善用函數圖像中的“點線面”巧解物理問題*

吳廣國

(北京景山學校　北京　100006)

姜 珊

(北京景山學校　北京　100006；中央民族大學理學院　北京　100081)

鄒 斌

(中央民族大學理學院　北京　100081)

函數圖像能夠形象直觀地描述物理規律，在解決物理問題的過程中，可以避免復雜的運算過程.要想熟練地運用物理函數圖像來解決問題，首先要理解物理函數圖像所表達的物理內涵，在認清是研究哪兩個物理量關系的基礎上，理解圖像中“與坐標軸交點”、“曲線斜率線”、“面”等數學概念的物理意義，并推斷出圖像表述的物理情景.將函數圖像與函數方程聯系起來，進一步獲取有效信息，解決物理問題[1].本文中，筆者選取幾道北京近年典型高考題或模擬題，詳細闡述如何利用函數圖像中的點、線、面，靈活解決物理問題.

1　抓住函數圖像的關鍵“點”

函數圖像的核心“點”，主要包括圖線的拐點和交點[2].用關鍵點進行解題時，首先應了解該函數圖像橫、縱坐標軸所代表的物理量，然后進一步判斷其是否具有特殊的物理意義，以便利用其巧解物理問題.

【例1】某同學利用滑動變阻器分壓接法來描繪小燈泡的伏安特性曲線，該同學在獲得了小燈泡的I-U圖像如圖1(a)后，又把兩只這樣的小燈泡并聯，直接接在電動勢為4 V，內阻為8 Ω的電源上組成閉合回路.請你利用圖像計算此時一只小燈泡的功率約為______W(結果保留2位有效數字).

圖1　題圖

解析：因小燈泡燈絲電阻率隨溫度的增加而增大，小燈泡電阻在變化.當用電動勢為4 V，內阻為8 Ω的電源給并聯的兩個小燈泡供電時，其形成的電路圖如圖1(b)所示.這道題目是一道常規題目的拓展與延伸.在“測量電源電動勢和內阻”的實驗中，我們通過改變外電路滑動變阻器的阻值來改變路端電壓和電路電流，測量電源的路端電壓和電路電流(也是通過電源的電流)，可以得到電源的U-I特性函數圖像.如果同時給出非線性原件燈泡的伏安特性曲線，拿此電源給該燈泡供電的話，則同時滿足燈泡的U-I函數圖像和電源U-I特性函數圖像，也就是兩個函數圖像的“交點”，即為實際工作狀態點，簡稱工作點.

而本題是利用該電源給兩個完全相同的已經給出U-I特性曲線的小燈泡供電，此時我們不改變小燈泡曲線圖，仍然設小燈泡兩端電壓為U和通過小燈泡的電流為I，由全電路的歐姆定律ε=U+2Ir，可求得函數：U=-16I+4.在圖1(a)的基礎上，做出該函數的圖像，如圖1(c)所示.則交點對應的電壓和電流就是此時小燈泡的工作點.交點坐標U=1.02 V，I=0.186 A，由此可以得到每個小燈泡的電功率約為P=UI=0.19 W.

此類問題在高中物理問題中較為常見，比如用已知電源給某一定值電阻R供電，用已知電源給某一已知U-I特性曲線的小燈泡或者二極管供電，此時通過以上辦法作出函數圖像的交點即為工作點.然后再按照題目要求進行計算，模型清晰、直觀，易于解決和處理復雜物理問題.

2　巧用函數圖像的常見“線”

截距是圖線與兩坐標軸交點的橫、縱坐標，所代表的坐標數值表示當一個物理量為零時，另一個物理量的數值是多少，也就是說明確表明了研究對象的某種特定狀態.圖像中的直線或者曲線的切線，其斜率通常也具有明確的物理意義.物理圖像的斜率代表兩個物理量增量之比，其大小有可能是另一個物理量值[3].可見，深入理解“截距”、“斜率”的物理意義，對于圖像法解決物理問題，具有事半功倍的效果.

【例2】(2014年高考北京卷第21題)利用電流表和電壓表測定一節干電池的電動勢和內電阻.要求盡量減少誤差，選取如圖2(a)所示電路圖.由考題中的題設給出U-I曲線如圖2(b)所示，可以得出干電池的電動勢E=______V，內電阻r=______Ω.

圖2　例2題圖

U=-rI+ε

再由函數關系式可知斜率

k=-r=-0.83

所以

r=0.83 Ωε=1.50 V

誤差分析：考慮在實際情況下，電路中電壓表分流將導致電流表的示數小于通過電源的電流.設電壓表內阻為RV，根據閉合電路歐姆定律得

化簡得

3　善用函數圖像的各種“面”

物理圖像上的“面”是指函數圖像與橫坐標軸所圍成的“面積”，其對應著一個新的物理量，這個新的物理量是縱坐標物理量與橫坐標物理量的乘積.比如在v-t圖像中“面積”代表位移；在F-S圖像中“面積”表示功；在F-t圖像中“面積”代表力F的沖量；在I-t圖像中“面積”代表電荷量等.

【例3】(2015年高考北京卷第23題)如圖3所示，彈簧的一端固定，另一端連接一個物塊，彈簧質量不計.物塊(可視為質點)的質量為m，在水平桌面上沿x軸運動，與桌面間的動摩擦因數為μ.以彈簧原長時物塊的位置為坐標原點O，當彈簧的伸長量為x時，物塊所受彈力大小F=κx，κ為常量.

(1)請畫出F隨x變化的示意圖；并根據F-x圖像求物塊沿x軸從O點運動到位置x的過程中彈力所做的功.

(2)物塊由x1向右運動到x3，然后由x3返回到x2，在這個過程中，求彈力所做的功，并據此求彈性勢能的變化量.

圖3　水平面彈簧彈力做功示意圖

解析：

(1)問題明確指出畫出F隨x變化的示意圖，而這樣的問題自身就包含著一些線索和信息，這種來自問題自身且對于搜索進程具有控制引導作用的信息，稱為啟發信息.由數量關系條件：F=κx，可以畫出彈力隨x變化的一次函數圖像[4]，如圖4(a)所示.物體由點O運動到位置x的過程中，彈簧彈力做負功，做功的多少等于圖中陰影部分面積

(2)因為彈簧彈力是保守力，保守力做功與路徑無關，物塊由x1向右運動到x3，然后由x3返回到x2，在這個過程中，彈力所做的功與物塊直接從x1處移到x2處相同，且彈簧彈力做負功，仍用函數圖像面積即為彈力所做的功，如圖4(b)中陰影部分面積所示.即

又因彈簧彈力是保守力，彈簧彈力做負功，彈性勢能增加，反之亦然.即

圖4　2015年高考北京卷第23題解析圖

4　巧用函數圖像的點、線、面 突破高考模擬壓軸題

2017年北京市東城區高三物理一模試題中最后一道計算題，是典型的利用“點”、“線”、“面積”來解決問題的習題.在題目中，用到了v-t圖像所圍成的面積求足球滾動的距離；同時還用到了電容放電過程中，電路中電阻兩端的電壓U隨放電時間t變化的函數圖像，將v-t圖轉化為I-t圖像，則即可根據I-t圖像所圍成的面積求電容在整個過程中釋放的電荷量.

【例4】小明以6 m/s的初速度將足球水平踢出，足球在草坪上滾動直到停下來的全過程中的速度-時間圖像如圖5所示.圖中圖線與坐標軸所圍的面積等于12個小方格的面積.

(1)請你判斷：足球在滾動過程中受到的阻力大小是變大、變小還是不變？

(2)求足球滾動了多遠才停下來？

圖5　例4題圖

解析：(1)由圖5足球滾動v-t圖像的斜率逐漸減小，可知足球滾動的足球在滾動過程中做減速運動的加速度大小逐漸減小，所以足球受到的阻力變小.

(2)圖5中圖線與坐標軸所圍的面積即為足球滾動距離，足球滾動12 m才停下來.

【例5】用如圖6(a)所示的電路研究電容器的放電過程，其中電壓傳感器相當于一個理想電壓表，可以顯示電阻箱兩端電壓隨時間的變化關系.實驗時將電阻箱R的阻值調至2 000 Ω，將開關S撥到a端，電源向電容器充電，待電路穩定后，將電壓傳感器打開，再將開關S撥到b端，電容器通過電阻箱放電.以S撥到b端時為t=0時刻，電壓傳感器測得的電壓U隨時間t變化圖像如圖6(b)所示.忽略導線及開關的電阻，且不考慮電路的輻射問題.

(1)求電容器所帶電荷量的最大值.

(2)在圖6(c)上定量畫出放電過程中電容器兩端電壓U隨電荷量Q變化的關系圖像，并據此求出在電容器充電過程中電源內部產生的熱量.

圖6

解析：

(2)電容器所帶電荷量Q與其兩端電壓U成正比，且由圖6(b)知電容器所帶電荷量最大時，電容器兩端電壓U=6 V.電源電動勢E=6 V.放電過程中電容器兩端電壓U隨電荷量Q變化的關系圖像如圖6(c)所示，電容器放電過程中任意瞬時釋放的電勢能ΔEC=UΔQ.U-Q圖線與Q軸所圍面積為電容器放電過程中釋放的總電勢能EC，也是電容器在充電時獲得的總電勢能.即EC=18 mJ.電容器充電過程中，非靜電力做功提供的總能量E總=EQ=36 mJ.電容器充電過程中電源內部產生的熱量Qr=E總-EC=18 mJ.

5　小結

利用函數圖像解決高中物理問題是一種非常重要的解題方法，學會靈活運用函數圖像的“截距”、“斜率”或“面積”進行解題，可以有效地簡化物理問題，更加高效、正確地開展對復雜問題的學習和研究.

在學生學習和教師教學過程中，應當有目的性地訓練綜合運用數學工具解決物理問題的能力，加強抽象思維能力和模型構建能力的培養，提高物理核心素養中的學科融合素質.