冪指函數極限和導數的計算方法

張輝 方曉峰 王靜

摘 要：介紹了計算一元和多元冪指函數極限和導數的方法，旨在對冪指函數有更深的理解和掌握。

關鍵詞：冪指函數；極限；導數；對數求導法

冪指函數是高等數學微積分學中一類特殊的函數，如何來計算冪指函數的極限和導數是一難點。本文介紹計算一元冪指函數的極限、導數和多元冪指函數的重極限、偏導數的方法，給出相應的求解思路和重要結論，供初學者參考學習。

一、一元冪指函數[y=uxvxux>0，ux≠1]

1.極限計算

命題1：設[limux]=[A>0]，[limvx]=[B]，則[limuxvx]=[limevxlnux]=[elimvxlnux]=[elimvx·lnux]=[eBlnA]=[AB]=[limuxlimvx]。

命題2：設[limux]=1，[limvx]=[∞]，且[limvxux-1]=[A]，則[limuxvx]=[eA]。

命題3：設[αx]和[βx]是同一自變量趨近過程的無窮小，且[limfx=1]，[αx]～[α'x]，[βx]～[β'x]，若[limfx-1βx]=[A]，[limα'x+11β'x]=[B]，則[limαx+fx1βx]=[BeA]。

特別地，

當[limfx-1βx]=0時，[limαx+fx1βx]=[limα'x+11β'x]。

2.導數計算

方法一：對數求導法。等式兩邊取對數，得[lny=vxlnux]；等式兩邊對x求導，得[y'y=v'xlnux+vxu'xux]；

即[y'=v'xlnux+vxu'xuxuxvx]。

注1：使用對數求導法時注意函數的取值是否為正。

方法二：復合函數求導法。將y的表達式變形為[y=evxlnux]。由復合函數求導法則得，[y'=vxlnux'evxlnux=v'xlnux+vxu'xuxuxvx]。

二、二元冪指函數[z=ux，yvx，yux，y>0，ux，y≠1]

1.重極限計算

命題4：設[limu][x，y]=[A>0]，[limv][x，y]=[B]，

[則limux，yvx，y=AB=limux，ylimvx，y]。

命題5：設[limu][x，y]=[1]，[limv][x，y]=[∞]，且[limv][x，y][ux，y-1]=[A]，則[lim][ux，y][vx，y]=[eA]

2.偏導數計算

方法一：對數求導法。等式兩邊取對數，得[lnz=vx，ylnux，y]；

等式兩邊對x求偏導得，[1zδzδx=δvδxlnux，y+vx，yux，yδuδx]；

即[δzδx=δvδxlnux，y+vx，yux，yδuδxux，yvx，y]。同理可求得[δzδy]。

方法二：二元復合函數求導法。將z的表達式變形為[z=evx，ylnux，y]。由二元復合函數求導法則得，[δzδx=evx，ylnux，yδvx，ylnux，yδx=δvδxlnux，y+vx，yux，yδuδxux，yvx，y]。同理可求得[δzδy]。

注2：對于三元冪指函數[u=ux，y，zvx，y，zux，y，z>0，ux，y，z≠1]類似可求得相關結論。

參考文獻

[1]同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2014：103-104.

[2]張輝，敬斌，李應岐.一個冪指函數極限的計算方法探討[J].數學學習與研究，2017：16.

[3]張輝，李應岐，陳春梅，敬斌.高等數學常見疑難問題解析[J].鄭州師范教育，2014，3（4）：69-71.

基金項目：陜西省教育廳專項科研計劃項目（編號：16JK1696）資助。