橡膠等雙軸拉伸十字形試樣的設計與有限元分析

周華森，楊曉翔，2*

（1.福州大學 機械工程及自動化學院，福建 福州 350116；2.泉州師范學院，福建 泉州 362000）

為了精確地表征橡膠材料的力學性能，需要進行多種準靜態力學試驗，包括單軸拉伸、等雙軸拉伸和平面拉伸試驗等[1-2]。相比于單軸拉伸試驗，等雙軸拉伸試驗沒有相應的標準測試方法，研究人員采用了多種不同的試驗方法[3-7]來獲得橡膠材料的等雙軸應力狀態，其中通過十字形試樣來進行平面雙軸拉伸試驗是目前研究的熱點。該方法通過雙軸拉伸試驗機直接對十字形試樣完成復雜加載，使試樣的中心測試區呈現等雙軸應力狀態，最終得到其名義應力-拉伸比關系曲線。

十字形試樣的設計與優化是雙軸拉伸試驗的關鍵環節，需針對不同的材料設計不同形狀的十字形試樣。Y.Hanabusa等[8]基于T.Kuwabara等[9]設計了臂上開縫型十字金屬試樣，采用有限元方法分析了試樣的厚度、縫的數量、長度、寬度和倒角半徑對中心測試區應力分布均勻性的影響，并結合雙軸拉伸試驗驗證了有限元分析結果的可靠性。蔡登安等[10]基于雙軸拉伸載荷下復合材料十字形試樣的設計特點，對比分析了不同幾何形狀的十字形試樣在不同厚度比和載荷比條件下中心測試區應力集中系數和承力系數的變化規律，并進行了不同載荷比的雙軸拉伸試驗驗證。A.Makris等[11]通過有限元參數化建模與數值優化方法相結合對復合材料十字形試樣的幾何形狀進行優化設計，優化后的試樣中心區應變場均勻性得到明顯提高。

本工作針對橡膠材料的等雙軸拉伸試驗，設計了4種不同形狀的十字形試樣，并通過Abaqus有限元軟件進行仿真分析和比較，為橡膠等雙軸拉伸試驗提供參考。

1 超彈性本構理論

1.1 基礎理論

橡膠是一種超彈性材料，當經歷大變形時其應力-應變關系呈現出強烈的非線性特征。基于連續介質力學理論，一般認為橡膠材料是各向同性不可壓縮的彈性體，它的本構關系可以通過3個主拉伸比的應變能密度函數（W）來表示[12]：

式中，λ1，λ2，λ3為3個方向的拉伸比。基于不可壓縮條件（λ1λ2λ3＝1），只有兩個方向上的主拉伸比是相互獨立的，則應變能密度函數又可表示為

R.W.Ogden[13]給出了與主拉伸比相對應的Cauchy主應力（σ）的表達式：

式中，p為靜水壓力，根據上式兩兩相減可消去，即

對于平面內的拉伸試驗，垂直于平面方向的應力為0，即σ3＝0，代入式（4）和（5）可得：

根據名義應力Si＝σi/λi可得到名義應力與拉伸比的關系式為

對于理想狀態下的等雙軸拉伸試驗

則式（2）的應變能密度函數又可以表示為

于是等雙軸拉伸狀態下名義應力（S）與拉伸比的關系式為

1.2 Ogden模型

Ogden模型是目前工程上應用最為廣泛的超彈性本構模型之一，其應變能密度函數形式為[13]：

式中，μi和αi為材料常數，階數N可根據實際情況調整。可見Ogden模型具有很大的靈活性，目前使用最多的是Ogden三階模型。試驗的種類越多，使用Ogden模型擬合試驗數據越準確，通過式（10）即可得到Ogden模型在等雙軸載荷作用下的名義應力-主拉伸比關系式為

2 有限元模型的建立

2.1 等雙軸拉伸試驗方法

在實際的等雙軸拉伸試驗中，通過4個相同的夾具夾持住十字形試樣每個臂的末端，設置相同的拉伸速率來實現對4個臂的同步加載，在試樣的中心區域可以呈現出近似的等雙軸變形狀態，如圖1所示。中心區域內的應力和應變的分布是相對均勻的。為了得到橡膠材料的名義應變數據，通常在試樣表面的中心標記出一個正方形區域作為中心測試區，采用非接觸式測量方法即可獲得該區域的拉伸比數據[14]，計算公式如下：

圖1 十字形試樣等雙軸拉伸示意

式中，L為拉伸變形后的中心測試區的長度，L0為其變形前的初始長度。在不考慮試驗誤差的情況下，由于受到試樣幾何形狀的影響，理論上只有中心點能呈現理想的等雙軸變形狀態。因此，中心測試區的長度越小，測量的結果越準確，但實際很難測量小范圍內的應變。對于不同幾何形狀的十字形試樣，在進行等雙軸拉伸試驗時其中心測試區的應力場及其分布情況是不一樣的。為了保證測量結果的準確性和有效性，要求所設計的橡膠十字形試樣滿足如下要求：（1）中心測試區盡可能接近等雙軸變形狀態；（2）中心測試區的應力和應變分布是均勻的；（3）中心測試區應能產生較大的應變。

2.2 有限元建模

設計了4種不同形狀和尺寸的十字形試樣，如圖2所示，試樣的厚度和夾持區長度分別為2和10 mm。A型和B型試樣為最常規的十字形試樣，與A型試樣相比，B型試樣減小了十字臂的寬度，增大了倒角半徑。C型試樣根據J.J.Hu等[15]的研究設計，而D型試樣是基于單軸拉伸所用的啞鈴形試樣設計的。

圖2 4種十字形試樣的設計

相比于試驗，有限元分析方法可以確定試樣中心測試區上每一點的應力和應變狀態，這為試樣的設計提供了良好的幫助。本工作采用有限元軟件Abaqus模擬橡膠十字形試樣的等雙軸拉伸試驗。十字形試樣的幾何形狀比較簡單，直接使用Part模塊中的相關工具即可完成。由于模型的對稱性，為了節省計算時間，在有限元建模時只需建立1/4的試樣模型。試驗時試樣夾持區的剛度遠大于其他部位，因此建模時不考慮這部分區域。橡膠材料模型選用不可壓縮的Ogden超彈性本構模型，其材料參數（N＝3）如下[5]：α12.033 6 MPa，μ1－ 0.990 0，α2－ 2.573 1 MPa，μ2－ 0.774 9，α31.620 0 MPa，μ31.691 0。

Abaqus/Standard中每一種實體單元都有其對應的雜交單元[16]，可用于分析不可壓縮材料，本工作采用八節點線性六面體雜交單元C3D8RH劃分十字形試樣。以A型試樣為例，在模型的左部和底部施加對稱邊界條件，在兩個十字臂末端施加25 mm的均勻線性位移載荷，同時設置中心測試區長度L0＝10 mm，即OA＝AB＝5 mm，建立的有限元模型如圖3所示。

圖3 A型試樣有限元模型

3 結果與討論

根據建立的有限元模型，對4種試樣進行等雙軸拉伸試驗模擬，并根據中心測試區的應力和應變分布狀況對其進行評價。

3.1 名義應力-拉伸比關系曲線

由于模型和載荷的對稱性，沿X軸方向和Y軸方向的應力和應變分布的規律是一致的。根據式（13），在Abaqus中提取AB邊各節點沿X軸方向的真實應力和名義應變，求得其平均值并經過換算即可得到各試樣的名義應力-拉伸比關系曲線，并與采用Ogden本構模型的理論曲線進行對比，如圖4所示。由圖4可以看出，在標記位置相同的情況下，通過仿真分析得到的A型試樣名義應力-拉伸比關系曲線與理論曲線幾乎完全吻合，其次是B型試樣，說明中心測試區的選取位置是合適的。而C型試樣隨著拉伸比的逐漸增大，其曲線越來越偏離理論曲線，D型試樣則只有在拉伸比為1.7左右時與理論曲線較接近。

圖4 有限元模擬曲線與理論曲線對比

3.2 應力場分析

4種試樣變形后的von Mises應力云圖如圖5所示。從圖5可以看出，各個試樣在加載端應力不均勻且均出現了不同程度的應力集中現象：A型、C型和D型試樣在倒角處發生應力集中，而B型試樣在拉伸臂的尾端出現應力集中，其中D型試樣的應力集中范圍最廣。對于A型和B型試樣，沿著中心點往拉伸臂的邊緣應力逐漸增大，而C型和D型試樣的應力則是先增大后減小，在較大載荷作用下容易引起拉伸臂中部破裂。相比于其他試樣，A型試樣的中心區域產生了較大范圍的均勻應力場，且其整體的應力分布也最為均勻，而D型試樣的應力分布均勻性最差。

圖5 von Mises應力云圖

3.3 應變場分析

應變場的分布規律與應力場基本一致，由于應變測量技術的局限性，為了得到理想的十字形試樣，需要對各個試樣的中心試驗區的應變場進行評價。由于模型的對稱性，只需考慮試樣沿X方向的應變分布狀態。在Abaqus中設置路徑OA，提取路徑上各節點沿X方向和Y方向的名義應變εX和εY，如圖6所示。由圖6可以看出，各個試樣中心測試區的名義應變沿X方向和Y方向的變化趨勢是相反的，εX隨著距中心點距離的增大而逐漸增大，而εY則逐漸減小。其中，A型試樣在中心測試區內沿X方向和Y方向的名義應變較大且變化幅度最小。

圖6 沿路徑O A的名義應變變化

根據設計要求，為了更直觀地評價各個十字形試樣的優劣，定義中心測試區的等雙軸變形狀態系數α和均勻性系數β分別為

式中，ε X0為中心點O沿X方向的名義應變。當α和β的值越接近于0，則說明試樣的中心測試區接近理想的均勻等雙軸變形狀態。同樣以路徑OA為研究對象，計算該路徑上各節點的α和β值，如圖7和8所示。由圖7和8可見，α和β均隨著距中心點距離的增大而增大。其中，A型試樣中心測試區內α和β均小于其他試樣，且接近于0，說明A型試樣最符合設計要求。同時，在測量條件允許的情況下，可以通過減小測試區域的大小，使其更接近理想的等雙軸變形狀態。

圖7 α沿路徑OA的變化趨勢

4 結論

圖8 β沿路徑OA的變化趨勢

（1）十字形試樣中心測試區的變形狀態受試樣形狀的影響，無論何種試樣，越接近試樣中心，其變形狀態越接近理想等雙軸變形狀態。

（2）在十字形試樣中心測試區標記位置相同的情況下，A型試樣的名義應力-拉伸比關系曲線與理論曲線最接近。

（3）相比于其他十字形試樣，A型試樣中心測試區的整體應變水平較高，同時應力和應變分布均勻性最好且最接近理想的等雙軸變形狀態。