論均質半圓環 半圓盤 半球體質心的求法

劉 紅

(重慶市第一中學校　重慶　400030)

高中物理研究的物體一般可以看作質點，所謂質點就是有質量但不存在體積或形狀的點，是物理學的一個理想化模型．物體的實際運動往往要復雜得多，我們要研究這個物體的整體運動，就只需找到這個物體的質量中心即質心(質心，指物質系統上被認為質量集中于此的一個假想點)的運動即可．物體任何一部分的運動一般都可分解為質心的運動和物體的該部分相對于質心的運動，如圖1所示的跳水運動員的運動就是如此．

圖1　跳水運動員的運動

多個物體組成的質點組中任何一個物體的運動一般都可分解為質點組質心的運動和該物體相對于質點組質心的運動．所以求物體或質點組的質心就顯得特別重要．在對學有余力的高中生進行物理競賽培訓時，就會涉及到求物體的質心．

本文就均質半圓環、半圓盤、半球體質心的求法做一些探討，以期在這方面有一點作用．因為面對的是中學生，所以微元的選取只限于一維情況．

1　質心的定義

如圖2所示的物體組，參考位置為O．

圖2　質心的定義

2　巴普斯定理

(1)在一平面上取任一閉合區域，其面積為S，使它沿垂直于該區域的平面運動形成一個體積為V的立體，那么這個立體圖形的體積就等于質心所經路程r乘以區域面積．表達式為V=Sr．

(2)設某一長為L的曲線段，讓它沿著垂直于它所在平面的方向掃過一個面積S，那么這個面積的大小就等于線段的質心移動的距離r乘以線段的長度．表達式為S=Lr．

【例1】已知半圓環質量為M，半徑為R．求它的質心位置？

方法一：巴普斯定理

圖3　半圓盤繞直徑360°形成空心球

方法二：旋轉法

據半圓環的對稱性知它的質心在對稱軸上，設質心距圓心距離為r．讓半圓環繞它的直徑在半圓環平面內轉過一個極小角度Δθ(Δθ→0)，如圖4所示．

圖4　半圓環轉過一個極小角度

xc=r·Δθ=

代入

就得

方法三：微元法

據半圓環的對稱性知它的質心在對稱軸上，即在圖5的y軸上．設質心距圓心距離為r(即yc=r)．

圖5　質心在y軸上

半圓環上任意一點的坐標

x=Rcosθy=Rsinθ

半圓環上微小長度為R·Δθ，設半圓環單位長度的質量為λ，則

據質心的定義有

所以

代入

可得

【例2】已知半圓盤質量為M，半徑為R．求：它的質心位置？

方法一：巴普斯定理

得到

方法二：等效半圓環

圖7

代入

可得

方法三：微元法

半圓盤可以看成有無數多個矩形組成，如圖8所示．半圓盤邊沿上任意一點的坐標x=Rcosθ,y=Rsinθ．

圖8　半圓盤可看成無數個矩形組成

又因為

Δy=Δ(Rsinθ)=Rcosθ·Δθ

所以

代入

就得

【例3】已知半球質量為M，半徑為R．求：它的質心位置.

方法一：巴普斯定理

圖9　半球等效

據質心的定義即可求出半球的質心

所以關鍵就在求圓錐的質心．

設圓錐的質心距其底面的距離hc，如圖10所示．圓錐的底面向下移動微小距離Δh(Δh→0)，據質心的定義和圓椎體質心的相似性知

圖10　圓錐質心距底面hc

可求出新圓錐體的質心

化簡得

又因為Δh→0，略去二階小量，所以

代入得半球的質心為

方法二：微元之圓柱法

半球可以看作是由無窮多個圓柱組成，如圖11所示．

圖11　半球看成無窮多個圓柱

據對稱性可知質心在對稱軸上，據質心的定義有

所以

方法三：微元之球殼法

半球體可以看作有無窮多個半球殼組成，如圖12所示．

圖12　半球體看作無窮多個半球殼

只要知道半球殼的質心位置，就可求得半球的質心位置．設半球殼的面密度為σ，半球殼可以看作有無窮多個矩形組成，如圖13所示．

圖13　半球殼看作無窮多個矩形

據質心的定義知半球殼的質心位置

設半球的體密度為ρ，則據質心的定義知半球的質心位置

通過對半圓環、半圓盤、半球體質心多種求法的討論，打開了學生的思路，展示了微積分處理問題的思想方法，體現了數學、物理知識的融合，為學生以后解決更復雜的物理問題奠定了基礎．