函數極限定義的教學藝術

摘 要：本文用直觀藝術的方法探討函數極限的定義教學方法，針對深奧的定義給出了淺顯易懂的教學方法。

關鍵詞：函數極限;直觀描述;數形結合

函數極限的定義是微積分的基礎，極限作為一個工具在后面學習導數積分級數等起到非常重要的作用，是高等數學中最重要也是最基本的內容之一，因此極限的教學效果起著高等數學學習至關重要的作用。而很多大學新生在剛剛接觸極限理論這一塊的時候往往會感到困難，和中學的數學思想有很大的差異，一時間很難真正理解極限的思想，對于極限定義認識模糊，不理解其定義的精髓，從而用定義證明一些函數極限的時候往往也很難下手。

導致這種情況的主要原因：一方面，大多數學生停留在中學數學的思維上，短時間很難轉換到大學數學的思維上來;另一方面，大多數微積分方面的教材在剛開始引入極限理論的時候往往過多地強調理論使得學生很難形成直觀的認識。要克服這些教學難點，在教學中就要使用一些藝術的方法使得學生能夠更直觀、更直接地認識函數極限的定義。本文在分析教學難點的基礎上，引導學生正確理解函數極限的定義，用數形結合、直觀描述等方法，引導學生通過觀察、歸納、總結得出函數極限的定義，并用此定義能夠證明函數極限。

1 認識無窮小

講授函數極限的定義必須涉及無窮小的認識，無窮小是比一切小的正數都要小的正數，對于這個認識可以通過一個具體的實例來認識什么是無窮小。

從這個例子可以看出比所有的正數小，那么只能對于0，這個對于一切的代表了一切正數，包括一切的很大的正數即無窮大那部分，也包括了一切小的正數即無窮小的正數，而這里比所有的正數都要小的正數指的是一切小的正數，即無窮小。從這個例子看出無窮小指的是比一切小的正數都要小的正數。

2 數形結合理解函數極限的定義

在講授函數極限的定義之前，先有目的舉一些例子，使學生通過圖形對極限有了初步的認識。下面列舉一些簡單的有代表性的函數研究其變化趨勢。

通過圖形考察當x無限增大時，即時的變化趨勢，可以很容易地看到有如下結論：

通過數形結合激發學生的興趣，使學生感受數學的美，把數學看作一門藝術觀察引導使學生對極限的概念有初步的認識，并且讓學生知道直觀描述極限的定義便于理解什么是函數的極限。

3 直觀描述函數極限的定義

通過上面的例子我們來考察當對于一切的時，極限為A的定義，即x當無限增大時，無限趨近于A，由于學生已經學過數列極限的定義，對無限小以及無限趨近已經有了一定的理解，根據函數極限的定義方法及上面幾個例子的直觀描繪，學生可以很容易地得出，x當無限趨近于x0時，無限趨近于A，即為無論取多么小的正數當x無限的接近于x0時，即x在x0的一個小鄰域時，總有與A的距離比ε還小。從而自然地給出當時，極限為A的定義，即：

這樣從具體的例子開始的方式可以吸引學生的注意力，容易使學生形成直觀印象，并引發想象，為函數極限定義做好了必要的思想準備，再通過直觀到抽象，由特殊到一般，自然地給出函數極限的定義，避免了很多教科書一開始就給出極限的定義的情況，使學生對極限的定義有全面的理解和掌握。

4 通過實例用極限的定義證明函數極限

為了加深對概念的理解，通過一些例子可以讓學生對所學知識達到鞏固提高的目的。另外，上例中的結論都是通過直觀給出的結論，而這些結論都可以通過函數極限的定義給出嚴格的證明，這樣也消除了學生心中的疑慮。

通過上述例題的證明使學生加深了對極限概念的理解，認識了無窮小，理解了函數極限的定義，并且通過實例掌握了用定義證明函數極限的一般方法，將一開始舉的例子由直觀給出的結論給出了嚴格的證明，進一步鞏固了所學的知識，有助于加深對極限定義的理解，為以后的高等數學的學習打下良好的基礎。

參考文獻：

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作者簡介：郭家勇（1973—），江蘇連云港人，碩士，講師，連云港師范高等專科學校數學系副教授，主要從事函數論、代數表示論研究。