基于差商法的旋轉彈丸磁測滾轉角解算方法研究

謝 洋，于紀言

(南京理工大學 智能彈藥技術國防重點學科實驗室， 南京 210094)

地磁場是地球的天然磁場，可利用捷聯在彈體內的地磁傳感器對其進行姿態解算。高旋彈丸的滾轉角測量環境為：高發射過載、高轉速、小體積。目前，常用的陀螺傳感器無法應用于該惡劣的測量環境中。相反，地磁傳感器具有高靈敏度、小體積、抗高發射過載和解算誤差不隨時間累積等優點。因此，地磁傳感器能夠完美應用于高旋彈丸的滾轉角解算[1-3]。

彈體滾轉角是炮彈導航信息中的重要信息之一，高旋彈丸滾轉角解算精度依賴于磁測量數據精度和滾轉角解算方法。在磁測數據處理方面，Changey S.等[4]采用擴展卡爾曼濾波方法對磁測量數據處理，該方法預測精度高達毫弧度。Huang Yu等[5]提出了雙通道追蹤微分濾波器方法(TD)，該方法能夠有效抑制隨機噪聲干擾。Jiangliang Zhu等[6]使用積分比率法解算彈體姿態角，與極值比值法相比，姿態角的解算誤差降低90%左右。彈體姿態角解算方法包括零交叉法、三軸正交法和極值比值法。Thomas Harkins等[7-8]采用雙軸非正交地磁傳感器解算得到彈體滾轉角。Xiang Chao等[9]將三種彈體姿態角解算方法進行了對比分析，仿真結果表明三種方法具有相同的解算精度，但是有不同的更新頻率。

雖然濾波算法對磁測量數據處理后，能保證一定的解算精度，但是濾波算法復雜、計算時間長、需要處理的地磁數據量大。然而炮彈空間有限，彈載計算能力不足，使用濾波算法無法滿足彈上實時處理磁測量數據的要求。Xiang Chao等人解算彈體姿態角的方法，雖然能應用于工程實踐，但是只有在特殊點位置才能解算出彈體滾轉角，無法在任意時刻解算彈體滾轉角。

基于以上問題，本文提出了差商法解算彈體滾轉角，該方法不僅原理簡單、計算量小、不需要提前校正地磁傳感器、在一個滾轉周期的任意位置都能進行解算，而且該方法對傳感器刻度因子誤差和固定偏差具有很強的魯棒性，僅需要單軸的硬件濾波信號就能解算彈體滾轉角。

1 傳統二維平面滾轉角解算方法

1.1 彈體坐標變換

采用地磁測量彈丸滾轉角時，捷聯于彈體內部的地磁傳感器敏感方向與彈體坐標軸方向一致，并利用測量所得的地磁信息進行彈體姿態解算。坐標軸定義如圖1所示。

圖1中坐標系osxyz為彈體坐標系，坐標系ox1y1z1為發射坐標系，坐標系osx2y2z2為彈軸坐標系，θ、φ、γ分別為彈體俯仰角、偏航角和滾轉角。

發射坐標系和彈軸坐標系間的轉換關系為

(1)

(2)

彈軸坐標系和彈體坐標系的轉換關系為

(3)

1.2 傳統滾轉角解算模型

在彈體的滾轉平面內，地磁矢量在彈徑平面的分矢量為Bc，其分矢量在彈軸坐標系中的量測值為By2和Bz2，在彈體坐標系中的量測值為by和bz，如圖2所示。則彈體滾轉角的計算公式為：

(4)

式中by和bz為地磁傳感器敏感軸的測量量，By2和Bz2由公式和計算得到。

2 差商法解算彈體滾轉角

2.1 地磁傳感器y軸輸出模型

在圖2中，γB為地磁場分矢量Bc與y2軸方向的夾角，在旋轉彈丸飛行過程中，γB隨著彈體俯仰角和偏航角的變化而變化。與旋轉彈丸的滾轉速率相比，俯仰角速率和偏航角速率相對較小。因此，假設在彈丸的一個滾轉周期內，彈丸的俯仰角和偏航角保持不變，同時γB也保持不變。根據GPS測量數據或者先驗彈道數據，獲取彈體俯仰角和偏航角，根據公式得到γB的表達式

γB=arctan(P)

(5)

其中，

(6)

彈丸滾轉一周，地磁傳感器y軸方向的地磁分量大小的表達式為

by=Bccos(γ-γB)

(7)

在彈載磁測量環境下，磁場測量誤差包括磁場敏感方向刻度因子誤差、傳感器的固定偏差和測量噪聲帶來的隨機偏差[10]。當只考慮前兩種測量誤差時，將公式改寫為

by=kyBccos(γ-γB)+bs

(8)

式(8)中，ky表示地磁傳感器y軸方向的刻度因子誤差，bs表示地磁傳感器的固定偏差。

2.2 滾轉角解算模型

在彈丸滾轉過程中，地磁傳感器y軸測量輸出量如圖 3所示，在第i個滾轉周期的t1時刻，假設彈體滾轉角為γ。在t1時刻之前取兩點，分別記為t2時刻和t3時刻。其中，t2時刻與t1時刻滾轉角相差Δγ1，t3時刻與t1時刻滾轉角相差Δγ2。在t1、t2、t3時刻，地磁傳感器y軸測量輸出量分別記為by1、by2、by3，其表達式為

(9)

為了消除磁場敏感方向刻度因子誤差和傳感器固定偏差對滾轉角解算帶來的影響，將t1時刻的測量值分別減去t2和t3時刻的測量值，然后將兩個差值作商。得到下列公式

(10)

γ=arctan(Q)+γB

(11)

其中：

(12)

由式(11)和式(12)可知，t1時刻的滾轉角γ只與M、γB、Δγ1、Δγ2相關，與磁場敏感方向刻度因子和傳感器固定偏差無關。一個M值對應兩個數學解，然而滾轉角卻為唯一解。因此，使用以下方法判定滾轉角的解：

當by1>0且Q>0時，γ-γB=arctan(Q)；

當by1>0且Q<0時，γ-γB=arctan(Q)；

當by1<0且Q>0時，γ-γB=arctan(Q)-π；

當by1<0且Q<0時，γ-γB=arctan(Q)+π；

在滾轉角的求解過程中，量測值by受到一定的干擾，在by過零點附近，測量值與實際值會出現異號的情況，如果使用上述方法判定彈體滾轉角的值，解算結果與真實值可能存在π的誤差。為了避免這種情況的產生，首先將第i個滾轉角的值與第i-1個滾轉角的值相減，得到滾轉角的差值α=|γi-γi-1|。如果其差值α∈(2π/3,4π/3)，則判定第i個滾轉角值為異常點。然后通過下面方法補償得到彈體滾轉角：

如果by1>0且Q>0時，則γ-γB=arctan(Q)-π；

如果by1>0且Q<0時，則γ-γB=arctan(Q)+π；

如果by1<0且Q>0時，則γ-γB=arctan(Q)+π；

如果by1<0且Q<0時，則γ-γB=arctan(Q)-π；

2.3 滾轉角間隔Δγ分析

(13)

(14)

3 仿真分析

3.1 最佳滾轉角間隔Δγ分析

在使用公式解算彈體滾轉角γ之前，需要提前選取滾轉角間隔Δγ。為了得到最佳的解算結果，要選取最佳滾轉角間隔Δγ。當俯仰角和偏航角一定，在一個滾轉周期(γ∈[0,2π))內，使計算式Δb=by1-by2取得最大值的滾轉角間隔Δγ稱為最佳的滾轉角間隔。

仿真試驗中，以南京某地(E118.78°,N32.05°)為中心，以北偏東45°為發射方向，發射系磁場三分量H=[28 323; 24 043; 24 523]，取俯仰角為45°、偏航角為-5°。在一個滾轉周期(γ∈[0,2π))內，仿真計算最佳滾轉角間隔Δγ，仿真結果如圖 4所示。從圖4可以看出：1) 在一個滾轉周期內，Δb在γB和γB+π處取得最大值，在γB±π/2處取得最小值。2) Δb取得最大值時，滾轉角間隔Δγ的值為π；Δb取得最小值時，滾轉角間隔Δγ的值為π/2或3π/2。3) 當滾轉角γ∈(γB-π/2,γB+π/2)和(γB+π/2,γB+3π/2)時，使得Δb取最大值的滾轉角間隔Δγ從3π/2降至π/2。

綜上所述，在γ=γB±π/2處，為了使Δb能夠取得最大值，分別取最佳滾轉角間隔Δγ1=π/2、Δγ2=3π/2作為公式中的兩個滾轉角間隔。

3.2 磁場敏感方向刻度因子產生的解算誤差分析

在磁場敏感方向刻度因子產生的解算誤差仿真實驗中，發射系磁場三分量、俯仰角和偏航角均與3.1節相同。傳感器y軸方向的刻度因子分別取0.95、0.85、0.75、0.65，傳感器z軸方向的刻度因子取1。分別使用差商法解算滾轉角和傳統二維滾轉角解算方法解算彈體滾轉角γ，將解算結果與彈體滾轉角的真實結果γt相減，得到任意時刻因刻度因子產生的滾轉角解算誤差εk，其表達式為

εk=γ-γt

(15)

圖5和圖6分別為采用差商法和傳統方法，使用含傳感器刻度因子誤差的地磁測量數據，解算彈體滾轉角的解算誤差。表 1列出了因傳感器刻度因子引起的最大滾轉角解算誤差。結合圖5、圖6和表1可以看出：1) 隨著傳感器刻度因子變小，傳統方法解算彈體滾轉角的解算精度變差，差商法解算精度不變。2) 傳統方法解算彈體滾轉角精度在1°以上，差商法解算彈體滾轉角的解算誤差為5.684 3e-14°，此解算誤差可為計算機的計算截斷誤差。

ky傳統方法差商法0.6512.247°5.684 3e-14°0.758.213°5.684 3e-14°0.854.651°5.684 3e-14°0.951.469°5.684 3e-14°

由仿真結果表明，與傳統二維平面解算滾轉角方法相比，由刻度因子產生的磁測量誤差對差商法解算彈體滾轉角的影響很小，差商法具有很強的魯棒性。

3.3 傳感器的固定偏差產生的解算誤差分析

傳感器固定偏差給測量值帶來一定的誤差，在滾轉角解算仿真實驗中，發射系磁場三分量、俯仰角和偏航角均與3.1節相同。傳感器y軸方向的固定偏差分別取1 500 nT、500 nT、-500 nT、-1 500 nT，傳感器z軸方向的固定偏差為0 nT。分別使用差商法解算滾轉角和傳統二維平面方法解算滾轉角γ，將解算結果與真實彈體滾轉角γt相減，得到任意時刻因傳感器固定偏差產生的滾轉角解算誤差εb，其表達式為

εb=γ-γt

(16)

圖7和圖8分別為采用差商法和傳統方法，使用含傳感器固定偏差的地磁測量數據，解算彈體滾轉角的解算誤差。表2列出了因傳感器固定偏差引起的最大滾轉角解算誤差。結合圖7、圖8和表2可以看出：1) 傳感器的固定偏差越大，傳統方法的解算精度越差，其解算精度與固定偏差的正負無關，只與固定偏差的大小相關。2) 差商法解算彈體滾轉角的精度與固定偏差的大小和正負均無關。3) 傳統方法解算彈體滾轉角精度在4°以上，差商法解算彈體滾轉角的解算誤差為5.684 3e-14°。

由仿真結果表明，與傳統二維平面解算滾轉角方法相比，由傳感器固定偏差產生的磁測量誤差對差商法解算彈體滾轉角的影響很小，差商法具有很強的魯棒性。

Kb/nT傳統方法差商法1 5006.180°5.684 3e-14°5004.019°5.684 3e-14°-5004.019°5.684 3e-14°-1 5006.180°5.684 3e-14°

3.4 滾轉角間隔Δγ 的誤差對解算結果的影響

4 結論

本文介紹了傳統二維平面滾轉角解算原理和差商法解算彈體滾轉角原理。首先，對最佳滾轉角間隔的選取進行了仿真分析，然后分別對傳感器刻度因子誤差和傳感器固定偏差對彈體滾轉角的解算誤差進行了分析，通過對比兩種方法對滾轉角解算造成的影響，得到以下結論：

1) 利用差商法解算彈體滾轉角，其滾轉角解算誤差約為1×10-13°，小于1°；當滾轉角間隔為π/2或3π/2時，能使解算誤差達到最小。

2) 利用差商法對刻度因子誤差和固定偏差引起的解算誤差具有很強的魯棒性。隨著滾轉角間隔Δγ誤差εΔγ的增大，最大彈體滾轉角解算誤差εγ也隨之增大。

3) 本文旨在提高旋轉彈丸磁測滾轉角解算精度，當地磁傳感器存在一定的刻度因子誤差和固定偏差時，差商法解算彈體滾轉角具有很強的魯棒性。除了傳感器的刻度因子誤差和固定偏差需要考慮外，傳感器的測量噪聲對此方法的解算精度造成的影響有待進一步研究。

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