考慮徑向熱力耦合的主軸-軸承系統(tǒng)熱網(wǎng)絡穩(wěn)態(tài)溫度場分析

王東峰，劉譯勵，解添鑫，張進華，楊浩亮

(1.洛陽軸承研究所有限公司，河南 洛陽 471039；2.河南省高性能軸承技術(shù)重點實驗室，河南 洛陽 471039；3.滾動軸承產(chǎn)業(yè)技術(shù)創(chuàng)新戰(zhàn)略聯(lián)盟，河南 洛陽 471039;4.西安交通大學 機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室，西安 710054;5.北京控制工程研究所，北京 100190)

符號說明

d—軸承內(nèi)徑，mm

d0—等效圓筒內(nèi)徑，mm

de— 對流換熱特征長度，mm

dm—軸承平均直徑，mm

D—軸承外徑，mm

D0—等效圓筒外徑，mm

E—材料彈性模量，Pa

f0—與軸承類型和潤滑條件有關(guān)的系數(shù)

f1—與軸承結(jié)構(gòu)和載荷相關(guān)的系數(shù)

Fβ—與作用力大小和方向有關(guān)的摩擦力矩計算載荷，N

g—重力加速度，mm/s2

Gr—Grashof數(shù)

h—對流換熱系數(shù)，W/(m2·K)

L—等效圓筒長度，mm

M—軸承總摩擦力矩，N·m

M0—與潤滑劑有關(guān)的摩擦力矩，N·m

M1—與載荷有關(guān)的摩擦力矩，N·m

n—主軸轉(zhuǎn)速，r/min

Nu—Nusselt特征數(shù)

Pr—Prandtl數(shù)

P1—軸承內(nèi)圈與軸配合處徑向應力，MPa

Q—軸承發(fā)熱功率，W

Qf—節(jié)點O處的生熱率，W

r—微分半徑

r1—軸承內(nèi)圈內(nèi)半徑，mm

r2—軸承內(nèi)圈外半徑，mm

R—定義熱阻，K/W

Re—Reynolds數(shù)

Ra—圓筒軸向?qū)釤嶙瑁琄/W

Rr—圓筒徑向?qū)釤嶙瑁琄/W

Rha—圓筒軸向?qū)α鳠嶙瑁琄/W

Rhr—圓筒徑向?qū)α鳠嶙瑁琄/W

RO-1,RO-2,RO-3,RO-4—節(jié)點O與相鄰節(jié)點間的熱阻， K/W

T1,T2,T3,T4—相鄰節(jié)點溫度，℃

TO—節(jié)點O溫度，℃

Ta—與固體表面接觸的空氣溫度，℃

Tz—靜止固體表面溫度，℃

u—對流換熱特征速度，mm/s

β—熱膨脹系數(shù)，K-1

λ—導熱系數(shù)，W/(m·K)

ΔT—節(jié)點間溫差，℃

εr—徑向應變

εθ—切向應變

μ—變形量，mm

ν—工作溫度下潤滑劑的運動黏度，mm2/s

νa—工作溫度下空氣的運動黏度，mm2/s

σr—徑向應力，MPa

σθ—切向應力，MPa

ω—主軸轉(zhuǎn)動角速度，rad/s

機床在加工工件過程中，驅(qū)動電動機、軸承、切削刀頭等部位會產(chǎn)生大量熱量，導致主軸熱變形，破壞冷態(tài)時各部分準確的相對位置關(guān)系，影響加工精度，同時會進一步加劇軸承等零部件發(fā)熱，甚至造成熱失穩(wěn)，因此，對主軸系統(tǒng)溫度的預測尤為重要。

目前，國內(nèi)外對軸系進行熱分析的主要方法有邊界元法、有限差分法、有限元法以及熱網(wǎng)絡法等。但邊界元法和有限差分法精度不足，有限元法網(wǎng)格劃分復雜、接觸對等設(shè)置繁瑣，導致熱分析過程繁瑣且計算時間較長，不利于工程應用。熱網(wǎng)絡法是一種熱電比擬的數(shù)值計算方法，其借用電學中的基爾霍夫定律得出復雜傳熱系統(tǒng)的熱平衡關(guān)系，再通過編程求解各節(jié)點溫度，其操作簡單、計算效率高，是求解軸系穩(wěn)態(tài)溫度場的一種有效手段[1-4]。現(xiàn)針對新開發(fā)的試驗臺用機械主軸進行徑向熱力耦合分析，以預測穩(wěn)態(tài)溫度場。

1 建立熱網(wǎng)絡模型

1.1 主軸-軸承系統(tǒng)簡化模型

超高速試驗主軸結(jié)構(gòu)如圖1所示，采用單套角接觸球軸承，輕預緊力。在進行模型求解時不考慮接觸熱阻的影響，故可對原試驗主軸結(jié)構(gòu)進行結(jié)構(gòu)簡化，忽略對主軸-軸承系統(tǒng)熱傳遞影響甚微的彈簧、螺母等次要結(jié)構(gòu)，以簡化節(jié)點布置，提高求解效率。簡化后的主軸-軸承系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及節(jié)點布置如圖2所示。由于主軸-軸承系統(tǒng)為旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)，故將三維熱傳遞問題簡化為圖2中34個節(jié)點的二維熱傳遞問題，其中每套軸承視為具有3個熱節(jié)點的簡化模型。主軸軸承預緊方式為定壓預緊，故在使用熱網(wǎng)絡法求解過程中預載荷視為定值，這也是未考慮軸向熱力耦合的原因。

圖1 試驗主軸結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of test spindle

圖2 主軸節(jié)點布置Fig.2 Node layout of spindle

1.2 穩(wěn)態(tài)熱平衡方程組的建立

使用熱網(wǎng)絡法建立穩(wěn)態(tài)熱平衡方程組之前需要解決3個問題：熱源、熱阻的計算以及熱邊界條件的確定。

1.2.1 熱源的計算

建立的機械主軸系統(tǒng)只考慮軸承處發(fā)熱。在大量試驗基礎(chǔ)上得出的計算滾動軸承摩擦力矩的Palmgren經(jīng)驗公式[5]被廣泛采用，該公式在主軸中低速運轉(zhuǎn)時可達到較高的計算精度，高速運轉(zhuǎn)時還需考慮滾動體自旋生熱、潤滑劑攪動生熱等影響，考慮以上因素會增加問題的復雜性，降低求解效率，為兼顧求解精度與求解效率，便于工程應用，文中采用Palmgren經(jīng)驗公式求解熱源。

軸承發(fā)熱量為

Q=Mω。

(1)

摩擦力矩M為

M=M1+M0,

(2)

M1=f1Fβdm,

M1與轉(zhuǎn)速無關(guān)，隨載荷及預緊力的增大而增大；M0與潤滑劑運動黏度和轉(zhuǎn)速有關(guān)，反映潤滑劑的攪拌阻力。

1.2.2 熱阻的計算

類比于歐姆定律中電流與電勢差之間的關(guān)系，熱流與溫差之間的關(guān)系為

(3)

將主軸系統(tǒng)中的空心軸、軸承套圈、套筒等零部件均簡化為空心圓筒，將傳熱學理論應用于空心圓筒，考慮傳導與對流2種傳熱方式，可得圓筒的軸向和徑向?qū)釤嶙璺謩e為

(4)

(5)

圓筒的軸向和徑向?qū)α鳠嶙璺謩e為

(6)

(7)

1.2.3 熱邊界條件的確定

簡化后的主軸-軸承系統(tǒng)將螺旋冷卻管道外的結(jié)構(gòu)忽略，為了降低求解難度，計算時將螺旋冷卻管道處壁面視為恒溫(25 ℃)，不對冷卻管道內(nèi)復雜流動形態(tài)進行研究。另外，原試驗臺采用油氣潤滑，為簡化計算，未考慮油氣對流及熱交換的影響。

軸系附近空氣溫度恒定為27 ℃，對流換熱系數(shù)為

(8)

Nusselt特征數(shù)Nu根據(jù)對流換熱方式不同由不同的經(jīng)驗公式得到。

對于靜止表面，自然對流換熱的Nusselt特征數(shù)計算公式為

Nu=0.53(GrPr)0.25，

(9)

旋轉(zhuǎn)表面強迫對流換熱的Nusselt特征數(shù)為

Nu=0.133(Re)2/3(Pr)1/3，

(10)

1.2.4 穩(wěn)態(tài)熱平衡方程組的建立

建立熱平衡方程組時，將每個熱節(jié)點的熱平衡方程進行聯(lián)立，單個節(jié)點熱傳遞系統(tǒng)如圖3所示。

圖3 二維溫度節(jié)點系統(tǒng)Fig.3 Two-dimensional temperature node system

建立該節(jié)點熱平衡方程為

(11)

為得到熱平衡方程的矩陣形式以便于用MATLAB編程求解，將(11)式整理可得

(12)

對于每個節(jié)點上式均成立，建立所有節(jié)點的熱平衡方程即可得熱平衡方程組的矩陣形式為

GT=Q。

(13)

1.3 徑向熱力耦合分析

僅對主軸-軸承系統(tǒng)徑向熱力耦合進行分析，暫不考慮軸向熱力耦合的影響。主軸-軸承系統(tǒng)在運轉(zhuǎn)的過程中受到熱應力、離心應力和裝配應力的交互影響，根據(jù)各部件間相對幾何關(guān)系，在進行徑向變形分析時可將主軸軸徑視為等截面梁，軸承內(nèi)圈、外圈和軸承座可視為空心圓盤。對于內(nèi)圈，根據(jù)彈性力學理論，柱坐標系下的力平衡方程、幾何方程以及應力-應變方程分別為

(14)

(15)

(16)

整理(14)～(16)式可得

(17)

根據(jù)以下軸承內(nèi)圈受力邊界條件即可求得徑向變形與徑向應力的表達式

(18)

2 熱網(wǎng)絡模型求解

2.1 計算流程

試驗臺主軸用角接觸球軸承套圈和球材料采用符合GB/T 18254—2002《高碳鉻軸承鋼》規(guī)定的高碳鉻軸承鋼，其他參數(shù)見表1，相關(guān)工況及技術(shù)參數(shù)見表2,潤滑方式為油氣潤滑。

表1 軸承主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of bearing

表2 工況及技術(shù)參數(shù)Tab.2 Operating conditions and technical parameters

采用MATLAB軟件對該系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)溫度場進行求解，流程圖如圖4所示。

圖4 穩(wěn)態(tài)溫度場求解流程圖Fig.4 Flow chart for solve steady temperature field

根據(jù)徑向熱變形反復修正穩(wěn)態(tài)溫度場，直到穩(wěn)態(tài)溫度場基本不變時認為計算結(jié)果收斂。若達到設(shè)定的迭代次數(shù)仍未收斂，查看輸出結(jié)果是否不合理。運行結(jié)果表明，對于主軸轉(zhuǎn)速小于20 000 r/min的情況，迭代次數(shù)設(shè)置為1 000次，計算結(jié)果均可較快達到收斂。

2.2 穩(wěn)態(tài)溫度場求解結(jié)果

程序運行結(jié)果顯示，軸承處溫度最高，提取軸承套圈以及球溫度進行分析。根據(jù)程序運行結(jié)果，2套軸承內(nèi)圈內(nèi)表面和外圈外表面溫度隨轉(zhuǎn)速的變化如圖5所示。由圖可知，隨轉(zhuǎn)速的提高，軸承溫度也不斷升高，由于該模型基本成左右對稱分布，故2套軸承溫度變化曲線基本重合。另外，由于螺旋冷卻管道的作用以及沒有考慮接觸熱阻的影響，使得內(nèi)圈內(nèi)表面溫度高于外圈外表面溫度，且轉(zhuǎn)速越大該差距越明顯，說明冷卻水套在高轉(zhuǎn)速時降低軸系溫度的作用更加明顯。

圖5 軸承溫度隨轉(zhuǎn)速變化的規(guī)律Fig.5 Variation rule of bearing temperature with rotational speed

單獨提取1#軸承穩(wěn)態(tài)時溫度隨轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律，如圖6所示。由圖可知，球的溫度與內(nèi)圈內(nèi)表面溫度變化曲線基本重合，這是因為一方面沒有考慮接觸熱阻的影響；另一方面內(nèi)圈較薄且散熱情況較外圈差，而球只設(shè)定了一個熱節(jié)點，達到熱平衡時內(nèi)圈內(nèi)表面節(jié)點與球節(jié)點(圖2中9#和10#節(jié)點)距離很近，故溫度基本相同。

圖6 1#軸承溫度隨轉(zhuǎn)速變化的規(guī)律Fig.6 Variation rule of 1# bearing temperature with rotational speed

冷卻水套對1#軸承溫度的影響如圖7所示。由圖可知，加上冷卻水套后，不同轉(zhuǎn)速下1#軸承內(nèi)圈內(nèi)表面與外圈外表面的溫度均降低約2 ℃，說明冷卻水套的降溫效果明顯。試驗過程中若能保證冷卻水的良好循環(huán)，使其內(nèi)壁溫度近似恒定在25 ℃，即可有效降低軸系內(nèi)軸承溫度，由于2套軸承是機械主軸系統(tǒng)內(nèi)唯一熱源，故可以降低整個軸系的整體溫度。

圖7 冷卻水套對1#軸承溫度的影響Fig.7 Influence of cooling water jacket on 1# bearing temperature

2.3 求解結(jié)果與試驗結(jié)果對比分析

在相同工況下對相同型號的2套軸承進行溫度試驗，由于測量條件限制，只對外圈外表面進行記錄。試驗采用某公司生產(chǎn)的高速電主軸軸承試驗機(圖1)。軸向載荷通過液壓閥進行加載。試驗軸承采用循環(huán)冷卻水，保持外圈溫度穩(wěn)定。溫度傳感器測頭通過試驗軸座上的小孔直接接觸外圈。試驗結(jié)果與計算結(jié)果對比如圖8所示。

圖8 軸承外圈外表面溫度對比Fig.8 Comparison of outer surface temperature of bearing outer ring

由圖8可知，試驗過程中2套軸承外圈表面溫度明顯低于計算值，存在偏差；同時，計算結(jié)果中2套軸承的溫度曲線是相同的，但試驗過程中2套軸承存在明顯溫度差。這是由于1#軸承端循環(huán)管道較密集，且冷卻循環(huán)水是由此端進入，經(jīng)過循環(huán)后從2#軸承端排出，此時溫度已經(jīng)升高，因此，1#軸承冷卻較為充分，試驗結(jié)果也佐證了計算分析中循環(huán)管道對軸承溫升的冷卻作用。

3 結(jié)束語

通過考慮徑向熱力耦合的熱網(wǎng)絡法對主軸-軸承系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)溫度場分布進行了求解，結(jié)果表明：當把軸承發(fā)熱作為唯一熱源時，軸承溫升明顯，螺旋管道冷卻對降低外圈溫升起了很大作用，隨著軸承轉(zhuǎn)速的升高軸承溫升增加，冷卻管道的作用也更為突出。但利用熱網(wǎng)絡法求解過程中忽略了軸向力作用，使得計算結(jié)果有較大誤差，且由于Palmgren經(jīng)驗公式在主軸轉(zhuǎn)速較高時誤差較大，因此，此方法還不適合用于超高速軸承溫度場的分析。