非隨機過程的地震激勵下埋地壓力管道的非概率可靠性分析*

張 鵬，王藝環(huán)，秦國晉

(1.西南石油大學 土木工程與建筑學院，四川 成都 610500；2. 西南石油大學 機電工程學院，四川 成都 610500)

0 引言

21世紀是地震頻發(fā)的年代，長輸埋地管道作為重要的生命線工程，在地震發(fā)生時的破壞，會帶來嚴重的經濟損失，甚至引發(fā)一系列次生災害。管道作為1種結構形式，在進行抗震分析時，首要考慮的就是適當的地震動模型以及輸入方式。相關研究表明，不同地震動模型會使得結構的反應變化呈現明顯差異。隨機振動是1門用概率與統計方法來研究受隨機載荷結構系統的穩(wěn)定性、響應、識別及可靠性的技術學科[1]，經典的隨機振動理論是1種基于數學分析的體系，但在工程分析中無論是線性或非線性的結構都難以得出解析解，且計算工作量巨大[2]。在很多實際工程問題中獲得樣本需要巨額成本或者根本不可能獲得足夠樣本信息。因此，以概率模型為基礎的概率可靠性分析，通常需引入一些專家概率分布的假設;但對于傳統的隨機振動而言，概率分布相對于真實值只有微小的偏差都可能導致很大的分析誤差[3]。針對地震信息記錄客觀因素限制所導致的地震實際激勵信息樣本十分有限，劉寧宇[4]建立了基于非概率凸模型過程理論描述傳統隨機過程的非隨機振動分析方法，解決了樣本信息缺乏的不確定振動分析。

傳統的可靠性分析是基于大數據支持下的概率分析，但實際工程中基于專家經驗的函數分布建立，帶有較強的主觀性；設計階段的可靠度分析，結構參數也只能假定其分布規(guī)律；而復雜的結構分析不能以1個數學分布函數來描述。為了解決工程上的小樣本、貧信息以及設計階段參數問題，上世紀90年代初，Ben-Haim和Elishakoff將非概率凸模型理論引入到不確定分析中，并首次提出了非概率可靠性方法[5-7]；歐進萍等[8-10]則提出了模糊隨機振動理論并用于地震荷載作用下具有模糊信息結構的隨機動力可靠性分析。與模糊數學對不確定樣本信息模糊化思想相似，非概率的集合理論凸方法僅需知道任意時刻的樣本邊界信息而非精確概率分布函數，因此在處理非精確概率分布的隨機變量問題時表現出一定優(yōu)越性，而一維的凸模型為區(qū)間模型。Zhan等[11]基于多橢球凸模型描述了不確定但有界的變量，提出了1種用于安全邊緣量化的非概率可靠性指標的數學定義;Guo等[12]對比了參數不確定但有界結構振動控制的非概率可靠性方法和基于可靠性的設計;在對壓力管道進行可靠性分析時，邵世飛等[13]為了彌補管道數據的不確定信息，運用非概率可靠性方法評價了壓力管道的非概率指標。

綜上，凸模型理論為僅有小樣本數據的實際工程中關于隨機振動分析以及可靠性設計提供了新的研究思路，并成為隨機過程和概率可靠性理論的補充。

1 非隨機過程

1.1 非隨機過程定義

傳統的隨機過程是指定義于1個參數集的每一點處都有相對應的隨機變量，其數值的大小是隨著時間不斷變化的。事物變化的全過程進行1次觀測得到的結果是1個時間t的函數[14]。非概率凸模型過程描述不確定性激勵，而非隨機過程利用凸模型過程描述。

凸模型過程定義為：

任意時刻ti∈T，i=1，2，…，n。

X(ti)=[XL，XR]，且(X(t1)，X(t2)，…X(ti))的聯合分布區(qū)域為1個凸集。

不確定過程X(t)的所有可能的類型和形狀都將包含在上邊界和下邊界組成的區(qū)域內。如圖1所示。

圖1 凸模型過程Fig.1 Convex model process

一維凸模型為區(qū)間模型。當X(t)為一維區(qū)間數時，XL(t),XU(t) ∈R，則X(t)=[XL(t)，XU(t)]，則X為區(qū)間數[15]。

模型的幾何特征可由中點和半徑描述：

式中：XC(t)為中值函數，表示時間的變化趨勢；XR(t)為半徑函數，表示變化的幅度；ηx為變異系數函數，表示不確定水平[5]。

非隨機過程可分為：中值恒定、半徑恒定、變異系數恒定。分別如圖2、圖3和圖4所示。

圖2 中值恒定的非隨機過程Fig.2 Median constant’s non-random process

圖3 半徑恒定的非隨機過程Fig.3 Constant radius’s non-random process

圖4 變異系數恒定的非隨機過程Fig.4 Non-random process with constant coefficient of variation

1.2 地震荷載的非平穩(wěn)非隨機過程模型

實際地震動的非平穩(wěn)性表現為強度和頻率的非平穩(wěn)性[16]。大多數工程僅將地震荷載作為平穩(wěn)隨機過程與一個強度包絡函數的乘積來反應地震荷載強度的非平穩(wěn)性。

A(t)=g(t)X(t)

(1)

式中：g(t) 為強度包絡函數；X(t)為利用區(qū)間理論處理后的平穩(wěn)隨機過程。

在工程抗震中常選用下面的強度包絡函數g(t)為[17]：

(2)

式中：c為衰減系數；選值參見文獻[18]；t1為主震平穩(wěn)段開始時刻;t2為主震平穩(wěn)段結束時刻。t1，t2選值如表1所示。

表1 主震時間Table 1 Main time of earthquake

平穩(wěn)非隨機區(qū)間過程X(t)的模型為[4]：

(3)

式中：XR(t)為半徑函數；K1為常數；XC(t)為中值函數；K2為常數；rXX(t1,t2)為自相關函數，與時間差|t2-t1|相關，與t1與t2的值無關。

2 埋地管道的動力分析

2.1 埋地管道的應力分析

大量研究表明[19-20]，埋地管道在遭受地震荷載的時候，軸向受力影響遠遠大于橫向影響，故本文僅考慮管道在軸向抗震問題。根據非隨機振動分析方法[21]，當隨機過程被處理為區(qū)間過程，則結構的響應也應該為有上、下界的區(qū)間形式。

國內外研究表明[22-23]，地震荷載作用下埋地管道的軸向變形大大超過彎曲變形，故本文僅討論管道軸向動力響應。

2.1.1 基本假定

作以下假設：

1)假定沿管道的場地條件以及土體參數均不變。

2) 與地基土阻尼相比管道阻尼極小，可忽略其本身的材料阻尼。

3)管道周圍的土體簡化為連續(xù)均勻分布的阻尼器和彈簧，如圖5所示。

圖5 埋地管道簡化示意Fig.5 Buried pipeline’s simplified diagram

2.1.2 動力方程的建立及求解

建立管道在地震作用下的軸向動力方程為：

(4)

式中：m為管道的質量；u(t)為管道的軸向位移；c為管道周圍介質的阻尼系數；k為管道周圍的剛度系數；K為管道的軸向剛度；ug(t)為場地在地震作用下的軸向位移。

根據屈鐵軍等[24]研究結果，管道的軸向位移為場地位移引起的靜態(tài)位移uS(t)和管道的慣性與阻尼引起的動態(tài)位移uD(t)2部分組成。令：

(5)

式中：x為所求地點的位置坐標；l為所選取管道長度；qi(t)為廣義坐標。

根據振型分解法求得[24]：

(6)

(7)

(8)

有關研究表明[25]，內力分析時，動態(tài)位移遠小于擬靜態(tài)位移。因此本文忽略管道的動態(tài)反應。根據式(5)-(8)，可以得出管道在地震作用下的軸向位移通式為：

(9)

(10)

再根據σ=εE可得管道的應力σ：

(11)

2.2 埋地壓力管道的動力響應分析

當埋地管道僅受內壓作用時，用圓柱殼彈性理論求解管道的應力狀態(tài)[26]，則：

(12)

式中：t為管道任意位置當前壁厚；D為管道直徑；E為彈性模量；ν為泊松比；P為內壓；w為管壁上任意點的徑向位移，是軸向坐標x的函數。

在x=0時，周向應力σφ最大，由上式可得：

(13)

埋地長輸管線受土壤的阻力而不能自由伸長，造成泊松應力，如圖6所示。

圖6 壓力管道受力Fig.6 Pressure pipeline’s stress diagram

軸向應力σx可描述為：

(14)

式中：ν為泊松比，本文取0.3。

2.3 隨機時空地震荷載的埋地壓力管道的動力響應

由2.2節(jié)可知，埋地壓力管道僅在壓力作用下會產生周向應力σφ和軸向應力σx，那么，當軸向應力σx與地震荷載下管道軸向應力σe共同作用時，管道軸向應力σ1為：

σ1=σx+σe

(15)

當軸向應力σx，周向應力σφ，徑向應力σr與地震荷載下管道軸向應力σe共同作用時，如圖6所示，利用von-Mises屈服條件得管道應力σs為：

2σs2=(σ1-σφ)2+(σφ-σr)2+(σ1-σr)2

(16)

因管道為薄壁構件，徑向應力可忽略不計，即：

σr=0

(17)

因上述3個截面內無剪力，故σφ，σx，σr分別為3個主應力。則：

(18)

因此，由式(13)、式(15)可得，σs為：

(19)

3 非概率可靠性

3.1 區(qū)間可靠性

設結構的功能函數Z為

Z=R-SZ=g(x)=g(x1,x2,…,xn)

(20)

式中：R代表結構抗力；S代表載荷作用效應。當Z>0時，結構是安全的；當Z<0時，結構是失效的；當Z=0，代表結構處于極限狀態(tài)。對不確定參數進行區(qū)間處理，設不確定參數x=[a,b]，則利用區(qū)間中點xC和區(qū)間半徑xR來反映模型的幾何特征：

對參數進行標準化變換：

κ=xC+xRγ

(21)

式中：γ為標準化的區(qū)間變量。

代入功能方程式(20)可得：

Z=RRγR-SRγS+(RC+SC)

(22)

式中：RR為應力的區(qū)間半徑；SR為強度的區(qū)間半徑；RC為應力的區(qū)間中點；SC為強度的區(qū)間中點。

當Z為線性或非線性功能函數時，β的物理意義為標準化區(qū)間變量的擴展空間里，以無窮范數‖‖∞度量從坐標原點到失效面的最短距離。

基于區(qū)間模型的非概率可靠指標β定義為：

(23)

式中：ZC為功能函數中點；ZR為功能函數半徑。

3.2 埋地壓力管道非概率可靠性模型

埋地壓力管道的極限狀態(tài)功能函數一般形式為：

Z=g(x)=g(x1,x2,…,xn)

(24)

對于埋地壓力管道在非隨機過程地震荷載下的極限狀態(tài)功能函數為：

Z(t)=σr-σs(t)

(25)

式中：σr為埋地壓力管道的極限應力值；σs(t)為埋地壓力管道隨時間變化的應力值。

將其中的不確定參數處理為區(qū)間模型，則根據區(qū)間運算的性質[27]，則功能函數Z為Z=[ZL,ZR]。

式中：ZR為區(qū)間變量的上界；ZL為區(qū)間變量的下界。

利用非可靠性理論，可定義管道的非概率可靠性指標為：

(26)

當非概率可靠性指標β>1時，則Z>0，此時結構安全可靠；當1<β<1時，則Z>0或著Z<0都有可能，則結構可能安全可能失效，從工程實際上認為，此種情況結構不可靠；當β<1時，則Z<0，此時結構失效[28]。而利用β的值可以評價管道的安全程度，β的值越大就表明管道的安全程度越高。

4 非隨機過程下壓力埋地管道應力強度分析

本文以某成品油管道為例，分析其在非隨機過程下的應力強度，并進行非概率可靠性分析。參考文獻[24]，選取該管段中的200 m進行分析。管徑為457 mm，管材為X60，設計壓力為10 MPa，標稱壁厚為8.7 mm，彈性模量為207 GPa，泊松比為0.3，屈服應力區(qū)間為[389，423] MPa，剪切波速取為283 m/s2，管道的軸向剛度為1.28×109N/m2，周圍介質的剛度為9.52×107N/m2，場地土的加速度區(qū)間為[-4.671，3.417] m/s2。此時為平穩(wěn)區(qū)間過程，XR(t)為0.627 m/s2，XC(t)為4.044 m/s2。在很多實際問題中，激勵的解析表達式難以獲得，故本文以埋地管道為例提出求解場地位移的方法作為場地軸向位移的依據，即：

根據GB 50470-2008《油氣輸送管道線路工程抗震技術規(guī)范》[29]。

當只考慮一維運動時，假定地震波為剪切波，即：

(27)

式中：Tg為地震動反應譜特征周期，根據現行國家標準《中國地震動參數區(qū)劃圖》(GB 18306)獲取。

土體中將其進行非平穩(wěn)化可得：

(28)

C參照文獻[18]統計分析取值，C=0.3；t1=5 s；t2=10 s。

則載荷的非平穩(wěn)隨機過程如圖7所示：

圖7 地震荷載的非平穩(wěn)區(qū)間過程Fig.7 Non-stationary interval process for earthquake load

則場地位移的區(qū)間為：

(29)

根據文獻[30]，該函數為非線性關系，即需建立數學優(yōu)化模型求解此函數的上、下界：

(30)

s.t. -0.03≤ug≤0.02

根據式(30)，利用優(yōu)化工具，求解出，地震作用下應力區(qū)間[-31.05，20.70] MPa，根據第四強度理論，可得[229.63，242.28] MPa。

參數的區(qū)間數為：

xC=235.96;xR=6.33

即可建立功能函數：

Z=σr-σs

(31)

將其標準化為：

Z=17γr-6.33γs+170.05

區(qū)間非概率可靠性指標為：β=7.29>>1。

區(qū)間可靠性模型計算的非概率指標大于1，即結構的失效域和安全域不相交，如圖8。說明該結構可靠，且無量綱的β越大，結構的安全程度越高。

圖8 位移區(qū)間Fig.8 Displacement’s interval chart

5 有限元模擬

5.1 基本參數

本文以Abaqus作為有限元計算軟件。采用非線性的面-面接觸來建立管土相互作用三維有限元模型，剛度大的管道外壁選為主表面，剛度小的土體選為從表面，法向接觸行為采用“罰”接觸，摩擦系數選用0.5。管道由實體單元模擬，埋深為3 m。土體由實體單元模擬，本構關系為Drucker-Prager(D-P)模型。材料基本參數見表2。

表2 材料基本參數Table 2 Material’s basic parameters

5.2 有限元模型

模型中管道遠端僅約束軸向位移。土體施加載荷的兩對稱表面、上表面自由，其他面均為對稱約束。選用8節(jié)點線性六面體減縮積分單元(C3D8R)[31]。模型的網格劃分如圖9所示。

圖9 網格劃分Fig.9 Divide grid diagram

圖10 上邊界載荷下的von-MisesFig.10 Von-Mises diagram under upper boundary load

圖11 下邊界載荷下的von-MisesFig.11 Von-Mises diagram under lower boundary load

有限元分析結果表明，基于實際工程中地震貧數據的情況，對地震荷載進行非平穩(wěn)性區(qū)間過程(非隨機過程)的處理是合理的，且是針對地震荷載的隨機過程的補充。

6 結論

1) 在只有小樣本的工程地震分析中，建立了非平穩(wěn)區(qū)間過程的地震荷載。這對于實際工程設計來說，建立地震荷載響應邊界更易于隨機振動分析在工程上的推廣。

2) 利用管道動力求解中的級數解法簡化了地震作用下埋地管道的動力特性的求解。

3) 在無法建立概率密度函數和隸屬函數函數的情況下，即傳統的概率可靠性分析結果不可信的前提下，建立了以埋地壓力管道的非概率凸集合可靠性分析的模型。

4) 利用凸模型理論得出埋地壓力管道在非平穩(wěn)區(qū)間過程激勵下的非概率可靠性指標，是對管道結構的概率可靠性分析的補充，為建立長輸成品油管道在非隨機荷載作用下的非概率可靠性分析奠定了基礎，對于結構評估及可靠性設計具有重要的工程意義。

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