包含Chebyshev多項式的r-循環矩陣的譜范數

師白娟

(西北大學 數學學院, 陜西 西安 710127)

1 引言及預備知識

對任意n≥0,著名的第一、二類切比雪夫多項式Tn(x)和Un(x)的定義如下:

顯然Tn(x)和Un(x)是二階線性遞推多項式,并且滿足遞推公式:

Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x),n≥1,

T0(x)=1,T1(x)=x,

T2(x)=2x2-1,T3(x)=4x3-3x;

Un+1(x)=2xUn(x)-Un-1(x),n≥1,

U0(x)=1,U1(x)=2x,

U2(x)=4x2-1,U3(x)=8x3-4x.

{Tn(x)}和{Un(x)}的通項公式為:

受上述文獻的啟發,研究包含第一類Chebyshev多項式和第二類Chebyshev多項式的r-循環矩陣的譜范數和Euclidean范數.

定義1.1矩陣A=(aij)∈Mm×n的歐幾里得范數與譜范數定義為:

其中,λi是矩陣AHA的特征值,矩陣AH是矩陣A的共軛轉置矩陣.

下面有關矩陣A的歐幾里得范數與譜范數的不等式成立[6]:

(1)

(2)

引理1.1[7]設矩陣A和B是2個m×n矩陣,那么

‖A°B‖2≤‖A‖2‖B‖2,

其中A°B是A和B的Hadamard積.

引理1.2[7]設A和B是2個m×n矩陣,那么

‖A°B‖2≤r1(A)c1(B),

其中

引理1.3當1-x2≠0時,

證明

2 主要結論

(i) 如果|r|≥1,那么

(ii) 如果|r|<1,那么

‖An‖2是矩陣An的譜范數,其中

證明

由譜范數定義可得

(i) 當|r|≥1,由引理1.3有

n+n(K1-1)=nK1.

因此

另一方面,設矩陣B和C為:

則An=B°C有

因此

(ii) 當|r|<1時,

‖An‖E=

因此

另一方面,對矩陣B和C有

因此

綜上

推論2.1設D=LDr(Tn-1(x),Tn-2(x),Tn-3(x),…,T1(x),T0(x))是r-左循環矩陣,則有:

(i) 如果|r|≥1,那么

(ii) 如果|r|<1,那么

‖Dn‖2是矩陣Dn的譜范數,其中

證明方法與上面相同,并有相同結果.

定理2.2設n×n矩陣

Circr(U0(x),U1(x),…,Un-1(x))∈Mn

是r-循環矩陣,則有:

(i) 如果|r|≥1,那么

(ii) 如果|r|<1,那么

‖On‖2是矩陣On的譜范數,其中

證明

由譜范數定義可得

(i) 當|r|≥1,由引理1.3有

因此

另一方面,設矩陣P和Q分別為:

則On=P°Q,

因此

(ii) 當|r|<1時,

n+n|r|2(K2-1).

因此

另一方面,對矩陣P和Q有

因此

推論2.2設E=LEr(Un-1(x),Un-2(x),…,U1(x),U0(x))是r-左循環矩陣,則有：

(i) 如果|r|≥1,那么

(ii) 如果|r|<1,那么

‖En‖2是矩陣En的譜范數,其中

證明方法與定理2.2證明相同,結果相同.

因此證明了所有的結論,當r=1時，可以得到Chebyshev多項式的關于循環矩陣的譜范數的上下界估計.同樣的方法適用于所有的線性遞推數列或多項式.

[1] AKBULAK M, BOZKURT D. On the norms of Toeplitz matrices involving Fibonacci and Lucas numbers[J]. Hacettepe J Math Statistics,2008,37(2):89-95.

[2] AKBULAK M, BOZKURT D. On the norms of Hankel matrices involving Fibonacci and Lucas numbers[J]. Selcuk J Appl Math,2008,9(2):45-52.

[3] SOLAK S. On the norms of circulant matrices with Fibonacci and Lucas numbers[J]. Appl Math Comput,2005,37(1):125-132.

[4] GüNG?R A D. Lower bounds for the norms of Cauchy-Toeplitz and Cauchy-Hankel matrices[J]. Appl Math Comput,2004,157(3):599-604.

[5] SOLAK S, BOZKURT D. On the spectral norm of Cauchy-Toeplitz and Cauchy-Hankel matrices[J]. Appl Math Comput,2003,140(2):231-238.

[6] SHEN S Q, CEN J M. On the norms of circulant matrices with the (k,h)-Fibonacci and (k,h)-Lucas numbers[J]. Int J Contemp Math Science,2011(6):887-894.

[7] HORN R A, JOHNSON C R. Topic in Matrix Analysis[M]. Cambridge:Cambridge University Press,1991.

[8] GRAHAM R L, KNUTH D E, PATASHNLK O. Concrete Mathematics[M]. 2nd ed. Reading:Addison-Wesley,1994.

[9] FATIH Y, DURMUS B. Hessenberg matrices and the Pell and Perrin numbers[J]. J Number Theory,2011,131(8):1390-1396.

[10] PREDRAG S, JOVANA N IVAN. S. A generalization of Fibonacci and Lucas matrices[J]. Discret Appl Math,2008,156(14):2606-2619.

[11] ZHANG Z, ZHANG Y. The Lucas matrix and some combinatorial identities[J]. Indian J Pure Appl Math,2007,38(5):457-465.

[12] MILADINOVI M, PREDRAG S. Singular case of generalized Fibonacci and Lucas matrices[J]. J Korean Math Soc,2011,48(1):33-48.

[13] 何承源. 循環矩陣的一些性質[J]. 數學的實踐與認識,2001,31(2):211-216.

[14] 何承源. 對稱反循環矩陣的充要條件[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2011,34(3):422-426.

[15] 師白娟. 包含Chebyshev多項式的循環矩陣行列式的計算[J]. 純粹數學與應用數學,2016,32(3):22-30.