邊坡圓弧滑裂面最小安全系數(shù)的簡(jiǎn)捷計(jì)算法

于興華，滕 凱

(1.黑龍江省水利水電集團(tuán)沖填工程有限公司,哈爾濱 150001；2.齊齊哈爾市水務(wù)局,黑龍江省齊齊哈爾 161006)

1 研究背景

邊坡穩(wěn)定分析的圓弧滑動(dòng)法是Fellenius基于極限平衡理論與1936年提出的，在此之后，Bishop、Spencer及Sarma等又先后提出了各種簡(jiǎn)化方法。由于其分析計(jì)算的過(guò)程是通過(guò)完成對(duì)多個(gè)假定滑弧面上土體條分塊的受力求和來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因此，求解過(guò)程繁復(fù)，計(jì)算工作量大。但因該方法基本概念清楚，涉及原理簡(jiǎn)單，實(shí)際工程應(yīng)用較久，且獲得了較好的工程檢驗(yàn)效果，所以，圓弧滑動(dòng)法仍然是目前作為邊坡穩(wěn)定分析的主要方法，并被納入相關(guān)設(shè)計(jì)規(guī)范[1]。為了加快尋求邊坡臨界滑裂面和最小安全系數(shù)的計(jì)算方法，相關(guān)學(xué)者開(kāi)展了大量而卓有成效的研究工作，截止目前，以提出的計(jì)算方法主要有智能算法[2-7]、試算法[8-10]、圖表法[11]及解析法[12]。智能算法雖然可利用微機(jī)通過(guò)最優(yōu)化方法完成求解，但因涉及初值選取及局部最優(yōu)解問(wèn)題，往往使計(jì)算可能不收斂或無(wú)真解獲得；試算法由于涉及的計(jì)算公式比較冗長(zhǎng)，且需通過(guò)反復(fù)的逐次逼近，實(shí)際應(yīng)用繁瑣不便；圖表法雖然計(jì)算過(guò)程比較直觀，但因受圖表束縛，不便實(shí)際工作，而且由于現(xiàn)有圖表法是基于瑞典條分法所得，實(shí)際應(yīng)用誤差較大，一般為10%～20%；解析法雖然可以直接完成相關(guān)參數(shù)求解(圓心坐標(biāo)及圓弧半徑)，但因各參數(shù)及相關(guān)中間變量的表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜，計(jì)算過(guò)程十分繁復(fù)，而且由于在公式推導(dǎo)中將多個(gè)反三角函數(shù)和根式進(jìn)行了麥克勞林展開(kāi)式近似替代，受變量值域及誤差累積影響，計(jì)算精度不易保證。

為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化求解邊坡滑動(dòng)最小安全系數(shù)的計(jì)算過(guò)程，實(shí)現(xiàn)利用已知的邊坡高度、邊坡坡比及邊坡土體特征參數(shù)直接完成最小安全系數(shù)求解，本文通過(guò)數(shù)學(xué)方法，基于安全系數(shù)的基本計(jì)算公式，以積分函數(shù)取代條分求和，用求極值方法取代逐次逼近計(jì)算，經(jīng)推導(dǎo)及整理，獲得了邊坡穩(wěn)定最小安全系數(shù)與邊坡坡比及土體參數(shù)的數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系，并依據(jù)該數(shù)值關(guān)系繪制了相應(yīng)的關(guān)系曲線，基于曲線特點(diǎn)，采用最優(yōu)化擬合技術(shù)，取最大誤差絕對(duì)值與標(biāo)準(zhǔn)剩余差之和最小為目標(biāo)函數(shù)，經(jīng)逐次擬合比選，獲得了可直接完成邊坡穩(wěn)定最小安全系數(shù)求解的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，該公式表達(dá)形式簡(jiǎn)單、計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)捷、求解精度高、便于實(shí)際工程應(yīng)用。

2 簡(jiǎn)化計(jì)算公式的建立

2.1 解析計(jì)算公式的推求

圖1的滑裂面為圓弧的土質(zhì)邊坡，邊坡的高度為H，邊坡比為m(對(duì)應(yīng)的傾角為β)，容重為γ，滑裂面上土的黏聚力及內(nèi)摩擦角分別為c及φ。滑弧圓心為O(a，b)(a，b分別為x、y軸的坐標(biāo)值)，E1E2E3E4為滑弧上方劃分的面積Ai的第i塊微小土體條。

圖1 圓弧滑動(dòng)圖

根據(jù)圖1中滑裂面的幾何關(guān)系及受力分析，F(xiàn)ellenins依據(jù)極限平衡理論建立的邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)的計(jì)算公式為[13-15]：

(1)

根據(jù)圖1中的幾何關(guān)系，利用積分取代式(1)中求和部分，經(jīng)整理可得：

(2)

其中：

(3)

(4)

L=Hcotβ

(5)

(6)

y1=xtanβ

(7)

(8)

(9)

其中：

f=A+By

(10)

(11)

(12)

式中：μ、p、ρ、A及B均為中間變量；y為邊坡已知特征綜合參數(shù)；f為邊坡穩(wěn)定影響系數(shù)。

為求得最危險(xiǎn)圓弧滑動(dòng)面，即kmin值，將式(10)～(12)代入式(9)，完成對(duì)式(9)的求導(dǎo)，并令其為0，即為：

(13)

經(jīng)進(jìn)一步整理可得：

(14)

由式(13)可見(jiàn)，當(dāng)f取得最小值fmin時(shí)，k即為最小值kmin。因此，求kmin就轉(zhuǎn)化為利用式(14)、(10)求fmin問(wèn)題。對(duì)于某一固定邊坡，其坡比m、坡高H、土體容重γ、黏聚力c及內(nèi)摩擦角φ均為已知值，因此，可設(shè)μ的第1次迭代值為μ1，利用式(14)通過(guò)試算(或采用黃金分割法)即可求得與μ1相對(duì)應(yīng)的p1，將μ1、p1代入式(11)、(12)及式(10)即可求得與其相對(duì)應(yīng)的f1，按照這一計(jì)算過(guò)程和步驟，再分別選取μ2，μ3，…，μn求出與其相對(duì)應(yīng)的f2，f3，…，fn值，并比較其大小，直到獲得fmin，進(jìn)而由式(9)即可求得邊坡穩(wěn)定最小安全系數(shù)kmin值。

2.2 簡(jiǎn)化公式的建立

利用上述解析計(jì)算公式求解邊坡穩(wěn)定最小安全系數(shù)的過(guò)程尚顯過(guò)于繁瑣，為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，本文在對(duì)大量計(jì)算成果進(jìn)行分析及整理的基礎(chǔ)上，提出了可直接完成邊坡最小安全系數(shù)求解的計(jì)算公式。

2.2.1 fmin～m～y曲線分析

根據(jù)文獻(xiàn)[14]、[15]可知，產(chǎn)生圓弧滑裂的邊坡土體均為黏性土，其黏聚力c一般均大于10 kPa，邊坡已知特征綜合參數(shù)y的值域范圍一般為0～90。在實(shí)際工程中，經(jīng)常遇到的挖填方或自然土質(zhì)邊坡工程，其邊坡比m一般多在1∶0.5～1∶5.0 (對(duì)應(yīng)的傾角β為63.43°～11.31°)，依據(jù)參數(shù)的這一適用范圍，利用公式(14)及式(10)采用上述計(jì)算方法，可分別求得與邊坡坡比m及邊坡已知特征綜合參數(shù)y相對(duì)應(yīng)的邊坡最小穩(wěn)定影響系數(shù)fmin，有關(guān)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 fmin～m～y關(guān)系計(jì)算結(jié)果表

為了分析fmin～m～y的數(shù)值函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用表1中的計(jì)算結(jié)果即可完成fmin～m～y的關(guān)系曲線繪制，見(jiàn)圖2所示。

由圖2可見(jiàn)，當(dāng)y值一定時(shí)，fmin隨m值的減小而增大,并且fmin～y曲線的切線斜率隨m值的增大而減小；而當(dāng)m為一定值時(shí)，fmin隨y值的增大呈非線性關(guān)系增加，并且fmin～y曲線的切線斜率隨y值的增大而減小(即為：fmin的增量Δfmin隨y值的增大而減小)，因此fmin～y為指數(shù)小于1的指數(shù)函數(shù)曲線；當(dāng)y=0時(shí)，fmin>0，曲線在縱坐標(biāo)軸上的截距應(yīng)為φ=0時(shí)的邊坡最小穩(wěn)定影響系數(shù)fmin。

圖2 fmin～m～y關(guān)系曲線圖

2.2.2 簡(jiǎn)化計(jì)算公式

根據(jù)上述分析，fmin～y可表示為指數(shù)函數(shù)形式，且指數(shù)x∈(0,1)，曲線在縱坐標(biāo)軸上的截距D>0 。基于這一分析成果，為使替代函數(shù)具有更好的擬合精度，本文取最大相對(duì)誤差絕對(duì)值與標(biāo)準(zhǔn)剩余差之和最小為目標(biāo)函數(shù)，即為：

(15)

經(jīng)逐次擬合逼近即可求得表1中關(guān)于fmin～m～y數(shù)值關(guān)系的最優(yōu)擬合，替代式為：

(16)

其中：

(17)

式中：C、D、x均為與邊坡比m有關(guān)的中間變量。

3 簡(jiǎn)化計(jì)算公式的精度分析

(18)

圖3 式(16)相對(duì)誤差包絡(luò)圖

由圖3可見(jiàn)，式(16)替代式(10)相對(duì)誤差包絡(luò)圖所形成的正、負(fù)誤差面積基本相等，最大相對(duì)誤差絕對(duì)值也基本相等，且最大擬合相對(duì)誤差小于1.25%，因此，式(16)具有較好的擬合替代精度，完全滿(mǎn)足實(shí)際工程的計(jì)算精度要求。

4 算例及比較

為說(shuō)明本文簡(jiǎn)化公式的適用性及計(jì)算精度，現(xiàn)以工程實(shí)例計(jì)算結(jié)果的比較進(jìn)行說(shuō)明。為便于計(jì)算，將所引用相關(guān)文獻(xiàn)計(jì)算實(shí)例的邊坡參數(shù)及最小安全系數(shù)的求解成果列于表2。依據(jù)各算例邊坡的已知參數(shù)，采用本文公式可直接完成邊坡穩(wěn)定最小安全系數(shù)求解，并完成精度比較，結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 工程實(shí)例計(jì)算結(jié)果比較表

由表2可見(jiàn)，在上述邊坡工程中，盡管邊坡各參數(shù)值變化較大，但本文簡(jiǎn)化公式的計(jì)算結(jié)果與原文計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差的絕對(duì)值均不超過(guò)1.23%，可見(jiàn)，本文公式具有較好的計(jì)算精度。

5 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)目前開(kāi)展邊坡圓弧滑裂面穩(wěn)定最小安全系數(shù)求解方法存在的問(wèn)題，提出了邊坡穩(wěn)定最小安全系數(shù)求解的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，該公式具有以下主要優(yōu)點(diǎn)：

(1) 利用邊坡已知參數(shù)即可直接完成邊坡圓弧滑裂面穩(wěn)定最小安全系數(shù)求解，避免了傳統(tǒng)算法必須首先完成最危險(xiǎn)滑裂面所對(duì)應(yīng)圓心坐標(biāo)及圓弧半徑的繁復(fù)的中間求解過(guò)程，使求解計(jì)算簡(jiǎn)捷直觀。

(2) 公式表達(dá)形式均為簡(jiǎn)單的指數(shù)函數(shù)，利用普通的計(jì)算器即可非常方便地完成求解運(yùn)算，便于實(shí)際推廣應(yīng)用。

(3) 精度分析及算例計(jì)算結(jié)果比較說(shuō)明，在工程適用參數(shù)范圍內(nèi)，本文簡(jiǎn)化計(jì)算公式求解結(jié)果的最大相對(duì)誤差小于1.25%，完全滿(mǎn)足實(shí)際工程的計(jì)算精度要求。