脈沖干擾復數域Cohen-Grossberg神經網絡的穩定性

徐曉惠,　徐　全,　施繼忠,　張繼業,　陳子龍

(1. 西華大學汽車測控與安全四川省重點實驗室，四川 成都 610039; 2. 西華大學流體及動力機械教育部重點實驗室, 四川 成都 610039; 3. 西華大學技術學院, 四川 成都 610039; 4. 浙江師范大學工學院, 浙江 金華 321004; 5. 西南交通大學牽引動力國家重點實驗室, 四川 成都 610031)

Cohen-Grossberg神經網絡[1]一方面在模型上包含了Hopfield神經網絡、細胞神經網絡、遞歸神經網絡等,另一方面該類型神經網絡在聯想記憶、并行計算、非線性優化等領域具有不可取代的優勢,因此對Cohen-Grossberg神經網絡的動態行為的研究引起了學者們的廣泛興趣.由于在神經網絡系統的硬件實現過程中,信號處理速度和傳輸速度有限使得時間滯后現象不可避免.時間滯后的存在不但影響神經網絡系統狀態的收斂性,甚至導致系統發生振蕩.文獻[2-5]針對幾類具有時間滯后的Cohen-Grossberg神經網絡平衡點的動態行為進行了研究,并取得了重要的研究成果.硬件電子網絡在運行過程中容易遭受瞬間干擾,使得系統的狀態發生突然變化,即出現脈沖效應.文獻[6-8]建立了具有脈沖干擾的連續-離散型Cohen-Grossberg神經網絡模型,研究了系統平衡點的穩定性,并分析了脈沖干擾對系統狀態收斂速度的影響.文獻[2-8]所得到的穩定性條件均針對定義在實數域下的Cohen-Grossberg神經網絡.復數域神經網絡在自適應信號處理、醫學影像、通信工程、優化計算等應用領域具有實數域神經網絡不可取代的優勢,因此對復數域神經網絡的動態行為分析成為近年的一個研究熱點[9-12].文獻[13]假設激活函數分別滿足解析性和Lipschitz條件的情況下,對一類具有時間滯后的離散型復數域神經網絡平衡點的穩定性和周期性進行了分析.SONG等[14]利用線性矩陣不等式技術及加權Lyapunov函數法,對一類具有可變時滯和脈沖干擾的復數域Hopfield神經網絡的平衡點的存在性、唯一性以及模指數穩定性進行了研究.文獻[15]在假設激活函數滿足全局Lipschitz條件的前提下,利用矢量Lyapunov函數法和M矩陣相關原理,分析了一類具有混合時滯和脈沖干擾的復數域Hopfield神經網絡平衡點的模指數穩定性.文獻[16]進一步在假設復數域激活函數滿足解析性的情況下,將文獻[15]中的復數域神經網絡模型拆分成實部系統和虛部系統,利用矢量Lyapunov函數法得到了確保該系統平衡點全局指數穩定的充分條件.文獻[17]研究了具有時滯和脈沖干擾的復數域分數階神經網絡的全局漸近穩定性.文獻[9-17]的研究是針對復數域Hopfield神經網絡進行展開的,所取得的研究成果無法直接應用于復數域Cohen-Grossberg神經網絡.ZHAO等[18]利用同胚映射和M矩陣原理對一類具有時滯的復數域Cohen-Grossberg神經網絡平衡點的存在性、唯一性和模指數穩定性進行了分析.文獻[18]假設Cohen-Grossberg神經網絡系統中的自反饋函數是線性函數,且沒有在模型中考慮脈沖干擾現象.

基于以上分析,本文將在假設復數域放大函數具有下界,并且復數域自反饋函數為非線性函數的情況下,采用同胚映射和M矩陣相關原理,對一類具有變時滯和脈沖干擾的復數域Cohen-Grossberg神經網絡的平衡點的存在性、唯一性進行研究,并利用矢量Lyapunov函數法和數學歸納法,對該系統平衡點的模指數穩定性進行分析.

1　模型描述、基本假設以及引理

對于復數向量z∈Cn,令

|z|=(|z1|,|z2|,…,|zn|)T,

并定義

假設系統的神經元狀態、關聯矩陣、自反饋函數以及激活函數均定義在復數域的情況下,本文考慮了如下具有可變時滯和脈沖干擾的復數域Cohen-Grossberg神經網絡:

(1)

式中:

i,j為神經元序號,i,j=1,2,…,n,其中n為神經元個數;

zi(t)為第i個神經元狀態，zi(t)∈C,t為時間;

A和B分別為該系統的關聯矩陣，A=(aij)n×n∈Cn×n，B=(bij)n×n∈Cn×n;

J(t)為系統的外部輸入;

hi(zi(t))為該系統的放大函數，J(t)=(J1(t),J2(t),…,Jn(t))T∈Cn;

di(zi(t))為該系統的自反饋函數;

fi(zi(t))為該系統的激活函數;

定義1若存在常數Γ>0和λ>0,對所有J∈Cn及t≥0,有

成立,則稱系統(1)的平衡點z#是全局模指數穩定的.

假設1假設對所有ui(t),vi(t)∈C,存在正數ωi>0,使得復數域自反饋函數di(·)滿足

注1在文獻[14,16]中,令復數域激活函數可分解成實部部分和虛部部分,并要求其偏導數滿足有界性和解析性.根據Liouville’s定理可知,若選取滿足有界性和光滑性的復數域激活函數,則復數域激活函數只能為復數域常數,即復數域激活函數無法滿足有界性和光滑性.該假設限制了人工神經網絡設計時復數域激活函數的選取.此外文獻[18]也指出,若復數域激活函數滿足上述條件,則必滿足Lipschitz條件,反之則未必成立.

為了便于設計人工神經網絡時復數域激活函數的選擇,對其作出如下假設.

假設2假設激活函數fi(·)滿足全局Lipschitz條件,即存在Lipschitz常數li>0,使得對所有ui,vi∈C,有|fi(ui)-fi(vi)|≤li|ui-vi|成立.令L=diag(l1,l2,…,ln).

假設3假設放大函數hi(zi(t))具有下界,即假設存在正實數σi,使得hi(zi(t))滿足hi(zi(t))≥σi>0.

本文所討論的脈沖干擾作為一種外部干擾引入到系統(1)中,該擾動影響系統狀態的收斂速度,即產生不利影響.因此,在對脈沖強度進行假設時只考慮脈沖強度的上界,具體如下.

注2當系統(1)中自反饋函數是線性函數(即di(zi(t))=cizi(t),ci>0),且系統(1)中沒有脈沖干擾時,則系統(1)的模型與文獻[18]所研究的復數域Cohen-Grossberg神經網絡是相同的.當系統(1)中放大函數hi(zi(t)=1時,且自反饋函數是線性函數時(即di(zi(t))=cizi(t),ci>0),則系統(1)的模型與文獻[14]所研究的復數域Hopfield神經網絡模型是相同的.以上討論說明本文的模型更具有一般性.

引理1[7]對于矩陣P=(pij)n×n∈Rn×n,如果所有非對角元素pij≤0,i≠j,則以下的陳述是等價成立的:

(1)P為M矩陣;

(2)P的各階順序主子式均為正;

(3) 存在ξ∈Rn>0,使得Pξ>0;

(4)P的所有特征根的實部為正.

引理2[15]如果H(z)是定義在復數空間Cn上的連續函數,并滿足如下條件:

(1)H(z)在Cn上是單葉映射，

則H(z)是Cn上的同胚映射.

2　主要結論

exp(0.5λτ)|bij|)<0,

(2)

那么系統(1)對于任意外部輸入J∈Cn均存在唯一平衡點z#,且該平衡點是全局模指數穩定的,指數收斂率為0.5(λ-η).

證明該定理結論的證明分兩個部分,分別為該系統平衡點z#的存在的性和唯一性以及在脈沖干擾下系統平衡點z#的全局模指數穩定性.

步驟Ⅰ首先利用同胚映射和M矩陣的相關原理證明該系統平衡點z#的存在的性和唯一性.

定義H(z)=(H1(z),H2(z),…,Hn(z))T是與系統(1)相關的一個映射,其中

(3)

若H(z)是Cn上的同胚映射,則顯然系統(1)存在唯一平衡點z#.

(1) 首先證明H(z)是定義在Cn上的單葉映射.

由定理中不等式(2)可知不等式(4)是成立的.

(4)

根據M矩陣的相關引理1知,矩陣Q=(qij)n×n是M矩陣,其中:

此外,由于不等式(4)成立可知,存在一個充分小的正數δ>0,使得不等式(5)成立.

(5)

若存在u,v∈Cn,u=(u1,u1,…,un)T,v=(v1,v1,…,vn)T,且u≠v,使得Hi(u)=Hi(v),即

(6)

整理式(6)后,兩邊同時取模,有

|di(ui)-di(vi)|=

考慮到假設1和假設2,有

(7)

將式(7)進一步整理,有

lj|uj-vj|≤0,

即Q|u-v|≤0.由于Q是M矩陣,因此detQ>0且Q-1存在,故而有|u-v|=0,即u=v.也就是說Hi(z)是單葉映射,i=1,2,…,n.

即

(8)

(9)

將式(9)兩邊同時取共軛,有

(10)

將式(9)和式(10)相加,并考慮到假設1和假設2,有

(11)

將式(11)兩邊同時乘ξi,并求和得到

考慮到不等式(5),可知

進一步整理上式有

綜合上述(1)和(2)的證明可知,映射H(z)是Cn上的同胚映射,因此系統(1)存在唯一平衡點z#.

步驟Ⅱ下面將利用矢量Lyapunov函數方法和數學歸納法證明系統(1)的平衡z#點在脈沖干擾下是全局模指數穩定的.

(12)

顯然若證明系統(1)的平衡點z#是全局模指數穩定的,只需證明系統(12)的零解是全局模指數穩定的.

選擇矢量Lyapunov函數

當0

(13)

令U=(U1,U2,…,Un)T,

即

D+0Vi(t)=2Ui(t)D+Ui(t).

將其代入到不等式(13)中,有

(14)

進一步可得Ui(t)<ξiχ0,0

tk-1≤t

(15)

t0≤t

其中η0=1.根據前面的分析可知該式顯然是成立的.

假設不等式(16)成立,

tw-1≤t

(16)

由于ηw≥1,進而不等式(16)變為

tw-τ≤t≤tw.

(17)

ηw-1ηwξiχ0,tw≤t≤tw+1.

(18)

ηw-1ηwξm*χ0,tw≤t*

ηw-1ηwξjχ0,tw-τ

(20)

將式(19)和式(20)代入到不等式(14)中,并考慮到不等式(2),有

D+0Um*(t*)≤

η0η1η2…ηw-1ηwχ0<0.

這與假設D+0Um*(t*)≥0是矛盾的,因此不等式(16)是成立的.

tk-1≤t

(21)

ηk≤exp(0.5η(tk-tk-1)),

exp(0.5η(t2-t1))…

exp(0.5η(tk-1-tk-2))ξiχ0exp(-0.5λt)<

tk-1≤t

進一步,有

exp(-0.5(λ-η)(t-t0))=

根據定義1可知,系統(12)的零解是全局模指數穩定的,即系統(1)的平衡點z#是全局模指數穩定的,即

綜合步驟Ⅰ和步驟Ⅱ可知,系統(1)存在唯一平衡點z#,且該平衡點是在脈沖干擾下是全局模指數穩定的,指數收斂率為0.5(λ-η).證畢.

注3容易驗證當系統(1)中的神經元狀態、關聯矩陣以及各函數定義在實數域時,本文的研究方法和所建立的判據對相應的實值神經網絡仍適用.

注4若系統(1)中沒有脈沖干擾,此時確保系統(1)平衡點存在性、唯一性和全局模指數穩定性的充分條件則為:若假設1～3是成立的,并且矩陣Q是M矩陣,其中:

則系統(1)存在唯一平衡點,且該平衡點是全局模指數穩定的.

注5當神經網絡實際應用于聯想記憶時,系統具有多個平衡點,此時需分析確保該系統多平衡點的Lagrange穩定性或多穩定性,見文獻[19-20].當神經網絡實際應用于優化計算時,期望系統具有唯一的平衡點,此時需分析確保系統平衡點的存在性和唯一性.本文基于矢量Lyapunov函數法和M矩陣理論得到了確保系統平衡點存在性、唯一性和Lyapunov意義下的全局模指數穩定的充分條件.此外,本文放寬了文獻[18]對放大函數和自反饋函數的限制,并考慮了脈沖干擾對系統的影響,所得到的結論更具有一般性.

3　數值仿真算例

考慮如式(22)復數域Cohen-Grossberg神經網絡系統,

(22)

情況1假設已知:

加權矩陣分別為

激活函數為

脈沖發生時刻為

{0.3 s,0.9 s,1.2 s…};

λ=8;

ξ=(0.5,0.7)T.

經計算,有ω1=8,ω2=5,σ1=2,σ2=3,l1=0.250,l2=0.375,η=6.86.

令系統(22)中的時延為

τ1j=0.02-0.01sint,

τ2j=0.03-0.01cost,

j=1,2,t≥0.

顯然τ=0.04 s.

令初始條件為

z1(s)=0.3-0.2i,z2(s)=-0.5+0.4i,

s∈[-0.04,0],

J1(t)=0,J2(t)=0.

進一步計算有

exp(0.5λτ)|b1j|)=-0.860<0,

exp(0.5λτ)|b2j|)=-0.591<0.

容易驗證以上條件滿足定理的假設,故根據定理可得結論:系統(22)存在唯一零解,且該零解是全局模指數穩定的,指數收斂率為0.57.關于系統(22)的仿真結果見圖1和圖2,圖1給出了沒有脈沖干擾時系統(22)的神經元狀態z1(t)和z2(t)的模曲線,圖2給出了在脈沖干擾影響下系統(22)的神經元狀態z1(t)和z2(t)的模曲線.由仿真結果可知該系統狀態的模是收斂的.仿真結果驗證了本文結論的正確性.

圖1　情況1下無脈沖干擾時系統(22)狀態的模曲線Fig.1　Module curves of neuro states of Eq.(22) without impulsive disturbances under case 1

圖2　情況1脈沖干擾下系統(22)狀態的模曲線Fig.2　Module curves of neuro states of Eq.(22) with impulsive disturbances under case 1

圖3　情況2下無脈沖干擾時系統(22)狀態的模曲線Fig.3　Module curves of neuro states of Eq.(22) without impulsive disturbances under case 2

圖4　情況2下脈沖干擾下系統(22)狀態的模曲線Fig.4　Module curves of neuro states of Eq.(22) with impulsive disturbances under case 2

4　結　論

針對一類具有脈沖干擾和可變時滯的復數域Cohen-Grossberg神經網絡,在假設復數域放大函數具有下界且復數域自反饋函數為非線性函數的情況下,采用同胚映射和M矩陣相關原理對該系統平衡點的存在性、唯一性進行了研究,然后利用矢量Lyapunov函數法和數學歸納法得到了確保該系統平衡點的全局模指數穩定性的充分條件.本文所得到的判據同時顯示了時滯和脈沖干擾對系統平衡點動態行為的影響,即時滯越大,脈沖干擾強度越大,系統神經元狀態的收斂速度則越慢.該研究成果不但推廣了現有結論,并且具有較低的保守性.最后給出的兩個數值算例驗證了本文結論的可行性,同時算例仿真結果證明了結論的正確性.

致謝:流體及動力機械教育部重點實驗室研究基金 (szjj2016-007); 汽車測控與安全四川省重點實驗室研究基金(szjj2017-074).