都是“直覺解題”惹的禍

浙江省紹興市上虞區瀝海鎮中 張 薇

初中生初學平面幾何，由于研究對象從數轉到形，研究方法也從以運算為主轉到以合情推理為主，又由于平面幾何中新概念的大量集中出現，學生無論在知識的學習、技能和能力的形成，還是在學習方法和學習習慣培養等方面，都存在著相對不適應的狀況。這無形中提高了幾何入門的門檻。而《數學課程標準》在教學內容的安排上，變化最大的是幾何教學提前，這更為幾何入門教學增添了難度。因此，初學幾何，盡管推理的能力已開始萌芽，但直覺、直觀性操作、試驗仍占主要地位，由于直覺思維具有自由性、靈活性、偶然性、不可靠性等特點，因而在我們的日常教學過程中，學生憑“直覺”“直觀判斷”等常規思維、經驗解題，這里“直覺”起了舉足輕重的作用，“直覺”是一把雙刃劍，在解題中有時惹禍也確實不少。本文將通過一則案例，剖析“直覺解題”惹禍的內在原因，并提出一些化解對策。

案例：“平行四邊形的判定”教學

趙老師施教的內容是浙教版八年級下冊第五章第二節“平行四邊形的判定”。教學中趙教師補充的一個推論是“如果一個四邊形兩組對角相等，則這個四邊形是平行四邊形”。即：已知在平行四邊形ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D。求證四邊形ABCD是平行四邊形。（題目出示后，學生思考幾分鐘）

師：哪位同學能夠說一下證明思路？

生1：連結 BD，我想證明∠1=∠2，因此來證明△ABD≌△BCD（如圖1）。

師：請接著講。

生 1：因為 BD=BD，AD=BC,AB=CD,

所以△ABD≌△BCD(SSS)，

所以∠1=∠2，于是AD∥BC。

同理，AB∥CD，

所以四邊形ABCD是平行四邊形。

師：為什么 AD=BC，AB=CD？

生1：四邊形ABCD是平行四邊形??！所以對邊相等。（還挺自信的）

師：同學們，我們的題目是要求證明四邊形ABCD是平行四邊形，你怎么說它已經是平行四邊形了呢？那不是不用證了嗎？請你坐下，再仔細想想。

（生1無言以對，一臉茫然地坐下。）

教師又叫了一位學生，問：你是怎么想的？

生2：過D、C兩點分別向AB邊作垂線段，我想證明高DH、CG相等，為此想證明△ADH≌△BGC。

在生2的證明中還是不知不覺地利用了“四邊形ABCD是平行四邊形”，證明失敗之后，又企圖證明DH=KB，還是沒有成功（如圖2）。

圖2

接著，學生3作了兩條高，企圖證明DN=MB，為此想證明四邊形MBND是矩形，也都失敗了（如圖3）。

圖3

學生的這些“證明思路”都是無意之中默認了“四邊形ABCD是平行四邊形”的緣故。這顯然都是直覺圖形惹的禍！

剖析：

數學直覺作為數學學科的發端、數學學習的奠基石，它是數學學習有所發現、有所創造、有所發展的基礎和前提，在數學學習中起著重要的作用。但是在初學幾何的時候，由于學生對直觀圖形的認知相當直接、相當明白，因此它常常在學生的解題中惹起事端。因為幾何的體系是從給出的已知條件出發，根據某些定理推到結論。解題中，學生所運用的依據只有兩個：一是已知條件，二是已經學過的定理或定義等。圖形里面看來正確的東西（我們姑且把它稱為“圖形信息”）是不能作為推理的依據的。但是由于學生尚處于借助直觀進行初步的形象思維階段，對這樣的邏輯系統一時難以適應，于是就帶來了有意無意地使用“圖形信息”的錯誤，不經意間有時也常給我們教學惹禍。

化解對策：

在解題教學中，如何幫助學生克服這類低級錯誤？除了在遇到這種情況時能著力指出錯誤根源，幫助學生糾正之外，我們還可以采取如下的一些方法。

1.畫“殘缺圖形”和“不正確圖形”法。為了讓學生不受或少受直覺的干擾，例如前面趙老師的課，如果教師把圖形故意畫成不正確的圖（如圖4），直覺的干擾可能會少些，當然也可以畫成殘缺圖形。

圖4

2.通過不同途徑，讓學生多體會“眼見不一定為實”。

初學幾何，學生往往憑直覺想當然。不認真分析題目的已知條件就草率下結論，從而導致錯誤。例如，比較圖5兩幅圖形中線段AB與線段CD的大小。不少學生不假思索地回答AB小于CD。這時，教師不要急于否認學生的答案，可以組織學生自己親自動手量一量或者教師利用幾何畫板等現代化教學手段顯示出他們的實際長度，學生內心一定有強烈的震動，從而深切地體會到“眼見不一定為實”，直覺雖好但有時也會“惹禍不少”。

圖5

通過觀察、測量、計算、作圖等實踐活動，可以深化學生對數學的理解。所以在化解“直覺惹禍”的過程中一定要注意學生的主體參與，力爭讓學生多體驗、多體會、多經歷。只有經過參與其中的體驗活動，學生才能真正做到將知識內化，轉化為自己的知識。

3.舉反例是化解“直覺解題惹禍”的重要途徑。

反例在辨析錯誤中具有直觀、說服力強等突出特點。在教學中，我們要注重反例的運用，這不但能使學生發現錯誤和漏洞，而且還可以修補相關知識，學會多角度考慮問題，從而提高思維的全面性。因此，在化解“直覺解題惹禍”的過程中，這是一種非常有效的“常規武器”。

例如，判斷下列說法：“底面是正三角形，側面均為等腰三角形的棱錐是正三棱錐?！笔欠裾_？

圖6

這個命題絕大部分學生憑自己的直覺進行感知解題，覺得其正確性不容懷疑。但是條件“側面是等腰三角形”并不等同于條件“側面是全等的等腰三角形”。如圖6，底面ABC是正三角形，DA垂直于平面 ABC，并且 DA=AB，這樣側面△ABD，△ACD均是等腰直角三角形，△DBC是等腰三角形，符合題設諸條件。但顯然此棱錐不是正三棱錐。

數學家伊思·斯圖爾特曾經說過：“數學的全部力量就在于直覺和嚴格性巧妙的結合在一起，受控制的精神和富有美感的邏輯。”受控制的精神和富有美感的邏輯正是數學的魅力所在，也是數學教育者努力的方向。在教學中，我們要充分發揮好直覺的威力，同時也游刃有余地化解“直覺解題所惹的禍”，充分發揮我們的聰明才智，為提高學生的數學思維和數學素養而不懈努力。

[1]郭允遠.注意加強非邏輯思維訓練[J].中學數學研究，2008.（2）.

[2]姚文孝.數學思想方法論選講[M].長春：東北師范大學出版社，2001.