巧解多面體內(nèi)切球和外接球問題

韓曉娟

摘 要：多面體的內(nèi)切球和外接球問題是一直困擾廣大高考考生的一個數(shù)學(xué)難點(diǎn)，但作為球體與多面體的一個綜合運(yùn)用，它又是高考的熱門考點(diǎn)，它不僅對空間圖形的想象力有很高要求，而且對不同問題之間的轉(zhuǎn)化能力也有一定難度.如何找到多面體的內(nèi)切球與外接球與多面體結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系？如何運(yùn)用多面體幾何特征與球的半徑之間的關(guān)系？是高考備考的一個重要考點(diǎn)，如何將這個重點(diǎn)讓學(xué)生既輕松又靈活地掌握是探究的主要任務(wù)。

關(guān)鍵詞：內(nèi)切球；外接球；多面體；體積；面積

多面體的內(nèi)切球和外接球問題是一直困擾廣大高考考生的一個難點(diǎn)，又是高考的熱點(diǎn)，如何快速簡單地解決這個問題呢？下面談?wù)勎业膸c(diǎn)認(rèn)識。

巧解一：用特殊圖形體對角線求直徑

1.與正方體或長方體的外接球的有關(guān)問題

3.正棱錐的外接球與內(nèi)切球的問題

題3.已知棱長為a的正四面體，則此正四面體的內(nèi)切球的表面積為_____________。

解析：如圖2正四面體中，M為頂點(diǎn)P在下底面的射影，也就是底面三角形ABC的重心，

題4.已知側(cè)棱和底面邊長都是3的正四棱錐，則其外接球的半徑是多少？

解析：依題意，過頂點(diǎn)P做下底面的垂線，垂足為M，則外接球的球心在線段PM上，設(shè)為O點(diǎn)，連接OA，在RT△OMA中，OA=R，PM==3，OM=PM-R=3-R，MA=3，又OA2=OM2+MA2，解得：R=3

巧解二：補(bǔ)形法（出現(xiàn)相互垂直的“墻角”時，可補(bǔ)形為正方體或長方體）

巧解思路：如果在一個三棱錐中，同一頂點(diǎn)處有三條互相垂直的側(cè)棱，就可以將這個三棱錐補(bǔ)形成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑。出現(xiàn)互相垂直的三條共點(diǎn)棱或互相垂直的三個共點(diǎn)面結(jié)構(gòu)時用補(bǔ)形方法，聯(lián)系長方體可將復(fù)雜的問題巧妙轉(zhuǎn)化為簡單問題從而輕松解決。

題5.如圖3為某四棱錐的三視圖，則求該四棱錐的外接球的表面積為___________

注：本文系2017年甘肅省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃“隴原名師”專項(xiàng)課題“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中圖形教學(xué)的策略及效果研究”（立項(xiàng)號：GS[2017]MSZX057）的成果之一。

編輯 魯翠紅