一個(gè)幾何不等式的加強(qiáng)與證明

成克勤

安振平在2011年第11期的《中學(xué)數(shù)學(xué)教育參考》（上半月刊）中給出了三十個(gè)有趣的不等式，下面是第30個(gè)不等式的加強(qiáng)與證明。

第30個(gè)不等式：設(shè)[?ABC]的三邊長(zhǎng)、半周長(zhǎng)分別為a，b，c，p，面積為△，則有不等式：[ap-acosB-C4≥23?]；筆者通過(guò)探究，發(fā)現(xiàn)此不等式成立，并可以加強(qiáng)為如下命題。

命題：設(shè)[?ABC]的三邊長(zhǎng)、半周長(zhǎng)分別為a，b，c，p，面積為△，則有不等式：=[b+c2tanA2bc]≥4[tanA2][pp-acosB-C4]≥2[tanπ-A4+tanπ-B4+tanπ-C4][?]，我們先給出如下兩個(gè)引理，引理1 若[?ABC]的面積[≥23?]，為[?]，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c則[a2cos2][B-C2]+[b2cos2A-C2]+[c2cos2A-B2]≥4[tanA2+tanB2+tanC2][?]≥[43?]，證明：設(shè)ha，Wa分別為三角形BC邊上的高和角平分線，那么由熟知的公式：[cosB-C2=haWa]和[Wa=2bcb+ccosA2]可得：

[a2cos2B-C2?=a2-ha2?Wa2=4?Wa2=4b+c2·12bcsinA2bccosA22]

那么有：[1?a2cos2B-C2+b2cos2A-C2+c2cos2A-B2]≥[4tanA2+tanB2+tanC2]≥[43]整理得[a2cos2][B-C2][b2cos2A-C2]+[c2cos2A-B2]≥[4tanA2+tanB2+tanC2]≥[43]，以上過(guò)程用到了熟知的公式[tanA2+tanB2+tanC2≥3]。

引理2：設(shè)a，b，c是[?ABC]的三邊長(zhǎng)，Δ是[?ABC]的面積，記[a1=ab+c-a，b1=ba+c-b，c1=ca+b-c。]那么a1，b1，c1可以或?yàn)橐粋€(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，而且它的面積Δ1等于[?ABC]的面積Δ，a1，b1，c1的對(duì)角分別為[π2-A2，π2-B2，π2-C2]。

不等式30的加強(qiáng)與證明：將引理中的a、b、c、A、B、C用新的三角形的三邊a1，b1，c1及三角A1、B1、C1替換得，[ap-acos2B-C4≥2tanπ-A4+tanπ-B4+tanπ-C4Δ≥23Δ]，所以[ap-acosB-C4≥ap-acos2B-C4≥2tanπ-A4+tanπ-B4+tanπ-C4Δ≥23Δ]，故命題成立.

本文作者通過(guò)對(duì)原不等式的研究，發(fā)現(xiàn)此不等式可以進(jìn)一步推廣，得出更多性質(zhì)，供參考。

參考文獻(xiàn)

[1]黃兆麟.數(shù)學(xué)問(wèn)題解答[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016（3）.

[2]安寧，安振平.數(shù)學(xué)博客，一個(gè)幾何不等式的證明[J].