基于檢測(cè)行為的牛結(jié)核病動(dòng)力學(xué)模型分析

南瑤瑤，張 磊，侯 強(qiáng)

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 太原 030051)

牛結(jié)核病是由牛型結(jié)核分枝桿菌引起的一種人獸共患的慢性傳染病，在世界范圍內(nèi)廣泛存在。它不僅影響奶牛養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展,更重要的是會(huì)導(dǎo)致交叉感染而使人類的健康受到嚴(yán)重威脅。患牛結(jié)核病的動(dòng)物潛伏期一般為10～45天，有的長(zhǎng)達(dá)數(shù)月或數(shù)年[1]。在潛伏期的染病動(dòng)物是具有傳染性的，而且牛結(jié)核病疫苗對(duì)牛沒(méi)有完全的保護(hù)作用，因此牛結(jié)核病的凈化僅靠免疫是不夠的[2]。目前對(duì)動(dòng)物疫病的防控措施除了免疫接種和消毒，檢測(cè)撲殺也是疫病防控最重要的措施。在已有的研究中，關(guān)于免疫對(duì)動(dòng)物疫病傳播影響的研究較多，理論結(jié)果和應(yīng)用性結(jié)果都取得較大的進(jìn)展[3-6]。關(guān)于檢測(cè)撲殺的動(dòng)力學(xué)模型研究還比較少，已有的研究主要集中在撲殺措施對(duì)具體動(dòng)物疫病傳播的影響方面[4,7]。遺憾的是，在已有的研究中沒(méi)有注意到撲殺前檢測(cè)行為的作用和影響。因此，本文基于牛結(jié)核病傳播的特征，考慮檢測(cè)的真陽(yáng)性率和假陽(yáng)性率，建立時(shí)滯動(dòng)力學(xué)模型，分析模型的穩(wěn)定性和分支情況，研究檢測(cè)行為會(huì)導(dǎo)致哪些復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，并闡述這些現(xiàn)象背后的流行病意義。

1 模型的建立

(1)

其中：A表示單位時(shí)間內(nèi)種群的輸入率；β表示傳染率；μ表示動(dòng)物的淘汰率；φ表示一個(gè)染病個(gè)體引起的檢測(cè)比率；c表示被發(fā)現(xiàn)染病動(dòng)物的捕殺率；m1表示假陽(yáng)性率；m2表示真陽(yáng)性率。

模型(1)的初始條件為

(2)

2 平衡點(diǎn)和基本再生數(shù)

根據(jù)下一代矩陣法，系統(tǒng)的基本再生數(shù)為

(3)

地方病平衡點(diǎn)滿足下面方程：

(4)

當(dāng)Rc>1時(shí)，模型有地方病平衡點(diǎn)：

3 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理2 如果Rc1,無(wú)病平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。

證明模型(1)在無(wú)病平衡點(diǎn)E0處的Jacobian矩陣為

特征方程為：(λ+μ)(λ-βS0+μ)(λ-m1φS0+μ+c)=0。由此可知：λ1=-μ<0。由Rc1，存在正根，無(wú)病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定。

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

對(duì)L關(guān)于模型(1)求導(dǎo)：

特征方程為

(λ-m1φS*e-λτ-m2φI*e-λτ+μ+c)(λ2+λ(-βS*+μ+βI*+μ)+βI*μ-βS*μ+μ2)=0

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

對(duì)L關(guān)于模型(1)求導(dǎo)：

特征方程為λ3+aλ2+bλ+c=0，這里：

(-m1φS*-m2φI*+μ+c)β2S*I*

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

對(duì)L關(guān)于模型(1)求導(dǎo)：

當(dāng)τ>0時(shí)，模型(1)的特征方程為

λ3+a1λ2+a2λ+a3-e-λτ(b1λ2+b2λ+b3)=0

(5)

其中：

b1=m1φS*+m2φI*

考慮純虛根λ=ix,x>0代入特征方程后分離實(shí)部和虛部可得:

a3-a1x2=(b3-b1x2)cosxτ+b2xsinxτ

a2x-x3=b2xcosxτ-(b3-b1x2)sinxτ

(6)

兩端平方相加可得

(7)

(8)

特征方程有純虛根λ=ix,x>0則等價(jià)于f(μ)=0有正根μ=x2。這里容易得到

f′(μ)=3μ2+2M1μ+M2

(9)

解方程(6)可得

證明驗(yàn)證發(fā)生Hopf分支的穿越條件，根據(jù)方程(5)可得

4 數(shù)值模擬和討論

圖1 τ=0

圖3 τ=0.335

圖4 τ=7.5

本文基于牛結(jié)核病傳播和檢測(cè)的具體特點(diǎn)，建立時(shí)間遲滯動(dòng)力學(xué)模型。通過(guò)分析模型，發(fā)現(xiàn)檢測(cè)不會(huì)影響模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，但在檢測(cè)過(guò)程中的時(shí)間遲滯對(duì)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)有顯著影響。周期震蕩行為的出現(xiàn)會(huì)嚴(yán)重影響防控措施的有效執(zhí)行(例如疫病在周期運(yùn)行的最低點(diǎn)，人們會(huì)誤認(rèn)為疫病開(kāi)始消失)。因此，在對(duì)動(dòng)物進(jìn)行檢測(cè)撲殺時(shí)，應(yīng)盡量減少數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)時(shí)間，避免時(shí)間遲滯的影響，使牛結(jié)核病得到更好的控制。

[1] 馬洪寶.牛結(jié)核病診治[J].中國(guó)畜禽種業(yè),2017,13(4):125-126.

[2] 譚偉,謝志勤,謝芝勛.牛結(jié)核病疫苗研究概述[J].中國(guó)奶牛,2014(15):27-32.

[3] BREBAN R,DRAKE J M,STALLKNECHT D E,et al.The role of environmental transmission in recurrent avian influenza epidemics[J].PLoS computational biology,2009,5(4):e1000346.

[4] FERGUSON N M,DONNELLY C A,ANDERSON n R M.The foot-and-mouth epidemic in Great Britain:pattern of spread and impact of interventions[J].Science,2001,292(5519):1155-1160.

[5] ZINSSTAG J,DüRR S,PENNY M,et al.Transmission dynamics and economics of rabies control in dogs and humans in an African city[J].Proceedings of the National Academy of Sciences,2009,106(35):14996-15001.

[6] KEELING M J,GILLIGAN C A.Metapopulation dynamics of bubonic plague[J].Nature,2000,407(6806):903-906.

[7] GULBUDAK H,MARTCHEVA M.Forward hysteresis and backward bifurcation caused by culling in an avian influenza model[J].Mathematical biosciences,2013,246(1):202-212.

[8] BREBAN R.Role of environmental persistence in pathogen transmission:a mathematical modeling approach[J].Mathematical biosciences,2013,66:535-546.

[9] GUO Hongbin,LI Michael Y,SHUAI Zhisheng.Golbal dynamics of a general class of multistage models for infectious diseases,SIAM[J].Applied Mathematics,2012,72(1):261-279.