非定常參數伯格斯模型本構方程的研究

王 博 達

(武漢大學土木建筑工程學院,湖北 武漢 430000)

蠕變廣泛存在于各類巖石之中，在工程中，巖石的蠕變對于圍巖的穩定性有著十分重要的影響，因此，對于巖石蠕變行為的研究顯得十分重要。在目前大多數研究中，是以構建巖石的蠕變模型，通過對模型的研究模擬巖石的力學行為。其中，伯格斯體和西原體因能較好的模擬巖石的蠕變行為而得到廣泛應用。

典型的巖石蠕變曲線分為三個階段，減速蠕變階段、等速蠕變階段、加速蠕變階段。傳統的伯格斯模型能較好的模擬巖石的減速蠕變階段與等速蠕變階段，而無法反映加速蠕變階段。因傳統的伯格斯模型中的流變參數為定常數，因此筆者猜想將定常數改變為非定常數，是否可以達到模擬巖石的加速蠕變階段的目的。由于粘性系數隨著巖石的破壞而不斷減小，直至減小為0時，巖石破壞。同時，為了簡化問題，僅考慮伯格斯體中串聯粘壺粘性系數隨時間的變化，令η1(t)=η10e-αt。

伯格斯體力學模型可看作是馬克斯威爾體與凱爾文體串聯而成，力學模型見圖1。

1 本構方程

建立伯格斯體本構方程的方法是將開爾文體的應力σK、應變εK與馬克斯威爾體的應力σM、應變εM分別作為一個元件的應力、應變，然后按照巖石的串聯規則，可以求出整個模型的本構方程。

對于凱爾文體，因為其流變參數仍為定常數，因此可以直接求得本構方程，即:

(1)

對于馬克斯威爾體，因為其流變參數為非定常數，因此需重新建立起本構方程。

對于彈性元件：

σ1=E1×ε1

(2)

對于牛頓粘壺：

(3)

根據串聯關系，σM=σ1=σ2，εM=ε1+ε2。將式(2)求導，可得:

(4)

將式(3)÷η1與式(4)÷E1相加，經過變形可以得到馬克斯威爾體的本構方程，即：

(5)

其中,η1(t)=η10e-αt。

由于伯格斯力學模型可以看作是由馬克斯威爾體與凱爾文體的串聯，因此可以根據串聯關系求得伯格斯模型的本構方程：

σ=σK=σM,ε=εK+εM。

將式(1)對t求導，可得：

(6)

將式(5)對t求導，可得：

(7)

將式(5)×E2，式(7)×η2，與式(6)相加，即可得非定常參數伯格斯體的本構方程，即：

(8)

2 蠕變方程

伯格斯模型的蠕變方程，即由馬克斯威爾體的蠕變方程與凱爾文體的蠕變方程相加，即可得到：

(9)

其中，σ0為常數。

對于馬克斯威爾體蠕變方程為：

(10)

將式(10)積分，可得到通解:

(11)

(12)

將式(9)與式(12)相加，即可得到非定常參數伯格斯體的蠕變方程：

(13)

將式(13)對時間t進行求導，可以得到蠕變曲線的斜率，即：

(14)

3 結語

1)通過將伯格斯體模型中的粘性參數看為非定常數，可以較好地模擬巖石蠕變的第三個階段。2)本文借助數學的方法，運用了簡單的數學推導，結合巖石力學的有關知識，對蠕變模型進行了研究，為以后的研究提供了一種新的思路，使之不僅局限于結合實際工程才能得出結論，可以通過數學的演算，預先推演出符合材料的幾種公式，再利用實驗數據，找到最契合的模型。