橋梁結(jié)構(gòu)鋼裂紋塑性區(qū)的研究及應(yīng)用

渠　昱,　顧安邦,　曾　勇,　杜柏松

(1. 重慶交通大學(xué)山區(qū)橋梁與隧道工程國家重點實驗室, 重慶 400074; 2. 重慶交通大學(xué)山區(qū)橋梁結(jié)構(gòu)與材料教育部工程研究中心, 重慶 400074)

正交異性鋼橋面板是由面板和一系列的縱橫加筋肋焊接而成,重量輕和承載力大的優(yōu)點與結(jié)構(gòu)工藝復(fù)雜、對疲勞敏感的缺點同時存在.李傳習(xí)等[1]在某懸索橋運行9 a后發(fā)現(xiàn)扁平鋼箱梁中疲勞裂紋有141處,其中橫隔板開孔和U肋與橫隔板焊接端頭為126處,占全橋裂紋總數(shù)的89.4%.張清華等[2]從制約正交異性鋼橋面板的疲勞性能研究進展等層面進行了分析總結(jié),認為正交異性鋼橋面板的疲勞體現(xiàn)為由多個構(gòu)造細節(jié)的疲勞性能共同決定的空間結(jié)構(gòu)疲勞問題,該問題的研究面臨極大挑戰(zhàn),并指出需要加強對疲勞機理的研究.其中循環(huán)塑性對裂紋萌生和擴展的影響是疲勞研究的主要內(nèi)容,裂尖局部延性屈服形成裂尖塑性區(qū),塑性區(qū)的尺寸(pz)和形狀控制著裂尖的結(jié)構(gòu)特性.近年來許多最先進的試驗技術(shù),如電子背散射衍射[3-4]、原子力顯微鏡[5-6]、圖像數(shù)字識別相關(guān)分析[5]、電子顯微鏡[6]和X射線斷層攝影[7-8]等技術(shù)用于疲勞塑性區(qū)的研究.

在裂紋擴展過程中裂尖塑性區(qū)尺寸和形狀對疲勞裂紋有著極其重要的作用.陳景杰等[9]提出了一種基于裂紋最大張口位移變化量確定裂尖逆向塑性區(qū)尺寸的簡便方法.趙均海等[10]根據(jù)雙剪統(tǒng)一強度理論,給出了能反映材料拉壓性能差異的初始拉壓及反映中間主應(yīng)力效應(yīng)的參數(shù)對塑性區(qū)的影響.VASCO OLMO等[11]利用實驗和圖像數(shù)字識別相關(guān)分析技術(shù)得到裂尖區(qū)域的應(yīng)變場,利用Mises應(yīng)力計算等效應(yīng)力,得到塑性區(qū)的尺寸和形狀,并與理論模型結(jié)果進行對比.

對pz的簡化計算方法和對鋁、鉬等合金材料研究較多，對橋梁結(jié)構(gòu)鋼,利用數(shù)值方法和塑性區(qū)對裂紋擴展和過載等問題的影響研究很少.本文通過數(shù)值方法對橋梁鋼裂紋擴展和尾跡場的塑性累積進行模擬分析,探討循環(huán)塑性區(qū)的形成、裂尖塑性區(qū)與尾跡場對裂紋擴展和過載滯后等影響進行研究.

1　裂尖塑性區(qū)算法

1.1　簡化的裂尖塑性區(qū)計算方法

為了工程設(shè)計需要,一般對pz作簡化處理,假定只與應(yīng)力強度因子(SIF)有關(guān).平面應(yīng)力pl-σ和平面應(yīng)變pl-ε的情況下,簡化的Ⅰ型裂紋彈塑性邊界可表示為

(1)

[(1-2ν)2+3sin2(θ/2)],

(2)

(3)

式中:ν為泊松比;KI為Ⅰ型裂紋的應(yīng)力強度因子;Sy為屈服應(yīng)力;θ為幅角.

當(dāng)極坐標(biāo)半徑r趨于0時,根據(jù)SIF的應(yīng)力場計算的塑性區(qū)是精確的,但式(1)～(2)的結(jié)果只有對很低的SIF有效.更主要的是式(1)～(2)不滿足無窮遠邊界條件,根據(jù)Irwin[12]早期的建議,在平行于裂紋方向的應(yīng)力分量sxx加一非奇異的常數(shù)項,即T應(yīng)力強制滿足遠場條件,即KI+T應(yīng)力場(見式(4)),用于考慮應(yīng)力水平對塑性區(qū)的影響[12].

(4)

根據(jù)形狀應(yīng)變能密度理論,塑性區(qū)應(yīng)力方程為

(5)

式中:σM,pl-σ為裂尖周圍Mises應(yīng)力.

根據(jù)式(4)～(5),得到等于屈服應(yīng)力的等值線,即塑性區(qū)邊界，這樣就可以得到裂尖的塑性區(qū).

以橋梁鋼Q345qD為例研究平面應(yīng)力水平對Ⅰ型裂紋塑性區(qū)的影響,同樣適用于平面應(yīng)變情況.材料參數(shù):彈性模量E=2.0×105MPa；ν=0.3；屈服強度Sy=345 MPa；斷裂韌度KIC=60 MPa·m0.5,計算的塑性區(qū)見圖1，圖中：σn為外荷載應(yīng)力；pz(θ)為塑性區(qū)尺寸.式(4)～(5)雖然是簡化的計算方法,但是能考慮應(yīng)力水平的影響,圖1表明在高應(yīng)力水平大于0.4的情況下,不能忽略高階項的影響.由于裂尖塑性區(qū)和構(gòu)件剩余部分尺寸相比較小,狀態(tài)仍然以彈性為主,線彈性分析仍適用.所以,如何改進線彈性方法估計塑性區(qū)是具有實際意義.

圖1　平面應(yīng)力I型裂紋裂尖塑性區(qū)Fig.1　Plane stress crack tip plastic zone for mode I

1.2　應(yīng)力函數(shù)計算裂尖塑性區(qū)

Westergaard應(yīng)力函數(shù)Z(z)提供了一個嚴格的從線彈性應(yīng)力場計算裂尖塑性區(qū)方法[13],可以避免簡化算法截斷引起的誤差.利用應(yīng)力函數(shù)Z(z)得到的應(yīng)力場滿足所有邊界條件,但是彈塑性邊界并不靠近裂尖,這可以將坐標(biāo)原點移動到裂尖,再次利用平面Ⅰ型裂紋加載的Irwin解[12].如果(x,y)和(r,θ)分別是直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系,原點設(shè)在裂尖上,z=rexpθ=x+iy是復(fù)函數(shù),i2=-1,Irwin解為

(6)

(7)

首先利用Z(z)和Z′(z)函數(shù)得到應(yīng)力,然后利用等效Mises應(yīng)力等于屈服強度Sy,就可以得到平面應(yīng)力情況下的塑性區(qū)方程,如式(8).

{[ReZ-yImZ′-σn]2+[ReZ+yImZ′]2-

[ReZ-yImZ′-σn][ReZ+yImZ′]+

3(-yReZ′)2}1/2-Sy=0.

(8)

盡管應(yīng)力函數(shù)表達的完備應(yīng)力場對平面裂紋的線彈性解是正確的,但是,塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力分布與線彈性場的奇異性不匹配.塑性區(qū)內(nèi)的能量不平衡會改變塑性區(qū)周圍的應(yīng)力分布,因此塑性區(qū)的大小和形狀需要進行修正.

圖2　由應(yīng)力函數(shù)計算的Ⅰ型裂紋裂尖塑性區(qū)結(jié)果Fig.2　Estimated resultsfrom stress function for the mode Ⅰ

1.3　滿足平衡條件要求的塑性區(qū)修正

應(yīng)力修正就是強制平面裂紋滿足平衡條件.塑性區(qū)內(nèi)利用Mises應(yīng)力對屈服產(chǎn)生的應(yīng)力截斷進行平衡校正是合理的解決方案,因為它能將所有應(yīng)力都與Mises應(yīng)力相關(guān).本文只討論(σn/Sy=0.8)Mises應(yīng)力對塑性區(qū)的修正[14],按式(9)計算,結(jié)果見圖3.

(9)

式中：pz eq M為Mises應(yīng)力平衡修正后的裂尖塑性區(qū)；pz M為利用Westergaard函數(shù)計算的裂尖塑性區(qū)；σM(r,θ)為修正點的Mises應(yīng)力.

圖3?、裥土鸭y裂尖塑性區(qū)平衡校正前后的結(jié)果比較Fig.3　Comparison of crack tip plastic zone before and after equilibrium correction for mode Ⅰ crack

圖3中:A表示KI+T的裂尖塑性區(qū);B表示Mises應(yīng)力修正的KI+T裂尖塑性區(qū);C表示應(yīng)力函數(shù)Z計算的裂尖塑性區(qū);D表示Mises應(yīng)力修正的應(yīng)力函數(shù)Z計算的裂尖塑性區(qū).

從圖3可以看出:高應(yīng)力水平對塑性區(qū)的影響需要修正;低應(yīng)力水平對塑性區(qū)的影響很小,不需要進行塑性區(qū)修正.

2　數(shù)值方法

為了與理論值進行比較,利用擴展有限元(XFEM)對橋梁鋼裂尖塑性區(qū)進行數(shù)值計算.

2.1　利用XFEM計算Q345qD裂尖塑性區(qū)

XFEM的基本想法是將不連續(xù)位移場分解為兩部分:連續(xù)部分是標(biāo)準(zhǔn)有限元插值；不連續(xù)部分是根據(jù)局部單位分解定理[15]增加的部分,并將這些附加信息嵌入有限元插值.這樣的矩陣仍然是稀疏的,仍可以用現(xiàn)有的有限元分析框架處理不連續(xù)問題.裂紋采用兩個水平集函數(shù)描述[15]:描述裂紋路徑的水平集函數(shù)和裂尖位置的水平集函數(shù).附加函數(shù):完全被裂紋分割的單元節(jié)點附加采用有向距離函數(shù);裂尖單元節(jié)點附加取分支函數(shù)[15].為了消除在附加和非附加單元之間存在混合(過渡)單元產(chǎn)生多余項問題,利用內(nèi)罰函數(shù)方法使附加和不附加覆蓋之間強制連續(xù),稱為不連續(xù)伽遼金擴展有限元[16],比標(biāo)準(zhǔn)的擴展有限元更精確,收斂速度得到了優(yōu)化.

利用Abaqus對Q345qD橋梁結(jié)構(gòu)鋼板進行計算,鋼板尺寸為寬1200 mm×長1 600 mm×厚4 mm,中心裂紋長度10 mm,劃分成329 873個C3D8R單元,147 070個節(jié)點,裂紋處網(wǎng)格加密尺寸為0.5 mm×0.5 mm,裂紋垂直方向單向加載,應(yīng)力比σn/Sy=0.8,0.6，0.4.根據(jù)應(yīng)力場得到的裂尖塑性區(qū)結(jié)果見圖4.

圖4　不同應(yīng)力比情況下中心裂紋塑性區(qū)Fig.4　Central crack plastic zone under different stress ratios

2.2　計算結(jié)果比較

根據(jù)以上計算的結(jié)果,取裂紋長度a=10 mm,裂尖塑性區(qū)半徑比較見表1.

表1各種計算方法的塑性半徑比較
Tab.1Comparison of plastic radii of calculation methods mm

計算方法修正前后σn/Sy0.80.60.4KI+T前3.201.800.80后6.403.601.60Westergoard函數(shù)前4.032.271.01后8.064.542.02XFEM—4.281.720.70

由表1可知:在低應(yīng)力比情況下,幾種算法基本接近,在高應(yīng)力比情況下,Westergoard函數(shù)與XFEM法計算結(jié)果很接近,說明數(shù)值方法是可行的.

從圖1～4可知,裂尖塑性區(qū)對稱向前伸展.由于塑性區(qū)不能傳遞拉應(yīng)力,裂尖塑性區(qū)的兩個“翅膀”遮蔽了裂尖高應(yīng)力對裂紋尾跡場的拉伸作用,這有利于裂紋閉合.

3　裂尖塑性區(qū)和尾跡場塑性區(qū)

裂紋塑性區(qū)分為裂尖塑性區(qū)(單調(diào)塑性區(qū)和逆向塑性區(qū))和尾跡場塑性區(qū)(遺留在尾跡場的單調(diào)塑性變形區(qū)和循環(huán)塑性區(qū))[17]兩部分,見圖5.

圖5　過載情況下裂紋擴展時的塑性區(qū)Fig.5　Plastic zone induced by overload

圖5中：β為最大剪應(yīng)力平面方位角，數(shù)學(xué)尖裂紋為70.5°，光滑試件為45°，鈍裂紋為45°～70.5°[17-18]；d為裂紋一個循環(huán)的擴展長度.

循環(huán)載荷作用下,裂尖出現(xiàn)塑性變形,雖然這是小范圍屈服,但表明當(dāng)應(yīng)力從最小應(yīng)力σmin上升到最大應(yīng)力σmax的過程中塑性區(qū)就產(chǎn)生了.當(dāng)加載到最大應(yīng)力σmax時,塑性區(qū)的尺寸與應(yīng)力強度因子Kmax和Sy比值的平方成正比.塑性區(qū)在加載方向產(chǎn)生了塑性伸長,相比原來的尺寸有所增大,于是在卸載過程中,這個塑性區(qū)受到壓縮荷載作用,出現(xiàn)了反向塑性.反向塑性的出現(xiàn),要求在相反方向的局部應(yīng)力增量達到兩倍Sy的量級,這意味著反向塑性區(qū)的尺寸應(yīng)該約為加載過程中所產(chǎn)生的塑性區(qū)的1/4.所以反向塑性區(qū)比最大應(yīng)力σmax所產(chǎn)生的塑性區(qū)要小很多.在反向塑性區(qū)之外,相對大得多的塑性區(qū)變形僅發(fā)生在σmax時,這稱為單調(diào)塑性,而正是這個單調(diào)塑性變形引起了材料在加載方向上的永久性伸長.

3.1　長裂紋門檻值的裂尖塑性區(qū)半徑

疲勞裂紋萌生和裂紋擴展是循環(huán)滑移的結(jié)果,循環(huán)滑移意味著循環(huán)塑性變形(見圖5).在周期加載下不可逆的位錯滑移產(chǎn)生永久滑移帶,表面晶粒擠入或擠出,以最佳取向滑移.疲勞在低于屈服應(yīng)力的作用下發(fā)生,塑性變形限于材料中少量的晶粒.隨著滑移帶增多和應(yīng)力的增加,在裂尖形成塑性區(qū)I型裂紋裂尖塑性區(qū)半徑rpl和逆向塑性區(qū)半徑rrpl分別為[19]

(10)

根據(jù)Hobbacher[20]建議,C和CM結(jié)構(gòu)鋼Paris裂紋擴展區(qū)的下確界(SIF門檻值)ΔKth與塑性區(qū)尺寸的關(guān)系為

(11)

式中:R為加載應(yīng)力比,R=0.2.

根據(jù)劉艷萍等[21]的建議,對Q370qE鋼,

ΔKth=5.556(1-0.825R)1.147.

(12)

對橋梁鋼Q345qD,ΔKth=4.52 MPa·m0.5,計算得到rpl=27.29 μm，rrpl=6.82 μm.

El Haddad等[22]建議使用ΔKth和疲勞極限σf表達虛擬裂紋長度a,即

a=ΔKth/(πσfY),

(13)

式中:Y為幾何形狀系數(shù),取決于裂紋形態(tài)，對于穿透裂紋(長度2a)的無限平板,Y=1.0，其它裂紋類型Y值可以從應(yīng)力強度因子求解.

正交異性鋼橋面板開孔處的常幅疲勞極限為70 MPa[23],根據(jù)式(13)可以計算初始裂紋長度a0=1.262 mm,a0/rpl=46>25,符合小范圍屈服假定.

3.2　循環(huán)塑性和裂紋提前閉合機理

圖6是利用DG-XFEM計算平面應(yīng)力和平面應(yīng)變條件下,循環(huán)塑性過程中塑性尾跡場中的材料以不同方式向裂尖轉(zhuǎn)移的情況.圖中:① 平面應(yīng)力:頸縮實現(xiàn)材料向裂尖轉(zhuǎn)移;② 平面應(yīng)變:塑性區(qū)單元剪切、變形、旋轉(zhuǎn),體積增大,實現(xiàn)材料向裂尖轉(zhuǎn)移;③ 單元剪切、變形伸長、旋轉(zhuǎn)鍥入模型.在每一個載荷循環(huán)中都會發(fā)生裂紋尖端塑性,所以裂紋擴展時要穿過以前荷載循環(huán)所產(chǎn)生的塑性區(qū)，因此,塑性變形就被殘留在裂紋尾跡場.塑性尾跡場大部分材料在加載過程中經(jīng)受了單調(diào)塑性變形(見圖5),而沿著裂紋面的一個很小的邊緣則經(jīng)受了循環(huán)塑性變形.塑性尾跡場中的材料在載荷方向上已發(fā)生塑性伸長(見圖6),在鄰近裂尖塑性區(qū)的裂紋面發(fā)生收縮產(chǎn)生壓應(yīng)力.在卸載過程中,試樣完全卸載之前裂紋卻能夠閉合.這就是塑性誘發(fā)的裂紋提前閉合[17].

圖6　塑性尾跡場中材料向裂尖轉(zhuǎn)移Fig.6　Transfer of material in wake field to crack tip

平面應(yīng)力情況下,試件表現(xiàn)為側(cè)向頸縮實現(xiàn)材料轉(zhuǎn)移,平面應(yīng)變則通過單元剪切滑移、變形伸長和旋轉(zhuǎn)鍥入的方式實現(xiàn)向裂尖的轉(zhuǎn)移.當(dāng)裂紋通過塑性區(qū)的時候,遺留或填充的材料在裂紋兩側(cè)表面上塑性累積,伸長的塑性累積產(chǎn)生壓縮效應(yīng)的尾跡場,使裂尖提前閉合.

3.3　塑性區(qū)對過載循環(huán)的影響

在變幅疲勞問題中,一個過載能夠使裂紋尖端張開并且變鈍,這將降低張開應(yīng)力Sop,并且助長裂紋開始向過載形成新的裂尖塑性區(qū)擴展,而且由于在反向塑性區(qū)內(nèi)存在的殘余拉伸應(yīng)力隨后可能發(fā)生某種程度的裂紋擴展加速，殘余拉伸應(yīng)力促使裂紋尖端張開.在一個小的裂紋長度增量范圍內(nèi)觀察到了這種緊隨過載后的裂紋擴展加速現(xiàn)象.由于受到因過載在單調(diào)塑性區(qū)內(nèi)引起的殘余壓縮應(yīng)力的作用,裂紋進入過載塑性區(qū)后繼續(xù)擴展將遇到越來越嚴重的裂紋閉合,于是裂紋擴展速率下降.

這種裂紋塑性誘發(fā)的裂紋閉合對過載情況下的裂紋擴展具有明顯的遲滯效應(yīng),是由于在先前產(chǎn)生的裂紋尖端塑性區(qū)中,已發(fā)生塑性伸長的材料殘留在裂紋尾跡上引起的.高峰載荷引起了較大的塑性區(qū),當(dāng)裂紋尖端進入這些塑性區(qū)時就出現(xiàn)更多的裂紋閉合,這已被試驗所證實.在裂紋進一步擴展后,將在裂紋尾跡上留下更多的塑性變形,這使得Sop升高,從而降低有效應(yīng)力強度因子幅ΔKeff,導(dǎo)致了裂紋擴展遲滯.在通過了裂紋擴展速率的最小值并且相當(dāng)程度的后續(xù)擴展以后,擴展速率恢復(fù)到正常的常幅加載水平.在Sop降低到Sop=Smin后,由于在后續(xù)的常幅循環(huán)中不再發(fā)生裂紋閉合,于是裂紋擴展遲滯結(jié)束.

4　結(jié)　論

(1) 裂尖塑性區(qū)尺寸與應(yīng)力水平的平方成正比,擴展有限元法與Westergoard函數(shù)法的計算結(jié)果基本一致.

(2) 正交異性鋼橋面板開孔處,材料Q345qD取R=0.2,常幅疲勞極限70 MPa,ΔKth=4.52 MPa·m0.5,計算得到rpl=27.29 μm,rrpl=6.82 μm ,a0=1.262 mm.

(3) 對稱向前伸展的裂尖塑性區(qū)形成的遮蔽效應(yīng),使裂紋尾跡場避免了裂尖應(yīng)力場的拉伸作用,有利于裂紋閉合.

(4) DG-XFEM對裂紋表面循環(huán)塑性變形進行模擬，表明平面應(yīng)力情況下,面外以頸縮的方式實現(xiàn)材料往裂尖的轉(zhuǎn)移;平面應(yīng)變情況下,材料以剪切變形、旋轉(zhuǎn)伸長和鍥入實現(xiàn)材料往裂尖轉(zhuǎn)移.當(dāng)裂紋通過塑性區(qū)的時候,殘留/填充的材料在裂紋表面產(chǎn)生塑性累積,循環(huán)塑性區(qū)內(nèi)的單元伸長產(chǎn)生壓縮效應(yīng)使裂紋提前閉合.

(5) 塑性區(qū)對過載循環(huán)情況下裂紋擴展滯后有重要影響.

致謝:山區(qū)橋梁與隧道工程國家重點實驗室培育基地開放基金資助.