直覺模糊信息系統下的三支決策模型

劉久兵，張里博，周獻中，黃 兵，李華雄

1(南京大學 工程 管理學院，南京 210093)

2(南京審計大學 審計科學研究院，南京 211815)

1 引 言

上世紀九十年代，Yao等將經典Pawlak粗糙集上、下近似集的代數包含關系放寬為概率包含關系，并引入貝葉斯最小風險決策理論，提出決策粗糙集模型[1].該模型不再將保持決策知識與數據的精確一致性作為唯一目標，而更加關注不同決策錯誤所帶來的不同風險代價，使得模型對風險代價高的錯誤分類決策具有代價敏感性[2].決策粗糙集導出的分類規則具有正域、負域和邊界域的三區域特征，因此被稱為三支決策粗糙集，其對應的決策也稱為三支決策[3].決策粗糙集的三支決策語義優于傳統的二支決策，這與人類智能處理復雜決策問題的方法是一致的，適合在決策信息不明確、可用信息不充分的背景下獲取有效的評估決策知識，并作出具有最小風險代價的評估決策[4].因此，決策粗糙集廣泛應用于垃圾郵件過濾[5]、多屬性決策[6，7]及不完備信息決策表[8，9]等領域.

模糊集是Zadeh教授于上世紀中期提出的用于處理不精確、不確定問題的經典數學方法[10].其采用適當的主觀隸屬函數，通過模糊集的運算和變換，實現對主觀模糊概念的有效刻畫[11].由于模糊集僅有模糊對象的隸屬度指標，難以完整刻畫人們對模糊概念的主觀認識.1986年，保加利亞學者Atanassov在對象與集合的關系中增加非隸屬度和猶豫度等兩方面信息提出直覺模糊集[12].它增加了模糊對象的非隸屬度和猶豫度指標，其在表達不確定信息時能更加真實地反映主體對客觀事物模糊本質的認識[13].直覺模糊集和粗糙集均為處理不確定、不精確問題的有力工具，若采用直覺模糊集描述主觀信息，并且以粗糙集為挖掘和表示知識方法，則可以集成兩種理論的優點.

近年來，有關直覺模糊集和粗糙集的集成方法逐漸成為不確定決策與知識發現的研究熱點[14，22].2003年，Cornelis等將直覺模糊集與粗糙集相結合，最早提出直覺模糊粗糙集模型[15].2008年，Zhou和Wu從粗糙近似算子角度研究直覺模糊粗糙集模型，提出一般化的直覺模糊粗糙近似算子[16].2010年，張植明等提出基于覆蓋的直覺模糊粗糙集模型[17].2011和2012年，黃兵、李華雄等提出基于距離關系的直覺模糊粗糙集方法[18]，然后將優勢關系引入直覺模糊粗糙集中，提出基于優勢-直覺模糊集的粗糙集知識獲取方法，并應用于IT項目績效評估中[19].2013年，Huang等采用粗糙集方法，研究區間直覺模糊信息系統的知識獲取與規則提取方法[20].2014年，Huang等將多粒度粗糙集與直覺模糊集相結合，提出多粒度直覺粗糙集模型[21].2015年，Liang和Liu采用直覺模糊數表達決策粗糙集模型的代價函數，提出基于決策粗糙集的直覺模糊三支決策方法[22].

從上述研究現狀可知，直覺模糊集、決策粗糙集和三支決策等理論在不確定決策與知識獲取等領域引起學者的廣泛關注，并在決策分析領域得到成功應用.然而，現實決策問題既依賴于歷史的客觀數據，又與決策者的主觀風險偏好有關，如何將直覺模糊集的主觀評判信息與決策粗糙集的客觀知識獲取過程有效結合，建立評估決策者的合理風險偏好模型，實現多風險偏好的決策評估知識獲取，這是本文值得研究的問題.本文給出新的定義，并基于貝葉斯決策過程建立直覺模糊信息系統下的三支決策模型.

2 基本概念及定義.

2.1 直覺模糊數

+|π(a1)-π(a2)|)

(1)

(2)

2.2 直覺模糊信息系統

定義3[25].設U為給定論域，一個二元直覺模糊關系R為U×U上的直覺模糊子集，即

R={<(x，y)，μR(x，y)，vR(x，y)>|(x，y)∈U×U}

(3)

其中μR和vR為U×U→[0，1]上的隸屬相關映射和非隸屬相關映射，且對任意的(x，y)∈U×U均滿足：0≤μR(x，y)+vR(x，y)≤1.特別地，若R滿足如下條件：

1)自反性，即對?x∈U，恒有μR(x，x)=1∧vR(x，x)=0.

2)對稱性，即對?(x×y)∈U，有μR(x，y)=μR(y，x)，vR(x，y)=vR(y，x).

則稱R為U×U上的二元直覺模糊相容關系.記U上的二元直覺模糊相容關系全體為IFCR(U×U).

3 直覺模糊信息系統下的三支決策模型

3.1 直覺模糊粗糙近似

基于上述定義的直覺模糊數的標準海明距離和相異度，下面給出直覺模糊信息系統對象間關于屬性的相容度和相異度定義.

定義4. 設IFSS=(U，C∪D，V，f)，R∈IFCR(U×U)，?B∈C.f(x，c)=<μc(x)，vc(x)>為對象x在屬性c∈B下的直覺模糊屬性值，則對象x，y關于屬性集B的相容度μR(x，y)和相異度vR(x，y)分別定義為

(4)

其中d(f(x，c)，f(y，c))和e(f(x，c)，f(y，c))分別表示直覺模糊數f(x，c)與f(y，c)的標準海明距離和相異度.

基于定義3.1易證μR(x，y)和vR(x，y)具有的性質：

性質1. 設IFSS=(U，C∪D，V，f)，對任意x，y∈U，c∈B?C，則

1)0≤μR(x，y)≤1，0≤vR(x，y)≤1；

2)μR(x，y)=μR(y，x)，vR(x，y)=vR(y，x)；

3)0≤μR(x，y)+vR(x，y)≤1；

4)若μR(x，y)=1，則vR(x，y)=0；反之，若μR(x，y)=0，則vR(x，y)=1；

5)f(x，c)=f(y，c)當且僅當μR(x，y)=1，vR(x，y)=0；

6)若f(x，c)=<1，0>，f(y，c)=<0，1>，則μR(x，y)=0，vR(x，y)=1.

(5)

定理1. 設R，H∈IFCR(U×U)，0≤α≤1，0≤β≤1且滿足：0≤α+β≤1，則

證明：

(6)

其中：<α，β>為由閾值對(α，β)構成的常直覺模糊數.

(7)

(8)

(9)

3.2 直覺模糊信息系統下的三支決策模型

表1 直覺模糊風險損失矩陣Table 1 Risk cost matrix of intuitionistic fuzzy decisions

根據基于直覺模糊數的得分函數和精確函數排序法，可先計算直覺模糊風險期望fix(i=P，B，N)的得分函數和精確函數如下：

S(fPx)=μP-vP，H(fPx)=μP+vP；S(fBx)=μB-vB，

H(fBx)=μB+vB；S(fNx)=μN-vN，H(fNx)=μN+vN.

基于上述得分函數和期望函數，可對各期望風險損失fix(i=P，B，N)進行排序，并得到基于直覺模糊風險偏好的三支決策規則先決條件：

C1：S(fPx)

綜上給出的決策先決條件，下面構建一種關于直覺模糊風險偏好的三支決策規則：

3.3 直覺模糊信息系統下的三支決策規則提取算法

算法：基于直覺模糊信息系統的三支規則提取算法.

輸入：直覺模糊決策系統IFSD=(U，C∪D，V，f)，閾值α，β.

輸出：對象x∈U的決策規則.

步驟1.式(4)分別計算任意兩個對象x，y∈U關于條件屬性C的相容度μR(x，y)和vR(x，y).

步驟3.計算對象x∈U在三種行動i={P，B，N}下的期望風險損失fix及其得分函數S(fix)和精確函數H(fix).

步驟4.根據決策先決條件C1-C12和三支決策規則(P)-(N)獲得決策規則.

4 算例分析

為說明本文方法的有效性,對文獻[18]的安全審計風險評估算例進行改編，表2給出一個安全審計風險評估的直覺模糊目標決策系統，審計對象x={x1，x2，x3，x4}，條件屬性C={c1，c2，c3，c4，c5}，其中c1，c2，c3，c4，c5分表表示“優良系統環境”、“較好的系統控制”、“可靠的財務數據”、“可信的審計軟件”，“規范運作”等屬性，決策屬性c6表示“可接受的安全審計風險”.各條件屬性取值由審計專家根據審計調查結果并依據自身職業素養綜合給出，例如f(x4，c4)=<0.7，0.1>

表2 基于安全審計風險評估的直覺模糊決策系統Table 2 Security audit risk assessment based intuitionistic fuzzy information system

表示70%的審計專家認為被審計對象x4的審計軟件可信，10%的專家認為不可信，20%的專家未作出評估.同理，對于決策屬性c6如f(x2，c6)=<0.6，0.4>可理解為60%的專家認為被審計對象x2的安全審計風險可接受，40%的專家認為不可接受并在不同狀態(安全審計風險可接受和不可接受)采取不同行動的損失值也由專家給定，見表3.

表3 安全審計風險在不同狀態采取不同行動的損失矩陣Table 3 Cost matrix of different actions in different states

假設給定的閾值α=0.7，β=0.3，采用本文提出的方法對算例進行決策規則提取，詳細步驟如下：

步驟1.計算對象xj，xk間的相容度μR(xj，xk)和相異度vR(xj，xk)(j，k=1，2，3，4；j≠k)如下：

μR(x1，x2)=0.7，vR(x1，x2)=0.25；μR(x1，x3)=0.8，vR(x1，x3)=0.2；μR(x1，x4)=0.6，vR(x1，x4)=0.3；μR(x2，x3)=0.7，vR(x2，x3)=0.3；μR(x2，x4)=0.8，vR(x2，x4)=0.15；μR(x3，x4)=0.5，vR(x3，x4)=0.4.

步驟3.計算對象xj在三種行動i={P，B，N}下的期望風險損失fixj及其得分函數S(fixj)和精確函數H(fixj)如下：

fPx1=<0.4549，0.5040>，fBx1=<0.5358，0.4642>，fNx1=<0.6825，0.3037>，fPx2=<0.3821，0.5657>，fBx2=<0.5271，0.4729>，fNx2=<0.7172，0.2736>，fPx3=<0.3821，0.5657>，fBx3=<0.5271，0.4729>，fNx3=<0.7172，0.2736>，fPx4=<0.5757，0.4000>，fBx4=<0.5528，0.4472>，fNx4=<0.6000，0.3742>.

進而，計算得相應得分函數如下：

S(fPx1)=-0.0491，S(fBx1)=0.0716，S(fNx1)=0.3788，S(fPx2)=-0.1836，S(fBx2)=0.0542，S(fNx2)=0.4436，S(fPx3)=-0.1836，S(fBx3)=0.0542，S(fNx3)=0.4436，S(fPx4)=0.1757，S(fBx4)=0.1056，S(fNx4)=0.4436.

步驟4.根據決策先決條件C1-C12和三支決策規則(P)-(N)獲得相應的決策準則如下：

即在給定的閾值α=0.7，β=0.3下，對于對象x1，x2和x3，其審計風險均認為是安全的；而對于對象x4來說，其審計風險需進一步商榷.

5 總 結

基于直覺模糊信息系統提出對象間的相容度和相異度概念，并給出相關的性質.進而定義直覺模糊相容關系下的(α，β)-水平截集和決策目標下的(α，β)-水平截集，并將上述定義及粗糙隸屬度概念引入決策粗糙集模型中，結合直覺模糊數的得分函數和精確函數，進而提出一種基于直覺模糊信息系統的三支決策規則提取算法.最后通過算例說明方法的有效性.后續工作將對直覺模糊信息系統的屬性約簡和規則提取進行深入研究.

：

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