加權(quán)平方損失下一類正態(tài)均值矩陣的估計

劉 薇

（湖南財政經(jīng)濟學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，長沙 414205）

1 問題的提出

假設(shè)：

其中X和S是獨立的，Θ是m×p階的未知正態(tài)均值矩陣，C是已知的m階正定矩陣，Σ是p階的未知協(xié)方差陣，Wp(Σ，k)表示自由度為k，均值為kΣ且維數(shù)為 p的Wishart分布，符號?表示矩陣之間的Kronecker乘積，對于方陣A，A＞0表示A是正定矩陣，A≥0表示A是非負定矩陣。模型（1）可看做是MANOVA模型或者多元線性模型（見文獻[1,2]）。

基于(X，S)并假設(shè)Σ未知，本文將在加權(quán)損失函數(shù)（2）下考慮均值矩陣Θ的估計問題，并把相關(guān)結(jié)果應(yīng)用到改進協(xié)方差的估計問題中去。顯然，模型（1）中參數(shù)矩陣Θ的最大似然估計是ML=X。對于Θ的一個估計，如果 RW(，Θ)≤RW(ML，Θ)，稱是最小最大估計。事實上，許多文獻考慮了模型（1）中的Θ的估計問題。比如：文獻[3]考慮了m=1，Q=Im且Σ已知的情形；在Σ未知的情況下，文獻[4]處理了m=1，Q=Im的情形；文獻[5]研究了 p=1，Q=Im且 Σ=σ2（σ2未知）的情形；在 Σ 未知的情況下，文獻[1]考慮了m＞p+1，Q=Im情形，上述文獻都假設(shè)權(quán)重Q為單位陣。據(jù)本文所知，除了文獻[6，7]幾乎沒有相關(guān)文獻處理Q≠Im情形，然而，權(quán)重Q的引入不僅推廣了已有的結(jié)果，更為重要的是它揭示了均值矩陣估計與協(xié)方差陣估計之間的本質(zhì)關(guān)系。文獻[8，9]指出了這種關(guān)系但他們并沒有作進一步的研究。而文獻[6]研究了這個問題，但是文獻[6]利用正態(tài)分布和Wishart的性質(zhì)僅考慮了Q為對角陣且假定C=Im，本文的主要目的是考慮更為一般的權(quán)重Q和矩陣C，進而進一步推廣已有的結(jié)果。

2 風(fēng)險的無偏估計和Efron-Morris估計

在模型（1）下，考慮如下的Efron-Morris估計[9]：

當(dāng) Q=C=Im時，在損失（2）下，文獻[2,9]獲得了α的最優(yōu)解為：

當(dāng) C=Im,Q∶=W=diag(w1，…，wm)時，文獻[6]考慮了m＞p+1情形下的Efron-Morris估計，并導(dǎo)出了α的最優(yōu)解，即：

本文只要求在C＞0，Q≥0的假設(shè)下，考慮m＞p+1情形下的Efron-Morris估計。不同于文獻[6]，本文利用風(fēng)險的無偏估計來研究Efron-Morris估計（4）。注意到當(dāng)C≠Im,Q≠Im時，本文在統(tǒng)一的框架下獲得EM風(fēng)險的無偏估計是困難的（見文獻[9]）。因此，本文需要導(dǎo)出更為廣義的EM風(fēng)險的無偏估計，并利用它們分別去獲得Efron-Morris估計為最小最大估計所需要的條件。

為方便，當(dāng) m＞p+1時，把Efron-Morris估計（4）記為：

其中 G1=-αX(X′X)-1S 。顯然，在加權(quán)損失（2）下，的風(fēng)險函數(shù)可表示為：

不同于文獻[6]，本文將使用式（10）去導(dǎo)出m＞p+1情形下的Efron-Morris估計為最小最大估計的條件。為了獲得這個條件，本文還需如下的引理。

引理1：設(shè)對稱矩陣 A1，B1，C1∈Rn×n的特征根分別為a1≥…≥an，b1≥…≥bn和c1≥…≥cn，則：

（1）若 A1≥0，B1≥0，C1≥0 ，有：

若 A1＞0，B1＞0，C1＞0，有：

anbntr(C1)≤tr(A1B1C1)≤a1b1tr(C1)

證：對于（1）的證明見文獻[10]中的定理3，而（2）中右邊的不等式可由（1）直接獲得。因此，本文只需證明（2）中左邊不等式。由文獻[11]中引理1和矩陣同時對角化相關(guān)知識，存在一個正定陣B0，使：

而由文獻[12]知，A1B0C1的特征根都是正數(shù)，從而引理1成立。

引理2：對于任意可逆的對稱矩陣S=(sij)，本文有：

這里ei表示第i個元素是1其余元素為0的列向量。

證：見文獻[13]中的引理3.2。

定理1：對于模型（1）和損失（2），如果滿足：

證：由：

知：

因而，本文有：

另一方面，根據(jù)引理2，可得：

注意到 X(X′X)-1G′1是對稱陣，因而易知：

且有：

由上述推導(dǎo)可知，無偏風(fēng)險（12）可簡化為：

因此：

從而定理2.1成立。

注意到 X(X′X)-1X′是對稱冪等陣，并結(jié)合引理1中的（1），有：

3 討論

本文在加權(quán)平方損失下考慮了一類正態(tài)均值矩陣的估計。在適當(dāng)條件下，證明了這個新估計是極小極大的，本文新估計推廣了已有文獻中的結(jié)果。值得說明的是，本文僅考慮m＞p+1情形下估計的改良問題，下一步打算在更廣義的設(shè)置下研究p＞m+1情形下相應(yīng)估計的改良問題。