數列與不等式的交匯應用

韓文美

數列與不等式的交匯問題，既有函數的思想方法，也有數列特定的思想方法，更有不等式求解、證明的方法和技巧，由于知識覆蓋面廣、綜合性強而成為高考命題的熱點之一，解答起來有一定的難度，

一、函數性質

例1 設等差數列{an}的公差為d，若數列{ea1an}（e為自然對數的底數）為遞增數列，則

A.d<0

B.d>0

C.a1d<0

D.a1d>0

分析 結合遞增數列的性質建立不等式，通過求解指數不等式，結合等差數列的通項加以轉化，即可判斷相應的不等關系式.

解 由數列{ea1an}是遞增數列，可得ea1an0.選D.

小結 涉及數列的基本性質（包括單調性、周期性等）問題，特別是數列的單調性問題，往往離不開利用不等式的綜合與應用進行求解，

二、項數問題

例2 若數列{an}滿足：a1=2 018，an+1=an-3（n∈N*），則數列{an}的前n項和取得最大值時，n的值為

A.672

B.673

C.674

D.675

分析 根據題目條件，結合等差數列的定義求其通項公式，由數列{an}的前n項和取得最大值，得到對應的不等式組，通過不等式組的求解，并結合項數的取值限制加以確定.

解 由a1=2018，an+1-an=-3，可知數列{an}是以2018為首項、-3為公差的等差數列，所以an=2018+（-3） （n-1）=2021-3n.設數列{an}的前k（k∈N*）項和取得最大值，則

即

，所以2018/3≤K≤2021/3.由于K∈N*，所以K=673，則滿足條件的n的值為673.選B.

小結 數列與不等式交匯中的項數問題，往往通過數列的定義、通項公式、相應性質以及數列求和的應用，結合不等式（組）的分析與求解來解決，注意不等式（組）的求解結果與數列對參數的限制條件之間的關系與應用.

三、創新問題

例3 若數列{an}滿足：1/an+1-1/an=d（n∈N*，d為常數），則稱數列{an}為調和數列.已知正項數列{1/bn}為調和數列，且bl+b2+…+b2017=20170，則b1.b2017的最大值是

A.100

B.90

C200

D.400

分析 根據創新定義的轉化得到{bn}為等差數列，結合等差數列的性質以及基本不等式來解決相應的最值問題.

解 由調和數列的定義可知bn+1-bn=d，所以{bn}為等差數列，由于b1+b2+…+b2017=2017bl009=20170，所以b1009=10，b1+b2017=2b1009=20，則b1·b2017≤（b1+b2017/2）2=100，當且僅當bl=b2017時取等號.選A.

小結 涉及最值等相關知識的數列創新問題，經常結合新定義，將新定義的數列轉化為等差數列或等比數列，利用特殊數列的概念、公式、性質等，并結合不等式的相關知識進行解答.

四、參數問題

例4 已知等比數列{an}滿足an+1+an=3·2n-l，n∈N*.

（I）求數列{an}的通項公式.

（Ⅱ）設數列{an}的前n項和為Sn，若不等式Sn>kan+1對一切n∈N*恒成立，求實數k的取值范圍.

分析 （I）利用等比數列所滿足的關系式，通過特殊值法確定相關的關系式，結合整體思維求得公比，進而得到首項和對應的通項公式.（Ⅱ）結合（I）中的結論求前n項和，利用不等式Sn>kan+1分離參數，設出對應的函數并求得最值，進而求得參數的取值范圍，

解 （I）設等比數列{an}的公比為q.由于an+1+an=3·2n-1，n∈N*，所以a2+a1=3，a3+a2=6，則q=a3+a2/a2+a1=6/3=2.于是可得2a1+a1=3，則a1=l，所以an=2n-l，n∈N*.

（Ⅱ）由（I），可知Sn=a1（1-qn）/1-q=1-2n/1-2=2n-1.由題設有2n-1>k·2n-1+l，即k<2-1/2n-2對一切n∈N*恒成立，令f（n）=2-1/2n-2，由f（n）隨n的增大而增大，可知fmin（n）=f（1）=2-2=0，則k<0，所以實數k的取值范圍是（-∞，0）.

小結 數列與不等式交匯中的參數問題，常將相應的不等式與數列中的相關公式加以綜合，進行參數分離，利用相關函數的最值的求解，進行等價轉化，達到解決問題的目的，

五、應用問題

例5 為了加強環保建設，提高社會效益和經濟效益，長沙市計劃用若干時間更換一萬輛燃油型公交車，每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，新車為電力型和？昆合動力型車，今年年初投入了電力型公交車128輛，混合動力型公交車400輛：計劃以后電力型公交車每年的投入量比上一年增加50%，混合動力型公交車每年比上一年多投入a輛.

（I）求經過n年，該市被更換的公交車總數S（n）.

（Ⅱ）若該市計劃5年內完成全部更換，求a的最小值，

分析 （I）設an，bn。分別為第n年投入的電力型公交車，混合動力型公交車的數量，分別確定數列的類型，根據數列的前n項和公式求解即可.（Ⅱ）根據題目條件轉化為不等式關系S（5）≥10000，利用不等式的求解來確定參數a的最小值.

解 （I）設an，bn分別為第n年投入的電力型公交車，混合動力型公交車的數量.依題意得{an}是以128為首項、3/2為公比的等比數列，{bn}是以400為首項、a為公差的等差數列，所以數列{an}的前n項和Sn=128[1-（3/2）n]/1-3/2=256[（3/2）n-1]，數列{bn}的前n項和Tn=400n+n（n-1）/2 a，則經過n年，該市被更換的公交車總數S（n）=Sn+Tn=256[（3/2）n-1]+400n+n（n-1）/2 a.

（Ⅱ）若計劃5年內完成全部更換，則S（5）≥10000，所以256[（3/2）5-1]+400x5+5x4/2 a≥10000，即100≥6312，解得a≥631.2.又a∈N*，所以a的最小值為632.

小結 數列與不等式交匯中的實際應用問題，往往通過相應數列的通項、求和公式確定相應的關系式，利用實際問題建立對應的不等關系進行求解.對求參數問題，一定要結合實際應用問題，確保參數在實際中有意義，

六、證明問題

例6 已知數列{an}是公差不為零的等差數列，a5=5，且a3，a4，a7成等比數列.

（I）求數列{an}的通項公式.

（Ⅱ）設bn=an/2n，數列{bn}的前n項和為Tn，求證：-7/4≤Tn<-1（n∈N*）.

分析 （I）通過待定系數法，根據題目條件建立方程組，求得首項與公差，從而可得數列{an}的通項公式.（Ⅱ）先利用錯位相減法求出數列{bn}的前n項和Tn，再確定其單調性，即可證明對應的數列不等式成立.

（I）解：an=2n-5（n∈N*）.（解答過程省略）

（Ⅱ）（證明過程省略）

小結 數列與不等式交匯的綜合問題，若是證明題，要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等：若是解不等式題，要選擇不等式的不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等.