APOS理論下小學數學概念教學的實踐與思考

吳文卿

美國數學教育學家杜賓斯基在對皮亞杰關于數學學習過程中個體思維的“自反現象”理論進行拓展的基礎上建立APOS理論。該理論指出學習數學概念的過程要經歷活動（Action）、過程（Process）、對象（Object）、圖式（Schema）等四個階段。我校數學科課題組在APOS理論指導下，以 “數與代數”的概念教學課例研究為切入點，圍繞“操作—過程—對象—圖式”四個階段探尋APOS理論指導下概念教學的教學策略與方法。

一、操作感知，以形助數

APOS理論當中的活動階段相當于對概念屬性的具體操作、觀察，呈現數學概念的具體實例階段。要讓學生親身體驗，感受直觀背景與概念之間的關系，因而提供的感性材料要符合學生的認知基礎和規律，設計操作活動的最終目的是指向概念內在本質的特點。借助 “幾何直觀”初步感知概念，起到以形助數的作用。如小數的初步認識，呈現以學生熟悉的日常事物和活動為場景，借助具體的量（米、分米、厘米、元、角、分）和幾何直觀圖（面積、數尺、數軸），動手分一分、涂一涂，從圖形中提取圖形所反映的信息，直觀地感悟到小數與十進分數之間的關系，初步認識小數。

二、多元表征，思維內化

操作活動的目的是啟動學生思考，過程階段是對操作進行思考，思維經歷了內化和壓縮過程，在頭腦中對活動不斷重復地進行描述、反思，初步抽象出概念特有的性質。對于一個重要概念的體會，不斷重復任何單一的表示對于發展學生的數學素養是不夠的，而且概念的建立單純依賴語言、符號的抽象描述恐怕不能達到預期的效果。有學者認為，要獲得概念真正意義上的理解，就要靈活地實現動作、現實情境、表象、口頭語言、符號等5種表征方式之間的轉化，促進概念的內化。

三、問中思辨，深入本質

數學課堂應該讓學生有思辨的能力，透過不同的例證，從不同的角度切入到同一個問題，運用所學的知識和經驗解釋、分析、評估、推論、說明……從而透視知識的本質。這要求教師在四個階段結合學生認知沖突點、理解的關鍵處和易錯易混處提出富有挑戰性、啟發性、探索性、層次性進行的問題，這些問題的解決需要學生整合、分析已有的知識經驗，需要學生創造性地進行思考，作出判斷或評價。

如教學五年級上冊《用字母表示數（一）》結合具體情境安排了三次思辨：第一次是在同一事件中，兩位不確定年齡的老師到底用怎樣的字母表示呢？在思辨中感悟到同一事件，不同的字母表示不同的數，而且之間存在不確定的比較關系；第二次是首次嘗試了用字母表示數過渡到用字母式表示數，進行一次用字母式表示與用字母表示的思辨。體會兩者之間的區別，字母式既可表示數量，又可以表示數量間的關系，因此，在同一事件中兩個數若有聯系，盡量用字母式表示比較方便；第三次是變換表示方式，重復多次根據兩人之間的年齡關系式寫出對應的字母式，并對同一人不同的表達年齡字母式進行思辨，促使學生更靈活地理解函數思想和對應思想視角下的用字母式表示數的本質。三次思辨問題情境，層層遞進修正學生的思考誤區，加深學生對用字母表示數的本質進一步提煉和理解。

四、比中整合，歸納提升

對象階段，教師引導學生對概念的屬性進行整合提煉出概念的本質屬性，從而得到概念的定義及符號表示。根據概念的形成規律，必須從大量的具體例子出發，觀察比較中歸納概括出一類事物的共同本質屬性。因此教學中提供豐富的能充分顯示被引入概念的特征性質的例證（正例），正確引導學生去進行觀察分析、橫向比較，這樣才能使學生從例證中排除非本質屬性，歸納和概括出共同的本質屬性，從而形成概念。

概念建構基本完成后，教師要及時組織活動引導學生對概念定義中的關鍵詞語辨析，明晰概念的內涵和外延。圖式階段，有意呈現對比練習，能進一步鞏固概念的理解，同時提升思維的視角。如《小數的性質》鞏固提升環節，設計填空題“在數軸上的同一個點填寫對應的2個小數”，思考：0.1和0.10有什么相同和不同的地方？1和1.00呢？借助“數軸”這一直觀模型，數形結合，學生容易比較得出小數的大小相同，小數部分的位數不同，一個是一位小數，一個是兩位小數，意義不同，0.1表示1個十分之一，0.10表示10個百分之一。接著追問： 1還可以用什么小數表示？再次直觀感受小數性質的本質，滲透“變”與“不變”的辯證思想，提升學生認知和思維的空間。

五、豐富意義，形成網絡

APOS理論主張數學概念與它的背景知識聯系起來，完善學生對概念的全面認識。這對我們的概念教學有重要的啟示，學完一類概念后，要進行知識串聯，把新概念納入某一部分的系統中去理解。這樣不僅使概念得到了鞏固，也有利于知識的遷移和應用。如教學二年級上冊《乘法的初步認識》，在“拓展深化，溝通聯系”這一環節，我設計了一組對比題組（如下圖），用圖形表征的形式引導學生直觀感受加法、減法、乘法概念之間的聯系與區別。而且三種運算方法的對比呈現有利于學生在頭腦中建立起知識的網絡，有利于更好地形成概念的圖式，圖式還需要在后繼學習中不斷完善、強化和穩固。

有些概念意義的豐富性是隨著年級而不斷增加的，教師不僅要重視學生第一次接觸此時意義的教學，還應關注隨后意義的不斷擴展。如分數的意義學習經歷顯性的兩個階段，在第二階段教學中，教師要有意識地引導學生整理分數的多維度意義：整體的等分；兩個數相除的商；兩個數的比。數學知識總是一環扣緊一環形成知識鏈條的，理清概念后，揭示概念之間的聯系，最終形成綜合的心理圖式。學生利用圖式理解和記憶概念，比孤立理解單個概念，效果更理想，所學的概念要歸納整理才能系統鞏固。

APOS理論應用于概念教學，充分體現“做中學，做中思，做中悟”的原則，更能反映學生認知數學概念的思維過程。在教學中，教師通過觀察四個階段的學生學習狀態，及時調整教學策略和方法，促使學生真正地理解概念。

責任編輯 羅 峰