正態(tài)分布曲線教學(xué)感悟

洪云

1.正態(tài)分布概念及曲線的引入

正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)中是很常用的分布，它能刻畫很多隨機(jī)現(xiàn)象，由中心極限定理知一個隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量是一種連續(xù)型隨機(jī)變量，離散型隨機(jī)變量最多取可列個不同值，它等于某一特定實(shí)數(shù)的概率可能大于0，人們感興趣的是它取某些特定值的概率，即感興趣的是其分布列；連續(xù)型隨機(jī)變量可能取某個區(qū)間上的任何值，它等于任何一個實(shí)數(shù)的概率都是0，通常感興趣的是它落在某個區(qū)問的概率，離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，而連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布密度函數(shù)曲線描述，高中數(shù)學(xué)2—3介紹幾種常用分布：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布，當(dāng)”充分大時，二項(xiàng)分布可用正態(tài)分布來近似，即二項(xiàng)分布的正態(tài)逼近，因此，在教學(xué)是有必要跟學(xué)生介紹離散型和連續(xù)型分布的區(qū)別與聯(lián)系，

正態(tài)分布密度函數(shù)的推導(dǎo)是十分困難的，教科書采用直接給出正態(tài)分布密度函數(shù)表達(dá)式的方法，這使學(xué)生在很長一段時間里不理解正態(tài)分布的實(shí)際含義，而本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn)及其所表示的意義上，教學(xué)中可采用直觀方法：高爾頓板實(shí)驗(yàn)的方法（可利用計(jì)算機(jī)模擬）引入正態(tài)分布密度曲線，可以幫助學(xué)生理解正態(tài)分布曲線的來源，當(dāng)然，教師要引導(dǎo)學(xué)生，在實(shí)驗(yàn)中，小球到底落到哪個球槽內(nèi)，是很多次與小木塊隨機(jī)碰撞結(jié)果的疊加，并引導(dǎo)學(xué)生觀察小球落到球槽的分布情況，使學(xué)生注意投放一個小球?qū)嶒?yàn)是一個隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，重復(fù)投放”個小球，相當(dāng)于做了”次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率分布直方圖的形狀會越來越像一條鐘形曲線，

2.正態(tài)分布密度曲線及函數(shù)的定義、性質(zhì)

給出正態(tài)曲線圖像后，雖然看上去很美，但教材上是不會說明這個密度函數(shù)是通過什么原理推導(dǎo)出來的，所以學(xué)生會搞不明白數(shù)學(xué)家當(dāng)年是怎么找到這個概率分布，這個概率分布有何重要作用，因此，教學(xué)中，教師可以介紹正態(tài)分布曲線從發(fā)現(xiàn)到被人們重視進(jìn)而廣泛應(yīng)用幾百年的精彩歷史！教材中列舉了許多服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的例子，比如某一地區(qū)同齡人群身高的分布，打靶所中環(huán)數(shù)等，教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析為什么它們都近似服從正態(tài)分布，以加強(qiáng)學(xué)生對隨機(jī)變量產(chǎn)生背景的印象，要的數(shù)學(xué)常量兀，e都出現(xiàn)在這公式中，數(shù)理統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域中這個公式最能讓人感覺到“神”的存在，因?yàn)檫@個分布戴著神秘面紗，在自然界中無處不在，讓你在紛繁蕪雜的數(shù)據(jù)背后看到隱隱的秩序！教師可以結(jié)合研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、某區(qū)間上的最值等方面來分析密度函數(shù)的性質(zhì)，

數(shù)形結(jié)合在正態(tài)曲線的教學(xué)中尤為重要，正態(tài)曲線的特點(diǎn)包括圖像與坐標(biāo)軸之間的關(guān)系、單峰性、對稱性、峰值的位置與大小、圖像與坐標(biāo)橫軸圍成的面積，這里前四個特點(diǎn)都可以根據(jù)函數(shù)曲線的形狀及正態(tài)密度函數(shù)表達(dá)式得到，最后一個需要利用概率的性質(zhì)，教材并沒有給出具體證明，教師可結(jié)合幾何畫板直觀展示兩個參數(shù)u，σ對正態(tài)分布密度曲線位置、形狀的影響，服從正態(tài)分布Ⅳ（u，σ²）的隨機(jī)變量服從3σ原則，

3.全國卷中的正態(tài)分布

在長時間的福建高考數(shù)學(xué)卷中，幾乎沒見正態(tài)分布題目的身影，2016年起，我省高考將恢復(fù)使用全國卷，縱觀近些年全國卷，正態(tài)分布亮相多次，有單獨(dú)知識點(diǎn)考查，也有與其它知識融會貫通，這不得不引起我們的思考、重視，教學(xué)中，要注重解題方法與技巧，

例（2012年高考新課標(biāo)全國卷·理15）某個部件由三個元件按下圖方式連接而成，元件l或者元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從正態(tài)分布Ⅳ（1000，50²），且各個元件能否正常相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的為——，

考點(diǎn)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及其曲線所表示的意義

專題計(jì)算題；基礎(chǔ)題

數(shù)學(xué)思想方法數(shù)形結(jié)合

分析先根據(jù)正態(tài)分布的意義，知三個電子元件 的使用壽命超過1000小時的概率為1/2，所求事件“該

部件的使用壽命超過1000小時”當(dāng)且僅當(dāng)“超過1000小時時，元件l、元件2至少有一個正常”和“超過1000小時時，元件3正常”同時發(fā)生，由于其為獨(dú)立事件，故分布求其概率再相乘即可，

反思本題主要考察了正態(tài)分布的意義，正態(tài)密度曲線的對稱性，獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率運(yùn)算，對立事件的概率運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，

例（2014年高考新課標(biāo)I全國卷·理18）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖，

（I）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差；

考點(diǎn)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及其曲線所表示的意義；離散型隨機(jī)變量的期望與方差，

專題計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)，

數(shù)學(xué)思想方法數(shù)形結(jié)合，

分析由z服從正態(tài)分布Ⅳ（200，150），利用3σ原則求出P，

反思本題主要考察離散型隨機(jī)變量的期望和方差，以及正態(tài)分布的特點(diǎn)及概率求解，考察計(jì)算能力，

4.結(jié)語

著名統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)家C.R.Rao這么說：在終極的分析中，一切知識都是歷史；在抽象的意義下，一切科學(xué)都是數(shù)學(xué)；在理性的世界里，所有的判斷都是統(tǒng)計(jì)學(xué)，如果說，充斥著偶然性的世界是一個紛亂的世界，那么，正態(tài)分布為這個紛亂的世界建立了一定的秩序，使得偶然性現(xiàn)象在數(shù)量上被計(jì)算和預(yù)測稱為可能，高中階段教材對正態(tài)分布介紹有局限，筆者的教學(xué)感悟也是有感而發(fā)，如果正態(tài)分布是一滴水，教師的愿望便是通過有效的教學(xué)，使學(xué)生都能看到它折射出的七彩虹，