任意x∈Rn,存在κ＞0,使得‖Hμ(x)?H(x)‖≤κμ,?μ＞0.

根據(jù)定義1和構(gòu)造光滑函數(shù)的二次函數(shù)法,首先構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)

下面證明函數(shù)ψμ(a,b)為ψ(a,b)的光滑逼近函數(shù).

定理1函數(shù)ψμ(a,b)為函數(shù)ψ(a,b)的一個(gè)光滑逼近函數(shù).

證明根據(jù)ψ(a,b)=a?max((a?b),0),可以得到

因?yàn)楫?dāng)?μ≤a?b＜0時(shí),有

當(dāng)μ≥a?b≥0時(shí),有

當(dāng)μ＜a?b或?μ＞a?b時(shí),有|ψμ(a,b)?ψ(a,b)|=0.

綜上所述,當(dāng)取κ≥ 1/2時(shí),對(duì)?μ＞0,有|ψμ(a,b)?ψ(a,b)|≤κμ成立.根據(jù)定義1,函數(shù)ψμ(a,b)為ψ(a,b)的一致光滑逼近函數(shù). 證畢.

函數(shù)ψμ(a,b)在區(qū)間[?μ,μ]內(nèi)的逼近情況如圖2所示.

圖2 非光滑函數(shù)ψ(a,b)與光滑逼近函數(shù)ψμ(a,b),在點(diǎn)a=b處的逼近情況,?=a?bFig.2 The approximation of nonsmooth function and smooth function at point a=b,? =a?b

根據(jù)定理1,可知光滑函數(shù)ψμ(a,b)具有良好的收斂性并且隨著參數(shù)μ減小逐漸逼近ψ(a,b),滿足光滑化方法對(duì)光滑函數(shù)的要求.因此根據(jù)ψμ(a,b)和式(10)中F(x,λ)的構(gòu)造方法,定義光滑逼近函數(shù)Fμ可以得到光滑方程組

而式(13)即為要求解的問題.為了書寫方便將變量x和λ記為變量X=(xT,λ)T.

因?yàn)槔脭M牛頓法解方程組(13),可以避免Hesse矩陣退化的情況,而且還可以同時(shí)求出變量和電價(jià)λ,所以本文選用擬牛頓法求解方程組(13).根據(jù)擬牛頓法的PEF修正迭代公式[12,13]有

因?yàn)橛脩羰褂秒娏坎荒苁秦?fù)值,為了確保λ是在變量x≥0時(shí)的影子價(jià)格,解方程組(13)時(shí),只取x≥0時(shí)的解.

算法步驟如下:

步驟1取初始點(diǎn)X0≥0,其中參數(shù)λ0∈(0,100),取參數(shù)Lk,選取足夠小正數(shù)ε.令k=0,H0=In,μ=0.05;

步驟2判斷‖F(xiàn)μ(Xk)‖＜ε是否成立,若成立則停止迭代,Xk即為所求;否則轉(zhuǎn)步驟3;

步驟3令dk=?HkFμ(Xk),解優(yōu)化問題Min‖F(xiàn)μ(Xk+δdk)‖得到最優(yōu)解δk.Xk+1←Xk+δkdk,轉(zhuǎn)步驟4;

步驟4令Pk=Xk+1?Xk,Qk=Fμ(Xk+1)?Fμ(Xk),▽HkHk+▽Hk,k←k+1,轉(zhuǎn)步驟2.

4 仿真模擬

取ak=0.01,bk=0,ck=0,α=0.5,ω∈[1,4],μ=0.05,N=6.以24 h為一個(gè)用電周期,那么在用電周期中,總電量的使用情況是由低到高再到低,在仿真中Lk的取值符合這樣的形態(tài).通過仿真模擬,得到了每個(gè)時(shí)段的實(shí)時(shí)電價(jià)λ以及電量的最優(yōu)分配.同時(shí),將新方法與固定電價(jià)方法進(jìn)行了比較.其中固定電價(jià)方法的定價(jià)公式[10]為λk=ωmax?Lkα/N.結(jié)果如表1～表4及圖3～圖6.

表1 基于非光滑方程組方法和固定電價(jià)方法的電價(jià)(1)Table 1 The electricity price based on non-smooth equations method and traditional fixed price method(1)

表2 基于非光滑方程組方法和固定電價(jià)方法的電價(jià)(2)Table 2 The electricity price based on non-smooth equations method and traditional fixed price method(2)

表3 基于非光滑方程組方法和固定電價(jià)方法的社會(huì)效益(1)Table 3 The social benefit based on non-smooth equations method and traditional fixed price method(1)

表4 基于非光滑方程組方法和固定電價(jià)方法的社會(huì)效益(2)Table 4 The social benefit based on non-smooth equations method and traditional fixed price method(2)

圖3 基于非光滑方程組方法的智能電網(wǎng)生產(chǎn)能力Fig.3 The power Capacity of smart grid based on non-smooth equations method

圖4 基于非光滑方程組方法的每時(shí)段總分配電量Fig.4 The total power distribution per time interval based on non-smooth equations method

圖5 基于非光滑方程組方法與傳統(tǒng)固定電價(jià)方法的社會(huì)效益Fig.5 The social benefit based on non-smooth equations method method and traditional fixed price method

圖6 基于非光滑方程組方法與傳統(tǒng)固定電價(jià)方法的短時(shí)段電價(jià)Fig.6 The short time interval price based on nonsmooth method and traditional fixed price method

從圖3和圖4可以看出,當(dāng)實(shí)際生產(chǎn)的電力資源被完全分配時(shí),資源得到最優(yōu)配置.從圖5和圖6可以看出,與固定電價(jià)方法相比，新方法得到的社會(huì)效益要略高于固定電價(jià)方法,但是新方法計(jì)算的電價(jià)更低.這是因?yàn)槊總€(gè)用戶對(duì)電量消費(fèi)水平的滿意程度不同.固定電價(jià)方法傾向于平均分配電力資源,沒有考慮用戶的電量消費(fèi)水平滿意度;而新方法考慮了用戶的電量消費(fèi)水平滿意度,優(yōu)先分配滿意度高的用戶,所以在社會(huì)效益相近的情況下,利用新方法得到的電價(jià)更低.該結(jié)果與文獻(xiàn)[9,10]中的結(jié)果相符,所以利用新方法解決智能電網(wǎng)實(shí)時(shí)定價(jià)問題是有效可行的.

5 結(jié)束語

本文采用影子價(jià)格為智能電網(wǎng)實(shí)時(shí)定價(jià)的基礎(chǔ),首次將非光滑方程組應(yīng)用到智能電網(wǎng)實(shí)時(shí)定價(jià)問題.利用非光滑方程組解決實(shí)時(shí)定價(jià)問題的優(yōu)點(diǎn)在于能夠同時(shí)得到每個(gè)時(shí)段電力資源的最優(yōu)配置和實(shí)時(shí)基礎(chǔ)價(jià)格.在非光滑方程組中,實(shí)時(shí)價(jià)格是一個(gè)重要變量,不再是最優(yōu)配置問題的附屬變量.本文采用了修正擬牛頓法解非光滑方程組,優(yōu)點(diǎn)是速度快,收斂性好,數(shù)值結(jié)果穩(wěn)定.通過仿真模擬結(jié)果可以看出,雖然新方法的實(shí)時(shí)價(jià)格要比固定電價(jià)的價(jià)格低,但是社會(huì)效益卻幾乎相同,而且新方法下的社會(huì)效益還比固定電價(jià)方法下的略高.所以新方法的實(shí)時(shí)定價(jià)更合理.通過數(shù)值結(jié)果也驗(yàn)證了利用新方法解決電量最優(yōu)配置和實(shí)時(shí)定價(jià)問題是可行的.本文對(duì)進(jìn)一步研究智能電網(wǎng)短時(shí)段實(shí)時(shí)定價(jià)機(jī)制提供了基礎(chǔ)理論依據(jù).