擴散式樣條最小四階矩算法

周 楠 倪錦根(蘇州大學(xué)電子信息學(xué)院 江蘇 蘇州 215006)

0 引 言

將節(jié)點分布在特定的區(qū)域內(nèi)，且每個節(jié)點跟鄰域內(nèi)的其他節(jié)點存在信息交換的網(wǎng)絡(luò)可稱為分布式網(wǎng)絡(luò)[1]。分布式網(wǎng)絡(luò)在回聲消除、目標定位、生物群體活動建模和圖像傳感器網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域具有重要作用。自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)是指能夠根據(jù)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點分布情況進行訓(xùn)練和自學(xué)習(xí)，并自適應(yīng)地調(diào)節(jié)自身參數(shù)的分布式網(wǎng)絡(luò)[2]。分布式估計算法通常用來對自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的某些感興趣參量進行估計。

分布式估計算法在信號處理領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。近年來提出了幾種分布式估計算法，如擴散式符號誤差最小均方算法(DSE-LMS)[3]、分布式仿射投影符號算法(DAPSA)[4]、分布式子帶自適應(yīng)濾波算法(DSAF)[5]、分布式符號子帶自適應(yīng)濾波算法(DASAF)[6-7]、分布式最小四階矩自適應(yīng)算法(DLMF)[8]等。對于線性未知系統(tǒng)，上述分布式估計算法能夠獲得很好的性能，但是當未知系統(tǒng)的期望信號存在非線性失真時，上述算法的穩(wěn)態(tài)失調(diào)較大。為了解決這一問題，文獻[9]提出了擴散式樣條最小均方算法(簡記為DSLMS)，該算法對高斯噪聲環(huán)境中的自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)具有較好地估計性能。然而，當網(wǎng)絡(luò)中存在一些非高斯的大方差加性噪聲時，算法產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)失調(diào)較大。

本文首先定義節(jié)點誤差的p階矩代價函數(shù)，然后通過隨機梯度法來最小化該代價函數(shù)，從而推出一般形式的擴散式樣條自適應(yīng)算法。當p為4時，可得擴散式樣條四階矩算法。仿真結(jié)果表明，與擴散式樣條最小均方算法，該算法對均勻和二元噪聲等功率較大的非高斯環(huán)境噪聲具有更低的穩(wěn)態(tài)失調(diào)。

1 分布式網(wǎng)絡(luò)模型

自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點連接方式可以用網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)來表示。常用的自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)連接方式主要有遞增式、擴散式和概率分布式三種[1]。在遞增式拓撲結(jié)構(gòu)中，每個節(jié)點包含的信息必須按順序從一個節(jié)點傳遞到與之相鄰的下一個節(jié)點，最終形成一個閉合的通信環(huán)；在擴散式拓撲結(jié)構(gòu)中，每個節(jié)點與其鄰域內(nèi)的多個節(jié)點進行通信；在概率分布式拓撲結(jié)構(gòu)中，每個節(jié)點是以一定的概率相連接，同樣地與鄰域內(nèi)的節(jié)點進行通信。目前，擴散式拓撲結(jié)構(gòu)應(yīng)用最為廣泛，本文算法也采用擴散式拓撲結(jié)構(gòu)。

如圖1所示的擴散式網(wǎng)絡(luò)，各節(jié)點通過信息傳遞和自適應(yīng)迭代的方式對包含N個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)中的未知向量wo進行估計。節(jié)點k在n時刻的輸入向量為xk,n=[xk(n),xk(n-1),…,xk(n-M+1)]T，其中M表示濾波器的抽頭系數(shù)。在包含非線性失真的自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中，期望信號可以表達為:

(1)

式中：νk(n)表示節(jié)點k受到的環(huán)境噪聲，f(·)表示非線性失真函數(shù)。

圖1 擴散式拓撲結(jié)構(gòu)

2 算法推導(dǎo)

在擴散式樣條算法中，每個節(jié)點采用一個樣條自適應(yīng)濾波器，其結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示[10-11]。

圖2 擴散式網(wǎng)絡(luò)節(jié)點采用的樣條自適應(yīng)濾波器框圖

采用擴散式樣條算法對未知系統(tǒng)進行估計時，在節(jié)點k先將輸入信號通過自適應(yīng)濾波器，得到線性輸出為[10]：

(2)

(3)

(4)

(5)

式中:B是樣條基矩陣[12]。定義誤差信號的p階矩為:

(6)

對第k個節(jié)點的n時刻抽頭系數(shù)向量求導(dǎo)可得:

(7)

(8)

對第k個節(jié)點的n時刻控制點向量qk,i,n求梯度可得:

(9)

(10)

研究表明，擴散式自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)使用“自適應(yīng)-聯(lián)合”(ATC)策略能夠獲得更低的穩(wěn)態(tài)失調(diào)[1]。將ATC策略和最速下降法應(yīng)用于樣條自適應(yīng)濾波器，可得:

(11)

(12)

(13)

(14)

以上兩式為擴散式樣條最小四階矩(DSLMF)算法權(quán)值向量和控制點向量的迭代公式。

3 仿真實驗

圖3 擴散式的網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)

圖4 未知控制點分布情況

圖5 節(jié)點輸入信號、均勻噪聲和二元噪聲的方差

以白噪聲作為輸入，均勻噪聲和二元噪聲作為環(huán)境噪聲的情況下，DSLMF和DSLMS的網(wǎng)絡(luò)均方偏差曲線分別如圖6和圖7；為了在相同收斂速度條件下比較失調(diào)問題，步長分別取為0.002和0.000 02，圖7中DSLMS和DSLMF的步長分別取為0.002和0.000 015。

圖6 DSLMS和DSLMF的網(wǎng)絡(luò)均方偏差曲線，輸入信號為白噪聲，環(huán)境噪聲為均勻加性噪聲

圖7 DSLMS和DSLMF的網(wǎng)絡(luò)均方偏差曲線，輸入信號為白噪聲，環(huán)境噪聲為二元加性噪聲

從圖6和圖7可以看出，無論是均勻還是二元環(huán)境噪聲，DSLMF都比DSLMS具有更低的穩(wěn)態(tài)失調(diào)。圖8和圖9將輸入信號換成有色信號。由圖可見，在有色信號輸入下，DSLMF算法在較大的均勻或二元噪聲干擾下，其穩(wěn)態(tài)失調(diào)仍然優(yōu)于DSLMS算法。

圖8 DSLMS和DSLMF的網(wǎng)絡(luò)均方偏差曲線，輸入信號為有色，環(huán)境噪聲為均勻加性噪聲

圖9 DSLMS和DSLMF的網(wǎng)絡(luò)均方偏差曲線，輸入信號為有色，環(huán)境噪聲為二元加性噪聲

4 結(jié) 語

本文通過最小化p階矩代價函數(shù)，運用梯度下降法，推出了一種擴散式樣條自適應(yīng)算法。當p取不同的整數(shù)時，可得到不同的算法。仿真結(jié)果表明，在較大的均勻噪聲或二元噪聲環(huán)境中，采用擴散式樣條最小四階矩算法具有很低的穩(wěn)態(tài)失調(diào)。

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