基于高斯導函數的超寬帶脈沖設計*

李佩琳,周青松,張劍云

（國防科技大學 電子對抗學院，安徽 合肥 230037）

0 引 言

美國聯邦通信委員會（FCC）對超寬帶通信所占用的帶寬提出了一個限定標準，從而可以確保超寬帶設備能夠與其他通信設備共存且不會相互干擾[1]。超寬帶通信在信息傳輸過程中采用超寬頻帶的窄脈沖，因此采用何種脈沖波形會影響超寬帶通信的特性。

脈沖波形的設計要求傳輸功率在低于FCC限定的條件下取得最大值，同時生成的波形要逼近FCC所制定的輻射掩蔽。文獻[2]中對hermitian多項式函數進行了一定改進，得到了一種改進的hermitian脈沖；文獻[3]通過對扁長球體波函數的介紹，提出了一種正交的脈沖波形。高斯單周期脈沖是常用的超寬帶脈沖波形，文獻[4]提出了一種算法能夠選擇最佳的脈沖形成因子和最佳的脈沖微分階數，并使之能逼近3.1～10.6 GHz的輻射掩蔽。上面提到的脈沖都可以作為超寬帶通信的脈沖。為了獲得可以在全頻段（包括0～0.96 GHz）中逼近輻射掩蔽標準的波形，本文通過對高斯脈沖的不同導函數進行線性組合來尋找符合輻射掩蔽標準的最優波形。

1 超寬帶原理

1.1 超寬帶的概念

現在對超寬帶信號的定義有兩種方式，一種是根據絕對帶寬來確定，一種是根據相對帶寬來確定。美國聯邦通信委員會（FCC）對超寬帶信號有如下規定：在3.1～10.6 GHz頻段中占用500 MHz以上的帶寬信號稱為超寬帶信號，即：

根據相對帶寬來確定超寬帶信號，美國國防高級計劃局對超寬帶信號有如下定義：將帶寬與中心頻率之比超過20%的信號稱為UWB信號[5]，即：

其中，信號功率譜密度在-10 dB處測量的值被記為式（1）和式（2）中的fH和fL。因此，超寬帶無線通信系統要求系統的絕對帶寬不低于500 MHz或者相對帶寬不低于20%。

1.2 超寬帶信號的輻射掩蔽

一般情況下，超寬帶無線通信系統對其他通信系統的干擾必須要限定在一定范圍內，因為各類無線電信號與超寬帶無線電信號是同時存在的。因此，需要根據輻射掩蔽來確定在任意給定頻率情況下的最大允許功率[6]。

某一頻率范圍內的等效各項同性輻射功率（Equivalent Isotropic Radiated Power，EIRP）是由輻射掩蔽設定的功率極限值，等于發射天線增益GAT與發射機能夠提供給天線的最大功率PTX的乘積：

美國聯邦通信委員會（FCC）對于超寬帶系統的等效各項同性輻射功率做出的限制如圖1所示。

圖1 FCC制定的超寬帶系統等效各項同性輻射功率限制

2 超寬帶系統的脈沖

2.1 高斯脈沖及其導數

在脈沖形成器中選擇不同的濾波器單位沖激響應對超寬帶通信系統有著很大影響，因為濾波器單位沖激響應與傳輸信號的功率譜密度密切相關。一個類似于高斯函數波形的鐘形是脈沖產生器最易產生的脈沖波形。高斯脈沖函數容易實現，同時高斯脈沖函數的頻譜形狀和時域波形都是鐘形，可以滿足超寬帶脈沖的頻限與時限要求。可以用下列表達式描述一個高斯脈沖p(t)：

頻譜形成可以通過改變脈沖波形來獲得。改變脈沖波形主要有以下三種不同的方法：改變脈沖寬度、脈沖微分和基函數線性組合。

2.2 改變脈沖寬度和脈沖微分

（1）脈沖形成因子α的改變會改變脈沖寬度。α值的減小會壓縮脈沖寬度，從而使傳輸信號的帶寬擴展。因此，改變脈沖形成因子的值可以令同一波形得到不同的帶寬。

（2）高斯脈沖的能量譜密度也受高斯脈沖微分的影響。增加微分階數，脈沖寬度和峰值頻率都會隨之改變。高斯脈沖k階導數的傅里葉變化性質如下：

關于微分階數k、脈沖形成因子α以及峰值頻率fpeak三者之間的一般關系式如下：

表明峰值頻率隨著高斯導函數階數的提高也相應提升。因此，微分可以將能量搬移至更高頻段。

2.3 基函數線性組合

高斯脈沖的能量譜密度受脈沖寬度和脈沖微分的影響。脈沖寬度的改變和脈沖微分都可以用來形成發射波形。但是，很多情況下，3.1～10.6 GHz范圍外的輻射掩蔽要求僅僅使用單個脈沖很難滿足，即FCC制定的輻射掩蔽使用單個脈沖波形并不能嚴格逼近。

因此，為了獲得可以在全頻段（包括0～0.96 GHz）中逼近輻射掩蔽標準的波形，考慮通過高斯脈沖不同導函數的線性組合來尋找最優波形。為了得到N個高斯導函數的線性組合，首先由給定的脈沖形成因子α值來表征每個導函數，每個導函數可以被認為是N維空間中獨立的基函數。另外，給定的設計要求決定線性組合的權重系數，如線性組合的權重系數要滿足給定的功率譜密度。

選擇線性組合的權重系數有以下幾個步驟：

（1）選擇一組基函數。

（2）隨機產生一組權重系數，記為W。

（3）檢驗由權重系數W線性組合得到的功率譜密度是否滿足FCC所制定的輻射掩蔽標準。

（4）如果是第一組滿足條件的系數，并且W也滿足輻射掩蔽的要求，則進行初始化，令WB=W。如果過程已經初始化，且W滿足輻射掩蔽的要求，則令W與WB進行比較。以預先設定的距離度量為標準，如果W生成的波形優于WB生成的波形，則令WB=W。

（5）重復（1）～（3），直到輻射掩蔽與生成波形的功率譜密度之間的距離固定在一個門限值之下。

可以看到，脈沖形成因子α值的W不同以及N個高斯導函數的線性組合，可以靈活產生不同的脈沖波形。但是，上述算法需要進行多次迭代，才能保證合成函數與目標函數的差異在要求的范圍之內。

N個高斯導函數的線性組合可以通過以下兩種方法來近似達到輻射掩蔽：一種是所有高斯導函數的脈沖形成因子α都相同，另一種是每個高斯導函數具有不同的α值。下面將N個導函數的脈沖形成因子α定義為一個“α矢量”，記作alphavector。

3 仿真結果與分析

首先在MATLAB中生成一個GUI界面，如圖2所示。

圖2 超寬帶脈沖設計GUI界面

設置階數g=10，脈沖形成因子α=0.714e-9，即alphavector=[0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9 0.714e-9]。點擊button 1，可以得到高斯脈沖及其前10階導函數波形如圖3所示。

圖3 高斯脈沖及其前10階導函數波形

設置階數g=10，脈沖形成因子α=0.714e-9，點擊button 2，可以得到前10階高斯導函數脈沖的ESD，如圖4所示。

圖4 前10階高斯導函數脈沖的ESD

設置階數g=10，生成模式i=1，脈沖重復周期Ts=1e-7，允許的最大迭代次數attempts=100，點擊button 3，生成前10階高斯導函數脈沖的PSD，如圖5所示。

圖5 生成模式1

如圖5所示，高斯函數的前10階歸一化導函數滿足FCC所規定的室內輻射掩蔽標準，同時由前10階高斯導函數脈沖的線性組合生成的擬合函數也滿足FCC所規定的室內輻射掩蔽標準。但是，選擇模式1所生成的各個頻帶的利用率不高。因此，將生成模式換成2，即令alphavector=[1.5e-9 0.314e-9 0.314e-9 0.314e-9 0.314e-9 0.314e-9 0.314e-9 0.314e-9 0.314e-9 0.314e-9]，再次實驗，觀察高斯函數的前10階歸一化導函數及其擬合函數的性能優劣，如圖6所示。

圖6 生成模式2

圖6 中，采用生成模式2得到的高斯函數的前10階歸一化導函數及其擬合函數的性能明顯優于生成模式1。因為生成模式2中的一階脈沖形成因子為1.5e-9，比生成模式1中的一階脈沖形成因子要高，可以提高擬合脈沖函數在低頻部分的頻帶利用率；生成模式2中其他各階脈沖形成因子為0.314e-9，比生成模式1中的其他各階脈沖形成因子要低，可以提高擬合脈沖函數在高頻部分的頻帶利用率。為了進一步驗證一階脈沖形成因子的對擬合脈沖函數的影響，將一階脈沖形成因子改為3.0e-9再次實驗，得到如圖7所示的新的擬合脈沖函數的波形。可見，新的擬合脈沖函數波形在低頻階段更加符合FCC制定的輻射掩蔽標準。

為了考察不同階數對最終形成的擬合脈沖函數的影響，在GUI中點擊button 4，生成結果如圖8所示。

通過分析圖8可以得到，前10階和前12階高斯擬合脈沖函數在低頻部分表現最好；前10階和前13階高斯擬合脈沖函數在中頻部分性能最好；前14階和前15階高斯擬合脈沖函數在高頻部分性能最好。可見，在低頻部分，階數高的高斯擬合脈沖函數不一定性能最好。

圖7 提高一階脈沖形成因子

圖8 前10階到前15階高斯擬合脈沖函數對比結果

4 結 語

本文通過對高斯脈沖的不同導函數進行線性組合來尋找符合輻射掩蔽標準的最優波形。經過對仿真結果進行分析可以得到：高斯函數的一階脈沖形成因子α的數值大小與高斯函數的各階歸一化導函數及其擬合函數在低頻部分的功率成正比；而高斯函數的其他各階脈沖形成因子的數值大小與高斯函數的各階歸一化導函數及其擬合函數在高頻部分的功率成反比。同時，由于增加擬合階數會拉低低頻部分的擬合功率，因此擬合階數并非越高越好。