中考題的“源頭活水”在教材

文張浩杰

縱觀各地的中考數學試題，總能發現有些試題直接來源于教材中的習題或例題。如果我們在平時的數學學習過程中，能夠關注到這一點，充分挖掘教材習題、例題的價值，將會讓我們的學習過程充滿挑戰感，也必將為我們的數學學習插上騰飛之翼。

例（2019·黑龍江綏化）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，則∠A= 度。

圖1

圖2

【思路解析】從已知條件中，我們發現該圖中存在三個等腰三角形，則可以利用等腰三角形的性質及三角形內（外）角和定理打通角與角之間的聯系，聯合方程思想，進而解決問題。

【解法呈現】∵BD=AD，

設∠A=∠ABD=x°，

∴∠BDC=2x°。

∵BD=BC，

∴∠C=∠BDC=2x°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=2x°，

∴x+2x+2x=180，

即x=36，

∴∠A=36°。

【教材之影】蘇科版《數學》八年級上冊第2章第5節“等腰三角形的軸對稱性”習題第7題。

如圖2，∠C=36°，∠B=72°，∠BAD=36°。

（1）求∠1和∠2的度數；

（2）找出圖中的等腰三角形。

【變式探究】

（1）如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC。證明：△DCB為等腰三角形。

（2）如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，BD∶DC=m∶n。求△ABD與△BDC的面積比。

（3）如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，BD=m，DC=n。求△ABD的周長。

（4）如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°。仿照圖4，請你再設計兩種不同的分法，將△ABC分割成3個三角形，使得每個三角形都是等腰三角形。（注：如果兩個圖中分割出的3個三角形分別全等而只是分割線的具體位置不同，則視為同一種分割方法。）

圖3

圖4

提示：如圖5、圖6、圖7。

圖5

圖6

圖7

（5）如圖8，把等邊三角形ABC分成四個等腰三角形。

圖8

提示：（1）如圖9，取三邊中點D、E、F，連接DE、DF、EF；（2）如圖10，取三邊中點D、E、F，連接DE、AE、EF。

圖9

圖10

【同類鏈接】

（2019·浙江衢州）“三等分角”大約是在公元前五世紀由古希臘人提出來的，借助如圖11所示的“三等分角儀”能三等分任一角。這個“三等分角儀”由兩根有槽的棒OA、OB組成，兩根棒在O點相連并可繞O轉動。C點固定，OC=CD=DE，點D、E可在槽中滑動。若∠BDE=75°，則∠CDE的度數是（ ）。

A.60° B.65° C.75° D.80°

圖11

提示：∵OC=CD=DE，

∴∠O=∠CDO，∠DCE=∠CED，

∵∠DCE=2∠O，

∴∠EDB=3∠O=75°，

∴∠O=25°，∠CED=∠ECD=50°，

∴∠CDE=80°，故選D。