梯形區(qū)間二型模糊群決策發(fā)生算法及其綜合比較法

邵小十,王鐵旦,彭定洪

(昆明理工大學(xué) 質(zhì)量發(fā)展研究院,昆明 650093)

1 引 言

信息爆炸和信息碎片化使得人類思維和客觀現(xiàn)實的復(fù)雜性急劇增加,進而增加了實際決策的復(fù)雜性.這種情況下,個體信息及知識儲量的局限性尤為凸顯,難以做到?jīng)Q策科學(xué)化,而群體決策則可以以集體智慧突破個體決策的局限性,得以廣泛運用.尤其在決策支持信息較少的前瞻性決策過程中,需要借助群體的不同專業(yè)背景、不同閱歷經(jīng)驗,綜合考量每一個人提出的潛在可能情況,進而得到可信度與可靠度更高、風(fēng)險更小的決策結(jié)果.因此,群體決策準則值往往帶有模糊不確定性,難以給出具體數(shù)值,而采用模糊數(shù)方法評判決策對象能夠得到較好的決策效果.近年來,隨著隸屬函數(shù)概念的拓展和延伸,相較一型模糊數(shù),二型模糊的隸屬函數(shù)能夠更好地刻畫數(shù)據(jù)的模糊不確定性,得到更加精確和健壯的結(jié)果[1].其中,針對高度不確定的現(xiàn)實環(huán)境,梯形區(qū)間二型模糊(IT2 TF,Interval Type-2 Trapezoidal Fuzzy)的隸屬函數(shù)更加符合實際決策情況,因此能夠得到更加科學(xué)、更加穩(wěn)健的結(jié)果.

到目前為止,利用區(qū)間二型模糊數(shù)的隸屬函數(shù)解決多準則決策問題的研究很少.Chen[2]提出根據(jù)隸屬函數(shù)的高度和廣度排序一般模糊數(shù)并以此進行決策,但該方法僅適用于對一型模糊隸屬函數(shù)的研究上.Chen[3]提出利用二型模糊上下隸屬函數(shù)邊界值的均值構(gòu)造得分函數(shù),再結(jié)合TOPSIS方法進行最優(yōu)決策.相較前一種方法,后一種方法因引入了二型模糊使其在處理多準則決策問題時更加靈活、有效[4],故Chen[5]再次將此方法進行改進用以解決多準則群體決策問題.Chen[6]引入截集理論提出新的隸屬函數(shù)面積求解法用以解決多準則決策問題.Chen[7]提出以隸屬函數(shù)到縱軸的距離作為距離測度的QUALIFLEX決策方法.Heidarzade[8]提出以聚合二型模糊足跡區(qū)域面積作為距離測度的供應(yīng)商選擇方法.Kahraman[9]根據(jù)上下隸屬函數(shù)的最大值、最小值和隸屬度最高值六個點構(gòu)造得分函數(shù)并結(jié)合AHP理論進行排序.Keshavarz[10]提出一種改進的質(zhì)心間距離算法結(jié)合VIKOR方法解決多準則群體決策機器人選擇問題.Qin[11]將二型模糊的邊界點與多種聚合算子相結(jié)合,得到混合排序值以解決多準則群體決策問題.

縱觀模糊決策的相關(guān)文獻,其核心問題就是解決對模糊數(shù)的排序問題,排序的結(jié)果對應(yīng)著決策方案的優(yōu)劣.其中,隸屬函數(shù)對模糊數(shù)起著決定性的意義[12].然而,現(xiàn)行的決策方法都是基于對隸屬函數(shù)的隱性運用,很少有針對隸屬函數(shù)進行研究的決策方法.利用模糊數(shù)的隸屬函數(shù)表達決策中模糊不確定性信息的方法多停留在對隸屬函數(shù)整體的比較上,或研究整體的重心、或研究整體的面積(包括對二型模糊足跡區(qū)域的研究,或?qū)ι想`屬函數(shù)與x軸所轄區(qū)域的研究).無論哪種方法都會混合或模糊了隸屬函數(shù)所表示的隸屬程度與其模糊不確定性信息之間的關(guān)系,導(dǎo)致無法充分利用隸屬函數(shù)的高隸屬信息和模糊不確定性信息,難以解決高度不確定環(huán)境和群體決策需求的沖突,使得決策結(jié)果難以符合現(xiàn)實要求,直接影響了決策結(jié)果的科學(xué)性和有效性,失去了引入模糊數(shù)的核心優(yōu)勢.因此,只有從隸屬函數(shù)角度入手,深刻分析隸屬函數(shù)的內(nèi)涵和原理,才能充分利用其包含的數(shù)據(jù),完成對模糊不確定信息的處理.

關(guān)于二型模糊數(shù)隸屬函數(shù),Mendel J.M.等針對其內(nèi)涵和原理進行了一系列研究,文獻[13]利用區(qū)間二型模糊隸屬函數(shù)與加權(quán)平均聚合算子的結(jié)合進行語言的編碼與解碼,文獻[14]中討論了質(zhì)心降型二型模糊數(shù)與隸屬函數(shù)之間的關(guān)系,文獻[12]中給出了隸屬函數(shù)相關(guān)定義和符號的澄清和補充說明.

基于上述文獻的研究,本文重點研究隸屬函數(shù)的內(nèi)涵和原理,并結(jié)合聚合算子[15]、截集理論[6]、幾何原理[16]等方法,以充分挖掘和利用隸屬函數(shù)中的相關(guān)信息,構(gòu)建群決策發(fā)生算法,提出梯形區(qū)間二型模糊隸屬函數(shù)綜合比較法,發(fā)揮出梯形區(qū)間二型模糊在解決多準則群體決策問題中的優(yōu)勢.最后通過實例分析驗證了本文方法的科學(xué)性和有效性.

2 基礎(chǔ)理論

2.1 梯形區(qū)間二型模糊

自1965年Zadeh L.A.提出模糊理論[17]以來,數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究范圍由精確現(xiàn)象領(lǐng)域擴大到模糊現(xiàn)象領(lǐng)域[18],尤其是模糊理論在包含人類復(fù)雜判斷的模糊不確定環(huán)境下的相關(guān)決策問題中的應(yīng)用,提高了客觀數(shù)據(jù)與人類實際決策活動間的契合度,更加全面真實的反映出人類群體決策活動中的模糊不確定性,進而提高了群體決策研究結(jié)果的精確度.其中,梯形區(qū)間二型模糊既體現(xiàn)出高隸屬程度的范圍又記錄下模糊不確定的隸屬情況,是模糊數(shù)理論中反映人類活動模糊不確定性能力最強的一種數(shù)據(jù)形式,因此本文基于梯形區(qū)間二型模糊對多準則群決策方法進行研究.

現(xiàn)對梯形區(qū)間二型模糊的核心內(nèi)容和相關(guān)定義進行簡要說明,如定義1,2,3所示.

?u∈Jx?[0,1]}

(1)

(2)

(3)

圖1 梯形區(qū)間二型模糊數(shù)Fig.1 Interval Type-2 trapezoidal fuzzy Number

定義3.[2]梯形區(qū)間二型模糊(IT2 TFS,interval type-2 trapezoidal fuzzy set)參數(shù)表達式為

(4)

在梯形區(qū)間二型模糊數(shù)中,根據(jù)其參數(shù)形式可得到各頂點坐標,進而可轉(zhuǎn)換成隸屬函數(shù)的線性表達式.因此,IT2 TFS隸屬函數(shù)的參數(shù)形式與函數(shù)形式之間的轉(zhuǎn)換滿足不確定性表達準則的同等表達性,本文中為便于計算,采用其參數(shù)形式.

2.2 梯形重心公式

重心(Center of gravity,COG)是最具代表性的圖形特性之一,因此常作為圖形相似性的關(guān)鍵指標.傳統(tǒng)的方法皆應(yīng)用重心處理整體隸屬函數(shù),既沒有充分發(fā)揮出重心在區(qū)別模糊等級中所具有的代表性,又存在對隸屬函數(shù)中模糊不確定性的處理缺乏針對性而粗糙失準的問題.為此,本文針對高隸屬區(qū)域采用重心法進行處理,既充分發(fā)揮了重心的代表性含義,又能規(guī)避粗糙失準的問題.

鑒于本文應(yīng)用重心比較模糊數(shù)的方法與傳統(tǒng)方法不同,故在此加以簡要說明.依據(jù)文獻[16]所述重心求解原理,本文推算出基于二維向量和線性方程的一般梯形的重心求解方法.

假設(shè)一般梯形ABCD,其四個頂點坐標為A(a,h1)、B(b,h2)、C(c,h2)、D(a,h1),且a≤b≤c≤d、h1≤h2,則根據(jù)梯形重心定義可得公式(5).

(5)

解公式(5)方程可得:

(6)

3 梯形區(qū)間二型模糊多準則群決策方法

3.1 群決策發(fā)生算法

在多準則群體決策問題中,能否均衡有效的處理好個體之間的差異及其對群體結(jié)果的影響問題,是有效解決群決策問題的關(guān)鍵.受文獻[19]的啟發(fā),根據(jù)文獻對梯形區(qū)間二型模糊隸屬函數(shù)的分析,進一步考慮群體決策對最大隸屬程度的影響,構(gòu)建出群體決策的梯形區(qū)間二型模糊發(fā)生算法,具體算法如下:

輸入:K個決策者的評價值P={pk|k=1,2,…,K},其中

輸出:群體決策評價值

Q=((aU,bU,cU,dU,hU),(aL,bL,cL,dL,hL)).

Step1.將首次輸入的評價值作為初始值,即

Step2.根據(jù)輸入的新評價值pk,生成新隸屬度區(qū)間上界hU=max(hU(AU),hU(pk)),其中hU(AU)為聚合前AU的hU值、hU(pk)為新評價值pk的hU值;

Step3.根據(jù)輸入的新評價值,生成新隸屬度區(qū)間邊界值

(7)

(8)

其中hL(Pi)為評價值pk的hL值;

Step4.重復(fù)Step2和Step3,直至完成K個評價值的輸入;

Step5.得到群體決策評價值

Q=((aU,bU,cU,dU,hU),(aL,bL,cL,dL,hL)).

3.2 綜合比較法

根據(jù)定義2可知,區(qū)間二型模糊數(shù)是由在X上的若干任意點的不確定性足跡形成的.通過若干任意點的足跡記錄了該模糊數(shù)的主要隸屬值及其模糊不確定的情況.因此,在對IT2 TFs進行比較時應(yīng)根據(jù)隸屬度的不同情況分別進行比較,以最大限度保留模糊及不確定性信息,保證比較結(jié)果的精確度,降低決策的風(fēng)險.

Step1.隸屬度的主值區(qū)域表示該模糊數(shù)的主要對應(yīng)區(qū)域值,即該模糊數(shù)隸屬程度最高的值域,此值域為該模糊數(shù)表示的核心數(shù)值情況,因此需要優(yōu)先處理.

(9)

如圖2所示,根據(jù)公式(6)可得公式(9).

其中,xig為主值區(qū)域核心數(shù)值的指標,yig為主值區(qū)域隸屬程度的指標,將兩者相乘,得到Sc0i:

Sc0i=xig·yig

(10)

Scoi作為主值區(qū)域的初始計分值,是對模糊數(shù)隸屬度最高的區(qū)域進行比較的依據(jù).根據(jù)不同決策環(huán)境對數(shù)據(jù)精度與計算復(fù)雜度的不同要求,選擇不同的區(qū)分度單位值.一般情況下,基于均衡考慮取0.5單位值為宜.

(11)

經(jīng)過數(shù)據(jù)精度處理后,對于梯形區(qū)間二型模糊數(shù)Ai,稱Sci為該模糊數(shù)對主隸屬值的主計分.

Step2.根據(jù)文獻[6],對于表示模糊不確定性的部分,本文采取α截集方法進行分析比較.

(12)

圖2 α截集的梯形區(qū)間二型模糊數(shù)Fig.2 Interval Type-2 trapezoidal fuzzy α-Cut Set

(13)

(14)

計算上隸屬函數(shù)的左右風(fēng)險系數(shù),其中α代表決策者的風(fēng)險態(tài)度.當α=0.5時對風(fēng)險持中立態(tài)度;當0.5<α≤1時對風(fēng)險持偏好態(tài)度;當0≤α<0.5時對風(fēng)險持規(guī)避態(tài)度.

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

計算下隸屬函數(shù)的左右風(fēng)險系數(shù).同上隸屬函數(shù)相同,當α=0.5時對風(fēng)險持中立態(tài)度;當0.5<α≤1時對風(fēng)險持偏好態(tài)度;當0≤α<0.5時對風(fēng)險持規(guī)避態(tài)度.

(21)

(22)

(23)

根據(jù)公式(11)、(17)、(23)求得的主計分值及其離散計分值,得到梯形區(qū)間二型模糊數(shù)Ai的綜合比較計分值.

(24)

3.3 梯形區(qū)間二型模糊多準則群決策方法

綜上所述,基于梯形區(qū)間二型模糊群決策值發(fā)生算法和綜合比較法,對梯形區(qū)間二型模糊多準則群體決策問題的完整求解步驟如下.

Step2.按照公式(9)求解群決策值Qij的主值區(qū)域核心數(shù)值的指標xig和主值區(qū)域隸屬程度的指標yig.按照公式(10)、(11)計算,得到Qij的主計分值Sc1ij;

Step5.按公式(24)計算出綜合比較計分值Scij;

Step6.按照方案m個屬性的綜合比較計分值Scij的WAA算子值的大小,比較出最優(yōu)方案.

(25)

4 實例分析

4.1 實例詳解

本文引用文獻[20]的實例數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)驗證和結(jié)果分析.該案例為臺灣長庚紀念醫(yī)院神經(jīng)科的醫(yī)療決策問題.

表1 群決策矩陣Table 1 Group decision-making matrix

一個5人的醫(yī)療團隊結(jié)合病人的病史病歷和現(xiàn)在身體狀況對提出的3種治療方案進行討論并決策:類固醇療法z1、血漿取出法z2和白蛋白免疫療法z3.從存活率c1、副作用的嚴重性c2、并發(fā)癥的嚴重性c3和治愈率c4等4個方面對治療方案進行評價,每個專家給出的決策矩陣見附錄表12.

表2 各方案的主計分值Table 2 Main points in every scheme

將專家對每種治療方案不同角度的評價值輸入3.1節(jié)所述群決策發(fā)生算法,得到群決策評價值,所得結(jié)果如表1所示.

按照公式(9)、(10)、(11)計算各方案的主計分值,所得結(jié)果如表2所示.

在計算上、下隸屬函數(shù)的離散計分值時,針對不同的風(fēng)險態(tài)度,會有不同的結(jié)果.為方便計算以及成果展示,本文對風(fēng)險態(tài)度指標α分別取0、0.5和1,以計算在采取規(guī)避風(fēng)險、中立態(tài)度和追求風(fēng)險態(tài)度時的不同結(jié)果.

表3 α=0時上隸屬函數(shù)的離散計分值Table 3 Value of discrete points of upper membership function At α=0

表4 α=0.5時上隸屬函數(shù)的離散計分值Table 4 Value of discrete points of upper membership function At α=0.5

表5 α=1時上隸屬函數(shù)的離散計分值Table 5 Value of discrete points of upper membership function At α=1

表6 α=0時下隸屬函數(shù)的離散計分值Table 6 Value of discrete points of lower membership function At α=0

表7 α=0.5時下隸屬函數(shù)的離散計分值Table 7 Value of discrete points of lower membership function At α=0.5

表8 α=1時下隸屬函數(shù)的離散計分值Table 8 Value of discrete points of lower membership function At α=1

按公式(24)計算出在不同風(fēng)險態(tài)度下的各方案各屬性的綜合比較計分值Scij,所得結(jié)果如表9所示.

表9 綜合比較計分值矩陣Table 9 Systematic comparison score value matrix

按公式(25)計算出在不同風(fēng)險態(tài)度下的的各方案的綜合比較計分值WAA(Sci),所得結(jié)果如表10所示.

表10 各方案綜合比較計分值矩陣Table 10 Systematic comparison score value matrix in every Scheme

4.2 比較分析

為了證明本文方法的有效性,與文獻[6]以及文獻[20] 的結(jié)果進行了比較.其中,文獻[6]采用傳統(tǒng)α截集方法,文獻[20]為本文數(shù)據(jù)的來源.三者比較結(jié)果如表11所示.

表11 三種方法的結(jié)果比較Table 11 Comparing the results of three methods

為了更加直觀的比較三種方法結(jié)果的差異,將上表數(shù)據(jù)結(jié)果標準化為相同量級后,繪制成折線圖,如圖3所示.

圖3 三種方法結(jié)果對比圖Fig.3 Comparison diagram of the results of three methods

首先,從表11的比較結(jié)果分析,三種方法所得結(jié)論相同,證明了方法的有效性;其次,通過表中數(shù)據(jù)以及圖3不難發(fā)現(xiàn),本文方法在方案的區(qū)分度上優(yōu)于其他兩種方法,主要原因是本文充分挖掘了隸屬函數(shù)中的信息,尤其是隸屬程度較高的核心區(qū)域以及體現(xiàn)模糊不確定性的離散區(qū)域的信息,并且在不同數(shù)量級上對兩者進行計分,使得能夠在保證正確區(qū)分大小的基礎(chǔ)上,從結(jié)果中更加顯著、直觀的了解到隸屬程度與模糊不確定程度.因此,本文方法更加合理、更符合實際決策需要,進而降低了決策的風(fēng)險.

5 結(jié)束語

本文提出了一種在高度不確定環(huán)境下進行多準則群體決策的方法.該方法從充分挖掘隸屬函數(shù)中隸屬信息和模糊不確定信息的角度出發(fā),提出群決策發(fā)生算法完成由多個個體決策到群體決策的轉(zhuǎn)換;再綜合重心比較法、截集比較法、聚合算子等原理,構(gòu)造出針對梯形區(qū)間二型模糊隸屬函數(shù)的深層次比較法.本文構(gòu)造的比較法不僅在計算過程中分別采用更有針對性的方法進行比較,同時在聚合后的結(jié)果中也可以清楚的把握兩者間的區(qū)別和聯(lián)系,因而能夠得到更加可靠、有依據(jù)的決策支持數(shù)據(jù),降低了決策的風(fēng)險,最終得出更加準確、更加合理的決策結(jié)果.若進一步進行研究,針對模糊不確定性信息對決策結(jié)果影響程度較大的問題,可將離散計分值賦較高權(quán)重,以突顯其影響力;或根據(jù)計分值不同數(shù)量級的比較情況,解決支持度和確信度之間的權(quán)衡問題.

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