基于三次樣條函數(shù)的長(zhǎng)線(xiàn)路GNSS高程擬合研究

張海燕，李秀海,韓 冰

(1.廣東省佛山市南海區(qū)房地產(chǎn)測(cè)繪中心,廣東 佛山 528220 ;2.黑龍江工程學(xué)院 測(cè)繪工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150050;3.哈爾濱測(cè)量高等專(zhuān)科學(xué)校測(cè)量工程公司，黑龍江 哈爾濱 150050；4.黑龍江測(cè)繪地理信息局 地理信息工程院，黑龍江 哈爾濱 150081)

GNSS高程擬合仍是目前測(cè)繪工程技術(shù)研究的熱點(diǎn)，并取得了可喜的研究成果[1-9]。公路測(cè)繪GNSS高程擬合不斷有測(cè)繪科技工作者進(jìn)行理論研究和實(shí)踐探索[10-12]。公路測(cè)繪具有測(cè)區(qū)狹窄和線(xiàn)狀的特點(diǎn)，且高程控制測(cè)量等級(jí)以四等和等外水準(zhǔn)測(cè)量為主。在面狀、線(xiàn)狀測(cè)區(qū)具有較多高等級(jí)高程控制點(diǎn)的情況下，已有的GNSS高程擬合研究成果已證明能夠達(dá)到四等或更好的精度。由于國(guó)家已有高等級(jí)測(cè)量控制點(diǎn)破壞較嚴(yán)重，外業(yè)公路控制測(cè)量能夠利用的高級(jí)水準(zhǔn)點(diǎn)并不多，在高程起算點(diǎn)數(shù)量較少和擬合線(xiàn)路較長(zhǎng)的情況下研究GNSS高程擬合的精度和可靠性更具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。已有公路GNSS高程擬合研究成果多以分區(qū)、分段，以線(xiàn)性、曲線(xiàn)模型擬合，需要較多的高程起算數(shù)據(jù)，實(shí)際工程很難滿(mǎn)足。三次樣條函數(shù)具有連續(xù)光滑的特點(diǎn)，對(duì)一些連續(xù)光滑的曲線(xiàn)物理模型具有很好的擬合效果，而線(xiàn)狀區(qū)域大地水準(zhǔn)面具有連續(xù)光滑的特性，因此利用三次樣條函數(shù)對(duì)線(xiàn)狀GNSS高程擬合具有很好的適應(yīng)性。本文利用某道路改擴(kuò)建工程的一級(jí)GNSS和四等高程控制網(wǎng)的工程實(shí)例，基于三次樣條函數(shù)對(duì)GNSS高程擬合進(jìn)行了研究，得到了一些有益的結(jié)論。

1 公路GNSS高程擬合常用的數(shù)學(xué)模型

公路GNSS高程擬合常采用以下線(xiàn)性模型、二次曲線(xiàn)模型和三次曲線(xiàn)模型：

ξ=a0+a1x,

(1)

ξ=a0+a1x+a2x2,

(2)

ξ=a0+a1x+a2x2+a3x2,

(3)

ξ=H大-h正.

(4)

式中:ξ為高程異常;x為擬合坐標(biāo)(或是設(shè)計(jì)公路的里程數(shù))。通過(guò)公共點(diǎn)的大地高和正常高，根據(jù)最小二乘原理可求出式(1)—式(3)中的系數(shù)ai，進(jìn)而可求出擬合點(diǎn)的高程異常及正常高。

2 三次樣條函數(shù)及三彎矩方程

設(shè)有一剖分Ω，p1=x1

B(x)∈C2[p1，p2](即B(x)在閉區(qū)間[p1，p2]具有連續(xù)的一階、二階導(dǎo)數(shù))。

B(x)在每一個(gè)子區(qū)間[xi,xi+1]上(j=1,2,…，n-1)是次數(shù)≤3的多項(xiàng)式，則稱(chēng)B(x)為關(guān)于剖分Ω的一個(gè)三次樣條函數(shù)[13]。

設(shè)有函數(shù)f(x),其函數(shù)值表(xi，f(xi))，(i=1,2，…，n),如果三次樣條函數(shù)B(x)滿(mǎn)足插值條件

B(xi)=f(xi),(i=1,2,…,n).

稱(chēng)B(x)為f(x)的關(guān)于剖分Ω的三次樣條插值函數(shù)。分段三次多項(xiàng)式函數(shù)可由Hermite插值函數(shù)表示，即B(x)在[xi,xi+1]的表達(dá)式為

B(x)=Bi(x)=yi+ai,1(x-xi)+

ai,2(x-xi)2+ai,3(x-xi)3.

(5)

(6)

其中Di是三次樣條函數(shù)B(x)在節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，即

B″(xi)=Di,(i=1,2,…,n).

確定三次樣條函數(shù)需要求解Di，在滿(mǎn)足自然邊界條件D1=Dn=0的條件下，其它Di由下式求解

(7)

其中，

(8)

方程中的未知量Di在力學(xué)上解釋為細(xì)梁在xi截面處的彎矩，且彎矩與其相鄰兩個(gè)彎矩有關(guān)，故方程(7)稱(chēng)為三彎矩方程。由方程(7)求出Di后，帶入式(6)，即可確定三次樣條差值函數(shù)。

3 實(shí)例分析

某高等級(jí)公路改擴(kuò)建工程需要建立一級(jí)GNSS工程控制網(wǎng)和四等水準(zhǔn)高程控制網(wǎng)。按規(guī)范要求，每5 km左右布設(shè)1對(duì)控制點(diǎn)，設(shè)計(jì)公路線(xiàn)路長(zhǎng)度約83 km，全網(wǎng)共布設(shè)31個(gè)一級(jí)GNSS點(diǎn)，聯(lián)測(cè)三等以上水準(zhǔn)點(diǎn)5個(gè)，每個(gè)新布設(shè)的一級(jí)GNSS點(diǎn)均聯(lián)測(cè)四等水準(zhǔn)。線(xiàn)路約東西走向，故高程擬合以橫坐標(biāo)作為自變量。5個(gè)高級(jí)水準(zhǔn)點(diǎn)分割的4段擬合路線(xiàn)長(zhǎng)度由西向東分別為25 km、15 km、20 km、23 km。西部第1段經(jīng)過(guò)礦區(qū)和山區(qū)，地貌起伏較大，最大高差約100 m，其余3段地勢(shì)較平坦。GNSS控制網(wǎng)外業(yè)采用徠卡1 200雙頻GNSS接收機(jī)觀測(cè)，采用邊連接方式，每時(shí)段觀測(cè)45 min以上，內(nèi)業(yè)使用LGO軟件解算，獲得合格的三維無(wú)約束平差結(jié)果，并進(jìn)行高程擬合計(jì)算。

設(shè)計(jì)如下4種高程擬合方案：

方案1：利用線(xiàn)性函數(shù)式(1)作為高程擬合模型；

方案2：利用二次曲線(xiàn)式(2)作為高程擬合模型；

方案3：利用三次曲線(xiàn)式(3)作為高程擬合模型；

方案4：利用基于三彎矩方程的三次樣條函數(shù)進(jìn)行高程擬合。

各種擬合方案及精度統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表1和圖1，擬合精度統(tǒng)計(jì)由式(9)計(jì)算。

(9)

其中，H正為正常高；H擬為擬合高程；n為擬合點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

表1 全線(xiàn)路GNSS高程擬合誤差精度統(tǒng)計(jì) m

注：共31個(gè)點(diǎn)

圖1 高程擬合誤差曲線(xiàn)

由表1可看出，方案1利用線(xiàn)性模型進(jìn)行高程擬合精度最低，而方案2和方案3分別采用二次曲線(xiàn)模型和三次曲線(xiàn)模型進(jìn)行高程擬合精度基本相當(dāng)，比方案1擬合精度有明顯提高。方案4利用三次樣條函數(shù)進(jìn)行高程擬合中誤差為4.6 cm，明顯優(yōu)于其它幾種方法，表明用三次樣條函數(shù)進(jìn)行高程擬合是成功的。由圖1可看出，方案4高程擬合誤差曲線(xiàn)較平滑，震蕩較小，顯示該方法的優(yōu)越性。在四種方案中，方案1高程中誤差達(dá)dm級(jí)，表明對(duì)較長(zhǎng)線(xiàn)路的GNSS高程擬合用單一的線(xiàn)性模型擬合是不合適的。其它幾種方案擬合精度均高于方案1，達(dá)到cm級(jí)，擬合精度能夠滿(mǎn)足一般的測(cè)圖需要，在實(shí)際公路勘察測(cè)量中可以選用。方案4在擬合線(xiàn)路較長(zhǎng)、高程起算點(diǎn)較少的情況下，總體擬合精度小于5 cm，且擬合誤差曲線(xiàn)較平滑，更接近于大地水準(zhǔn)面的實(shí)際情況，具有較好的擬合效果。認(rèn)真分析各方案，發(fā)現(xiàn)在線(xiàn)路的第1段(見(jiàn)圖2，最西邊2個(gè)高程起算點(diǎn)之間的設(shè)計(jì)路線(xiàn))擬合誤差最大，其余3段擬合效果均較好，分段統(tǒng)計(jì)精度如表2、表3所示。

圖2 第1段公路線(xiàn)路

表2 第1段線(xiàn)路GNSS高程擬合誤差精度統(tǒng)計(jì) m

注：共10個(gè)點(diǎn)

表3 其余3段線(xiàn)路GNSS高程擬合誤差精度統(tǒng)計(jì)m

注：共21個(gè)點(diǎn)

由表2、表3可看出，除方案1外，其它3種擬合方案第1段擬合的誤差均較大，而其余3段擬合的中誤差均小于4 cm。究其原因，主要有三：一是第1段線(xiàn)路兩端高程起算點(diǎn)之間的線(xiàn)路長(zhǎng)近25 km，線(xiàn)路較長(zhǎng)；二是該段線(xiàn)路高差起伏較大，路線(xiàn)經(jīng)過(guò)山區(qū)和礦區(qū)，大地水準(zhǔn)面變化較大，期間僅有2個(gè)高程起算點(diǎn)很難準(zhǔn)確擬合；三是該段線(xiàn)路非直線(xiàn)，呈U字形，而擬合坐標(biāo)是以橫坐標(biāo)為自變量，與假定線(xiàn)路基本直線(xiàn)實(shí)際差別較大，但利用三次樣條函數(shù)插值擬合精度仍達(dá)到cm級(jí)。

4 結(jié)束語(yǔ)

利用三次樣條插值函數(shù)進(jìn)行線(xiàn)路高程擬合，在擬合線(xiàn)路較長(zhǎng)及高程起算點(diǎn)較少的情況下，仍能達(dá)到cm級(jí)的擬合精度。在地勢(shì)較平坦地區(qū)，利用二次曲線(xiàn)和三次曲線(xiàn)進(jìn)行線(xiàn)路高程擬合，擬合精度沒(méi)有太大差別。在地形和線(xiàn)路變化較大地區(qū)，各種模型擬合誤差均較大，如何提高此類(lèi)線(xiàn)路的GNSS高程擬合精度需進(jìn)一步研究。