風機盤管加熱系統傳遞函數動態分析及控制設計

陳一仁 于軍琪 趙安軍

西安建筑科技大學信息與控制工程學院

北方農村建筑具有建筑層數少，多使用自然采光和自然通風的特點，故針對其建筑環境特點選擇了風機盤管室內循環的供暖技術。本研究通過分析影響室內熱環境的幾種主要因素的變化情況并建立系統的微分方程，運用動態模型分析方法求解出整個系統的傳遞函數，并提出適合于風機盤管控制室內溫度的方法。該方法利用系統的傳遞函數分析系統的動態性能，不但能夠快捷高效的建立起反饋控制，而且相比于非線性控制和最優控制而言更加簡單，比普遍的開關控制能更加精確的跟蹤參考信號。從而為風機盤管供暖系統的控制設計提供可靠依據。

1 數學模型的建立

為便于數學模型的建立和推導，先做出如下幾點假設和限定。

1）干空氣和空氣中的水蒸氣都看成為理想氣體，并忽略流體密度與熱容的變化。

2）空氣流均勻地通過盤管換熱器，空氣與盤管換熱器外表面的換熱系數和傳質系數在各處一定。

3）整個房屋中的溫度分布均勻，且充分混合。

小型戶用風機盤管供暖系統如圖1所示

圖1 小型戶用風機盤管供暖系統

由圖1所示，影響建筑內部溫度的影響因素分別有風機盤管進水側溫度Tfi，建筑室外干球溫度Tz，太陽直射輻射強度GD，太陽散射輻射強度Gd，風機盤管出水側溫度Tfo，建筑室內干球溫度Tai，風機盤管出風的溫度Tao。針對建筑物逐時室內溫度進行分析，并結合能量守恒原理列寫各因素與室溫的逐時關系。可得到如下關系式（1）：

式中：Ki為第i面圍護結構的對流換熱系數，W/(m2℃)；Fi為第 i面圍護結構面積，m2；ρ2為空氣密度，kg/m3；c2為空氣比熱，J/(kg℃)；vi為風機盤管的轉速，m3/s；Vf為房屋體積，m3；(cρ)a為室外空氣的單位熱容，J/m3℃；La(n)為 n 時刻的空氣的滲透量，m3/h；τDi為玻璃對入射角為i的太陽輻射的透過率，可查文獻[1]；τd為玻璃對太陽散射輻射的透過率，可查文獻[1]；αDi為玻璃對入射角為i的太陽輻射的吸收率，可查文獻[1]；αd為玻璃太陽散射輻射的吸收率，可查文獻[1]；Ra為玻璃外表面換熱熱阻；Rr為玻璃內表面換熱熱阻；SC為全遮陽系數，可查文獻[2]；Xs為陽光實際照射面積比，可查文獻[2]；Xf為窗玻璃有效面積系數，可查閱文獻[2]；F為窗面積，m2；

由式（1）可知，室內溫度的變化因素有室外環境對建筑內部的影響，太陽光通過玻璃窗對建筑內部的影響以及風機盤管供暖系統對建筑內部的影響。根據文獻[9]可知，房屋圍護結構的傳熱量為ΣNi=1KiFi[TZ(t)-Tai(t)]，空氣滲透的耗熱量為 0.27La(n)(cρ)a[TZ(t)-Tai(t)]，同時透過玻璃窗的太陽輻射得熱量為 [GD(t)(τDi+(Ra/Ra+Rr)αDi)Xs+Gd(t)(τd+(Ra/Ra+Rr)αd)]·SC·Xf·F。

針對風機盤管換熱規律，分析得到風機盤管出風溫度和出水溫度的逐時變化情況，可得式（2）、式（3）：

式中：ρ1代表水的密度，kg/m3；c1代表水的比熱，J/(kg℃)；vc代表蓄水箱至風機高溫側循環流速，m3/s；ch代表風機盤管材料比熱，J/(kg℃)；mh代表風機盤管材料質量，kg；Vsh代表水換的容積，m3；Vqh代表氣換的容積，m3；εkh代表換熱過程中的熱損系數，W/(kg℃)；Ah代表換熱中傳熱器表面積，m2。

由式（2）和式（3）可知，風機盤管的換熱過程在盤管表面進行，通過進出風機的氣體和進出水管的液體在傳熱器表面接觸的同時進行能量交換，即將管道中水的熱量交換給空氣并由其交換給建筑內部環境，完成供暖過程。

通常來講，建筑中的溫度與濕度互為耦合關系，即兩個量互相關聯，其中一個量變化也會導致另外一個變化。所以，濕度變化在整個模型中也是不可缺少的。通過相對濕度RH來表示，其變化如下關系式（4）：

式中：CVH2O代表房屋內水的體積濃度，kg/m3；CsatH2O代表房屋內水的飽和濃度，kg/m3。

其中，由安托萬等式[10]可以得到飽和濃度與房間溫度的對應關系如式（5）所示：

以上由式（1）～（5）共同組成了整個風機盤管供暖系統室內建筑熱環境的動態物理模型。該模型的建立為線性系統的構建和控制系統的設計提供了基礎。

2 系統控制

運用傳遞函數和控制工程的思想能夠設計穩定的控制系統。將控制風機進風溫度即室內溫度達到設定值這一目標作為控制變量，并及時通過參考的傳遞函數調節風機設備轉速vi即被控變量。將其他如Tfi，Tz，GD，Gd作為系統的干擾考慮。同時，由于本系統為室內循環（沒有新風進入）。所以，CVH2O（t）為常數，且濕度僅隨室內溫度的變化而變化。故控制室內溫度即風機進風溫度達到恒定是該系統的控制目標。

此時，式（3）中 Tao(t)，Tai(t)，vi(t)不是常值。因此，典型的線性系統控制工程理論不能夠直接運用到該系統中。所以，第一步應在工作點處線性化。

2.1 模型線性化

在實際運行中，類似式（3）通常選取工作點。該工作點代表一種平均的動作狀態，即各個環境影響因素取其真實值極值的近似平均水平。用，表示在相應工作點的常數值，令則線性化之后的模型如式（7）、式（8）、式（9）所示：

通過線性化的模型能夠適用經典線性系統理論并且通過分析可以推導出傳遞函數。首先將式（7）～（9）進行拉普拉斯變換，結果如式（10）、式（11）、式（12）所示：

在拉普拉斯域中，用上劃線對變量進行標記。Tai(0)、Tao(0)、Tfo(0)是狀態變量 Tai、Tao、Tfo的初始值，則式（3）可簡化為式（10）～（12）。對該方程組重新整理，令σai=1/(W11+W15)，σao=1/(W21+W22)，σfo=1/(W31+W32)。則式（10）～（12）轉換為如式（13）～（15）所示：

解線性方程組（13）～（15）可得結果如式（16）所示：

由式（16）可知系統各個變量在拉普拉斯域內的關系。該系統中，有輸出變量和輸入變量依據線性系統疊加原理，輸出溫度的初始值和輸入變量的影響合成的結果可以反映為各變量的疊加求和。

2.2 控制設計

針對系統的特點設計了閉環控制系統如圖2所示。該系統輸入量為設定的參考溫度，輸出量為實際溫度。參考溫度和反饋得到的實際溫度之差共同進入末端控制器。通過末端控制器調節風機轉速以達到使實際溫度滿足參考溫度的控制要求。

圖2 風機盤管供暖系統閉環控制圖

由圖2知影響該系統的干擾分別為室外溫度，太陽直射輻射強度，太陽散射輻射強度，風機盤管進水側溫度，控制量為風機盤管轉速，且各變量和系統關系為 N1，N2，N3，N4，N5。

末端控制器和N5構成了整個系統的前向通路，若采取PI控制作為末端控制器的控制方式，則末端控制器部分可表示為；整個系統的前向通路為1+NC·N5則可得系統的特征方程如式（17）所示：

其中，dr4，dr3，dr2，dr1，dr0為常數。

根據赫爾維茨穩定性判據可得：dr4>0，dr3>0，dr2>0，dr1>0，dr0>0，

證明該控制系統是充分穩定的。

3 模型驗證

3.1 模擬環境

本實驗對象為河北省秦皇島市一棟農村民用建筑，根據前述理論分析，用Simulink模擬仿真，推導出整體系統微分方程，系統傳遞函數，并根據式（5）驗證所建系統模型的準確性對系統加以控制。由于式（17）已經提供了控制系統穩定的依據，在確定控制部分參數時應依照該準則。以24 h為實驗長度，1 h為一個步長，對比實際環境與模擬環境下的建筑室內溫度變化情況和施加控制之后室內溫度追蹤設定溫度的控制情況。建筑環境參數如表1所示。

表1 建筑環境參數

為便于分析，圖3給出了系統的各個干擾（建筑室外干球溫度Tz，太陽直射輻射強度GD，太陽散射輻射強度Gd，風機盤管進水側溫度Tfi）及其變化情況。

圖3 系統干擾變化情況

利用Simulink搭建模擬環境如圖4所示，該實驗環境為驗證房屋模型與本文所推導模型一致性建立的房屋熱環境動態模擬即實驗模擬值。其中方程1，2，3為式（1）～（3）。各個信號按順序進入混合器（圖中黑色方框）并經積分器處理后反饋形成回路。室外溫度變化情況在溫度模塊中模擬，太陽輻射直射強度變化情況在直射模塊中模擬，太陽輻射散射強度變化情況在散射模塊中模擬。常數1表示風機進水側溫度，常數2表示風機轉速。各變量變化情況可通過顯示器1～7進行監測。

圖4 實驗環境Simulink仿真

3.2 模擬結果及分析

3.2.1 建筑室內熱環境模型驗證

建筑室內模擬溫度與實際溫度的變化情況如圖5所示。

圖5 模擬效果對比

由圖5可見，模擬溫度與實際溫度變化趨勢相同。在一天的仿真時間中，實際環境的最高溫度點和模擬環境的最高溫度點基本同時出現在19:00點，而最低溫度點模擬值則比實際值滯后一個小時，分別出現在10:00點和9:00點。實際溫度與模擬溫度在同一天的最大溫差為1.8℃，出現在19:00點。在此之后，兩條曲線保持相同趨勢遞減且兩者之間誤差逐漸減小。

造成這樣的原因是在測試時間段中，傍晚19:00點時太陽落山，建筑失去太陽輻射得熱。由于建筑墻體蓄熱影響，造成全天建筑室內最高溫度點較室外干球溫度最高點滯后2.8 h。另外，同樣由于建筑墻體蓄放熱的影響造成實際溫度與模擬溫度在19:00點時誤差達到最大。因為19:00點之后失去太陽輻射得熱，建筑墻體蓄放熱影響減弱，實際溫度與模擬溫度誤差逐漸減小。

3.2.2 控制系統模擬驗證

本文已經針對該系統設計了單閉環控制方法，同時以PI控制方式為例利用赫爾維茨穩定性判據從理論上驗證了模型的可控性。圖6為利用simulink仿真環境模擬的控制效果圖。選取PI控制參數為Ap=0.08，TI=0.05，同時設定目標溫度為20℃。

圖6 模擬控制效果

由圖6可知，模擬控制得到了較好的效果。建筑室內溫度的上升時間為17.25min（首次達到設定值點附近的時間），說明有較好的快速性。系統的峰值時間為20.55m in（系統達到最大超調點的時間），峰值為21.7243℃，系統的超調量8.62%。系統的調節時間為31.65m in（系統瞬態衰減時間），說明系統有較好的穩定性。通過對控制仿真圖的觀察，可以得到系統在36.75m in左右達到穩定狀態，此時系統的輸出和設定值的誤差只有0.3℃，達到了控制目標。

4 結論

1）提出了一種針對建筑熱環境控制的建模方法，其特征在于從能量角度結合室內熱環境與風機盤管進行整體建模。

2）運用線性系統理論對小型戶用風機盤管供暖系統進行了動態分析，求出了系統的數學模型及傳遞函數。通過與實際環境的對比驗證表明了該模型的誤差良好，能夠較好地反映實際情況。

3）根據該模型提出了控制系統的設計并進行了驗證，發現系統具有可控性且選用的模擬控制方法有良好的控制效果。

[1] 李元哲.被動式太陽房熱工設計手冊[M].北京:清華大學出版社,1993

[2] 彥啟森,趙慶珠.建筑熱過程[M].北京:中國建筑工業出版社,1986

[3] Reid RC,Prausnitz JM,Poling B E.The Properties of Gases and Liquids[M].New York:McGraw-Hill,1987