函數(shù)值域之換元法

謝金輝

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018） 11-0292-02

換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法就是解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。

然而換元法在高考求值域問題中也是相當(dāng)重要的。

一、一般換元法

【例1】求函數(shù)的值域.

解：令，則且，

，

函數(shù)的值域?yàn)?

【變式1】求函數(shù)的值域.

二、三角換元

重要公式： 有著本質(zhì)的聯(lián)系！

【例2】（2005福建）已知實(shí)數(shù)滿足，求的最小值.

解：，

令 ，則

的最小值為.

【例3】 求函數(shù)的值域.

解：令，其中.

，

.

● 反思： 角的范圍為什么這么取？

【變式1】 求函數(shù)的最大值.

答案：.

【例4】（2009遼寧競(jìng)賽） 函數(shù)的最大值與最小值的乘積是 .

解：

，令，

所以答案是.

三、雙換元

【例5】求函數(shù)的值域.

解：方法1：平方

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或1時(shí)，.

函數(shù)的值域?yàn)?

方法2：雙換元

令，

則，其中

，則

（接下去可以用線性規(guī)劃做，也可以三角換元）

令

【例6】 求函數(shù)的值域.

解：令，

則，其中

，其中

則，

令，其中

函數(shù)的值域?yàn)?

四、整體換元

【例7】 求函數(shù)的值域.

解：，

令，則，

其中，

【變式1】（2013新課標(biāo)Ⅰ）

若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的最大值為 .

解：觀察得是的兩根，

的圖像關(guān)于對(duì)稱，

和也是的兩根.

由已知，和是方程的兩根，由韋達(dá)定理得.

令，則，其中，. 故答案為16.

五、結(jié)論換元

當(dāng)待解題目的條件較繁而結(jié)論形式簡(jiǎn)單時(shí)，可考慮改變常規(guī)的習(xí)慣，逆向思考，結(jié)論換元，化未知為已知，獲得簡(jiǎn)單方法。

【例8】已知，且，求的取值范圍.

解：設(shè)，令，代入已知等式，

得 .

由

故的取值范圍是.

六、小結(jié)

通過結(jié)論換元為用三角代換創(chuàng)造了條件，而且整體代入已知等式，轉(zhuǎn)化為三角問題，十分巧妙，值得一學(xué).

【變式1】實(shí)數(shù)滿足，設(shè)，求的最大值和最小值.

解：設(shè)，

則

而