(2,p)-Laplace方程的緊性條件及其應用

劉慧慧，梁占平

(山西大學 數學科學學院，太原 030006)

本文研究(2,p)-Laplace方程

(1)

我們稱u是方程(1)的解，如果u滿足

進一步，稱u是方程(1)的正解。如果u是方程(1)的解，u≠0，并且u≥0對x∈Ω成立，令

(2)

近年來，許多學者用變分方法深入研究過方程(1)以及類似問題(如(p,q)-Laplace方程解的存在性)，也得到許多比較好的結果。為了得到解的存在性，大多數文獻都需要討論類似J的泛函的緊性條件[3-9]。

本文主要分為兩個部分：第一部分主要說明J的緊性條件；第二部分利用J的緊性條件得到方程(1)的正解。為方便起見，固定一些符號：對所有t∈R，t±=max(±t,0)；|·|r表示Lr(Ω)，r∈[1,∞)中的范數；‖·‖*表示W-1,p'(Ω)中的范數；ci(i=1,2,…),C以及Cε表示不同的正常數。

1 主要結果

(1+‖un‖p)J'(un)→0，

1)f∶Ω×R→R是Carathéodory函數，且f(x,0)=0對幾乎處處的x∈Ω成立。

2) |f(x,t)|≤α(x)(1+|t|p-1)對幾乎處處的x∈Ω，所有的t∈R成立；其中，α∈L∞(Ω)且α(x)>0對幾乎處處的x∈Ω成立。

(3)

4) 存在函數η∈L∞(Ω)，且η(x)>0對幾乎處處的x∈Ω成立，使得μ1≤η(x)對幾乎處處的x∈Ω成立，μ1≠η，且

5)tf(x,t)-pF(x,t)≥0對幾乎處處的x∈Ω，所有的t≤0成立，且f(x,·)滿足對每一個緊集K?[0,∞]，都可以找到ξK>0，使當t1>t2時，有

f(x,t1)-f(x,t2)≥-ξK(t1-t2) ，

對幾乎處處的x∈Ω，所有的t1,t2∈K成立。

文獻[3]證明了當f次臨界，在∞附近(p-1)-超線性，在-∞附近(p-1)-次線性時，J滿足C-條件。在文獻[9]中，若f次臨界且存在C>0，使得

本文研究當f滿足下列條件(H)時，J的緊性條件。

(H) 對a1，a2<∞，極限

用∑p表示帶有Dirichlet邊界的p-Laplace算子的Fucik譜。具體地說，集合∑p表示使得

有非平凡解的(a,d)∈R2的全體。這里，u±=max{±u,0}.由文獻[10]易知，若(a,d)∈∑p且a,d≠μ1，則a>μ1且d>μ1.其他Fucik譜的相關性質見文獻[10-11]及其參考文獻。

定理1 假設(H)成立，若(a1,a2)?∑p，則J滿足PS-條件。

定理1很好地描述了在f滿足一個較弱的條件下，J仍具有緊性條件。此結論對于方程(1)解的存在性有著廣泛的應用。本文將利用定理1來獲得在f滿足下列經典條件時，方程(1)正解的存在性。

(H1) 存在l0,l∞<∞，使得

令

(4)

定理2 假設(H0)和(H1)成立，若l0>λ1且l∞<μ1，或l0<λ1且l∞>μ1，則方程(1)有一個正解。

在文獻[4]中，在l∞<μ1的假設下，作者利用拓撲度理論得到了方程(1)非負解的存在性，但是他們沒有討論l0>λ1且l∞<μ1這種情況下方程(1)正解的存在性。本文根據定理1，給出在l0>λ1且l∞<μ1這種情況下方程(1)正解的存在性的一個證明。文獻[12]證明了當l0<λ1且l∞>μ1時方程(1)有一個正解。本文利用定理1也可得到上述結論，并且證明過程與方法更加簡便。

2 定理1的證明

本節主要證明定理1.首先證明下面的引理1和引理2.

證明由于其證明過程類似于文獻[12]中的引理5，我們只對它進行一個簡單的敘述。

|f(x,t)|≤c1(1+|t|p-1)，(x,t)∈Ω×R.

根據H?lder不等式和Sobolev嵌入定理可得：

(5)

類似地，有

(6)

眾所周知，

故由(5)和(6)得：

(7)

以下結論可參考文獻[13].為了讀者方便，在此給出其證明。

引理2 假設(a1,a2)?∑p，則存在C>0，使得

(8)

(9)

(10)

在(10)中對所有n取w=vn-v0，則有

從而有

又(a1,a2)?∑p，從而v0=0.這與‖v0‖p=1矛盾。

下面，利用引理1和引理2，我們給出定理1的證明。

由(H)知，對任意的ε>0充分小，存在常數Cε>0，使得

|g(x,t)|≤ε|t|p-1+Cε,(x,t)∈Ω×R.

(11)

由引理2，J'(un)→0及式(11)知，對所有n有

(12)

3 定理2的證明

本節利用定理1，分兩部分來證明定理2，即下列引理3和引理4.

引理3 假設(H0)和(H1)成立，若l0>λ1且l∞<μ1，則方程(1)有一個正解。

證明由(H0)、(H1)及l∞<μ1知，對ε∈(0,μ1-l∞)，存在Cε>0，使得

f(x,t)≤(μ1-ε)tp-1+Cε,(x,t)∈Ω×R+.

(13)

則由(3)和(13)得:

因此J下有界。

另一方面，由(H0)及l0>λ1可知，對ε∈(0,l0-λ1)，存在δ>0，使得

(14)

取定φ1≥0且‖φ1‖2=1是λ1所對應的特征函數。則對s>0充分小，由(14)可得

從而J有負的下確界。

引理4 假設(H0)和(H1)成立，若l0<λ1且l∞>μ1，則方程(1)有一個正解。

(15)

由(H0)、(H1)及l∞>μ1，存在ε∈(0,l∞-μ1)和Cε>0,使得

(16)

取定φ1≥0且‖φ1‖p=1為μ1所對應的特征函數，則由(3)和(16)得:

定理2的證明結合引理3和引理4即證。