圖形的運(yùn)動（三）教學(xué)研究報(bào)告

一、問題

人教版數(shù)學(xué)教材五年級下冊的圖形的運(yùn)動（三）單元是學(xué)生在認(rèn)識生活中的旋轉(zhuǎn)和平移現(xiàn)象，會判斷一種物體的運(yùn)動是平移還是旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)的內(nèi)容，同時它也是圖形的運(yùn)動教學(xué)中的一個難點(diǎn)———在小學(xué)階段的圖形運(yùn)動中，學(xué)生最難掌握的就是旋轉(zhuǎn)。教學(xué)中，要求學(xué)生能在方格紙上把一個簡單的圖形按照順時針方向或逆時針方向旋轉(zhuǎn)90度。在實(shí)際操作中，學(xué)生畫圖時總是頻繁出錯，老師們對此也做過不少的研究和嘗試，其中常見的方法是把平面圖形的旋轉(zhuǎn)分解成線段的旋轉(zhuǎn)，還有老師會進(jìn)一步把旋轉(zhuǎn)和鐘面結(jié)合，幫助學(xué)生理解。

1.關(guān)于教材的編排

新教材在編排這一部分內(nèi)容時新增了例題2，是對旋轉(zhuǎn)———剛體變換（變換后不改變物體任何兩點(diǎn)之間的距離以及點(diǎn)之間構(gòu)成的線段的夾角不變）的研究。通過對教材的分析和解讀，我們認(rèn)為三個例題是層層遞進(jìn)的關(guān)系：例1是學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)的三要素，這是研究旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的基礎(chǔ)；例2是研究旋轉(zhuǎn)過程中中心點(diǎn)的位置不變，經(jīng)過中心點(diǎn)的兩條線段都旋轉(zhuǎn)了90毅，從編排中可以看出是為例3的畫旋轉(zhuǎn)圖形做鋪墊。筆者認(rèn)為在教學(xué)例2時還需要補(bǔ)充對旋轉(zhuǎn)的剛體變換的研究，這樣將更好地幫助學(xué)生掌握畫圖的技能。

2.關(guān)于學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)

為了切實(shí)掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，筆者對學(xué)生進(jìn)行了學(xué)前調(diào)研（如圖1）。調(diào)研結(jié)果顯示：（1）在旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的調(diào)研中，90%以上的學(xué)生能準(zhǔn)確地說出風(fēng)車的運(yùn)動是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，可是有39.3%的學(xué)生描述停車桿和秋千的運(yùn)動是上下運(yùn)動、左右擺動等，還有13%的學(xué)生認(rèn)為是平移現(xiàn)象。這是來自于學(xué)生已有認(rèn)知中的錯誤。二年級第一次認(rèn)識旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象時，教材中給的素材全部是像風(fēng)車這樣旋轉(zhuǎn)一周的素材，老師們提供的素材也大多如此，難免給學(xué)生造成只有旋轉(zhuǎn)一周才是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的錯誤印象。（2）在三要素的調(diào)研中，盡管只有極少數(shù)學(xué)生能準(zhǔn)確完整地描述旋轉(zhuǎn)過程（占比約為5%），但是絕大部分學(xué)生能關(guān)注到三要素之一，其中能夠用旋轉(zhuǎn)角度和方向描述運(yùn)動過程的分別達(dá)到35.7%和42.9%。由此可以看出，對于三要素，學(xué)生有一定的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

在對教材和學(xué)生進(jìn)行充分解讀后，我們確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：

1.學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，完善對旋轉(zhuǎn)三要素的認(rèn)識，能用中心、方向和角度描述旋轉(zhuǎn)過程，并且能夠用它們判斷旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。

2.學(xué)生在觀察、思考中明白：旋轉(zhuǎn)的三要素確定了，旋轉(zhuǎn)的結(jié)果也就確定了，明確三要素的內(nèi)在意義。

3.通過觀察、想象、驗(yàn)證等活動，學(xué)生自主探究圖形旋轉(zhuǎn)的特征：旋轉(zhuǎn)后圖形的形狀和大小不變；對應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角度，為畫旋轉(zhuǎn)圖形積累經(jīng)驗(yàn)。

4.學(xué)生通過觀察建立表象，借助表象展開想象，培養(yǎng)空間想象能力。

二、實(shí)踐

基于以上思考，我們進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐，主要教學(xué)過程如下：

（一）回憶預(yù)學(xué)，引入探究

師（出示課前預(yù)習(xí)單）：上課之前，我們做了預(yù)學(xué)單。對于圖形的運(yùn)動，我們已經(jīng)認(rèn)識了三種圖形的運(yùn)動方式：平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱。你覺得指針的運(yùn)動是哪一種呢？（生：這是旋轉(zhuǎn)）在描述指針的旋轉(zhuǎn)過程時，同學(xué)們都是怎么想的呢？一起來看看。

（二）操作感悟，理解旋轉(zhuǎn)

1.理解旋轉(zhuǎn)的三要素

師：請仔細(xì)觀察這個同學(xué)的預(yù)學(xué)單（如圖2），他在描述指針的旋轉(zhuǎn)時說出了什么？（生：角度）我們請他說說是怎么想的。

生1：鐘面上從12到3的角度是90毅，一共有3個大格，所以每個大格是30毅。

師：你可真會計(jì)算，指針走一大格就是30毅，度是一個計(jì)量角的大小的單位，那你從這兒看到一個角了嗎？它的兩條邊在哪里呢？

生1：指針原來的位置和現(xiàn)在的位置可以看成角的兩條邊。

師：大家想象一下他說的角在哪里。誰能上來找給大家看一下？（生上臺指角）你們找的是一樣的嗎？你們看到的角，一條邊是指針原來的位置，另一條邊是指針旋轉(zhuǎn)后的位置。在數(shù)學(xué)上，這個角就叫旋轉(zhuǎn)角。這個同學(xué)在想象運(yùn)動過程時關(guān)注到了角度，我們把他的想法記下來。（板書：角度）我們繼續(xù)來看，（出示圖3）這個同學(xué)說出了什么？你知道順時針方向是什么意思嗎？

生2：就是鐘面上時針運(yùn)動的方向，從12開始到1，再到2，這樣轉(zhuǎn)下去就是順時針方向。

師：是的，在數(shù)學(xué)上，我們習(xí)慣用順時針方向和逆時針方向描述圖形的旋轉(zhuǎn)。（出示圖4）有些同學(xué)不太能理解為什么是順時針方向，誰能想個辦法給他們說清楚？

生3：圖4中停車桿的運(yùn)動可以看成鐘面上指針從9到12，這還是順時針方向。

師：是的，它就相當(dāng)于鐘面上從9旋轉(zhuǎn)到12，這就是順時針方向。與順時針方向相反的方向是逆時針方向。（出示圖5）秋千蕩過去是順時針方向，蕩回來就是逆時針方向。剛才這些同學(xué)關(guān)注到的是方向，我們也把它記下來。（板書：方向）在描述旋轉(zhuǎn)過程時，這個同學(xué)指出了指針繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（出示圖6），你能和大家說說繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)是什么意思嗎？

生4：O點(diǎn)固定不動，然后指針圍繞著它轉(zhuǎn)動。

師：那是不是和她說的一樣呢？（課件演示）請仔細(xì)觀察，指針在旋轉(zhuǎn)的時候，O點(diǎn)的位置有沒有動？（沒有動）你覺得這點(diǎn)有什么作用？（可以固定位置）這個同學(xué)想到了旋轉(zhuǎn)過程中的一個不動的點(diǎn)，也就是一個中心點(diǎn)，并且一個“繞”字表達(dá)得非常準(zhǔn)確，我們也把她這個非常有價值的想法寫下來。（板書：中心）剛才同學(xué)們從不同的視角看到或者想到了中心、方向、角度。那如果我想對指針下達(dá)一個指令，讓指針從12旋轉(zhuǎn)到3的位置，你會怎么下達(dá)這個指令呢？請你們試著自己研究。

活動要求：（1）先自己獨(dú)立思考，再在小組內(nèi)交流。（2）請?jiān)囍忉屇銈兊南敕ā?/p>

學(xué)生小組活動后匯報(bào)：指針繞O點(diǎn)順指針旋轉(zhuǎn)90毅。

師：我發(fā)覺你們都說出了中心、方向、角度。一定要這樣嗎？我就說繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90毅不行嗎？

生5：不行，順時針旋轉(zhuǎn)才會到3，如果是逆時針旋轉(zhuǎn)就會到9了。

師：看樣子，要想確保指針旋轉(zhuǎn)到確定的位置，說清楚方向很重要。那為什么還要說出中心和角度呢？

生6：如果轉(zhuǎn)的角度不一樣，指針的位置會不一樣，比如指針從12順時針旋轉(zhuǎn)30毅就到了1，順時針旋轉(zhuǎn)60毅就到了2，順時針旋轉(zhuǎn)90毅就到了3，每多一個大格就會多30毅。

師：轉(zhuǎn)的角度不一樣，位置也會不一樣。你會觀察，也會思考。現(xiàn)在你們能想象出指針旋轉(zhuǎn)的過程嗎？請先記下指針的位置和形狀，然后想象指針的旋轉(zhuǎn)過程。（課件演示）也就是說，說出了中心、方向、角度，旋轉(zhuǎn)的結(jié)果也就確定了。中心、角度、方向在旋轉(zhuǎn)中非常重要，它們就是旋轉(zhuǎn)的三要素。（板書）

2.理解旋轉(zhuǎn)的特征

師：借助指針，我們知道了用三要素描述旋轉(zhuǎn)過程準(zhǔn)確又完整。（出示圖7）那你能完整地描述這個三角形的旋轉(zhuǎn)過程嗎？（指名描述）你能想象出他說的這個旋轉(zhuǎn)過程嗎？現(xiàn)在請每個同學(xué)把三角形AOB的位置和樣子畫在腦海里，特別提醒：中心的位置不能動，把你腦海中的三角形AOB繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90毅。（學(xué)生閉眼想象）

師：（課件演示）剛才你們想象的旋轉(zhuǎn)過程是這樣的嗎？你是怎么看出三角形旋轉(zhuǎn)了90毅的？

生7：OA憶和OA之間的夾角的度數(shù)是90毅。

師：你為什么要把OA憶和OA放在一起想呢？

生7：因?yàn)镺A繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90毅后會到OA憶的位置。

師：圖中OA旋轉(zhuǎn)到了OA憶的位置，我們就說OA憶是OA的對應(yīng)線段，這兩條線段之間的夾角是90毅。那像這樣的對應(yīng)線段你還找得出來嗎？

生8：OB和OB憶也是一組對應(yīng)線段，它們形成的角也是90毅。

師：請仔細(xì)觀察每一組對應(yīng)線段，想一想，它們有什么相同點(diǎn)？

生9：它們長度一樣。OA和OA憶的長度是4格，OB和OB憶都是2格。

師：旋轉(zhuǎn)后，對應(yīng)線段的長度沒有改變。還有什么也沒有變？

生10：旋轉(zhuǎn)后的形狀沒變。

生11：旋轉(zhuǎn)后的大小沒有變。

師：形狀和大小都相同。還有嗎？

生12：旋轉(zhuǎn)中心的位置不變。

師：旋轉(zhuǎn)后，旋轉(zhuǎn)中心的位置不變，三角形AOB的形狀和大小不變，所以對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。那你能找出什么變了嗎？

生：圖形的位置變了。圖形的方向也變了。

師：從線段到圖形，從圖形又回到線段，我們發(fā)現(xiàn)，三角形AOB繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90毅后，形狀、大小不變，對應(yīng)點(diǎn)到O點(diǎn)的距離相等。變化的是三角形AOB的位置和方向，具體來說就是每條邊都繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)了90毅。

（三）拓展練習(xí)，豐富感知

1.停車桿的運(yùn)動

師：在課前預(yù)學(xué)單中，同學(xué)們對于停車桿的運(yùn)動，有的認(rèn)為是旋轉(zhuǎn)，有的認(rèn)為是平移，現(xiàn)在你會怎么認(rèn)為呢？

生13：我認(rèn)為是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，是逆時針旋轉(zhuǎn)90毅。

師：是的，這也是一種旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。你能描述它的旋轉(zhuǎn)過程嗎？（學(xué)生描述）（出示圖8）你們見過鐘擺的運(yùn)動嗎？鐘擺的運(yùn)動是一種旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象嗎？說說你的想法。

生14：鐘擺的運(yùn)動也是一種旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，只是它擺動的角度很小。

師：盡管鐘擺旋轉(zhuǎn)的角度不大，但是它依然能用旋轉(zhuǎn)的三要素描述旋轉(zhuǎn)過程。想一想，如果繼續(xù)不斷地旋轉(zhuǎn)下去，最終會怎么樣？

生15：會形成一個圓。

師：大家能想象出一個圓嗎？（課件演示線段旋轉(zhuǎn)一周后形成圓的過程）你能描述這條線段的旋轉(zhuǎn)過程嗎？

生16：線段繞中心點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)360毅。

師：同學(xué)們很有想象力。前面我們研究的都是一個圖形繞某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其實(shí)，在數(shù)學(xué)上，有時還可以把一個圖形繞著某條線段旋轉(zhuǎn)一周。如果把長方形繞著它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周，你能想象出旋轉(zhuǎn)后的圖形嗎？（學(xué)生描述，課件演示）你們太有想象力了。希望你們在以后的學(xué)習(xí)中也能插上想象的翅膀，飛得更高、更遠(yuǎn)。

三、討論

1.要素之“要”在哪？

旋轉(zhuǎn)三要素的教學(xué)是第二學(xué)段旋轉(zhuǎn)教學(xué)的重點(diǎn)。通過對學(xué)生的學(xué)前調(diào)研的分析，我們認(rèn)為，要素之“要”體現(xiàn)在：（1）確定旋轉(zhuǎn)結(jié)果的必要因素。“要讓指針從12旋轉(zhuǎn)到3，應(yīng)該給出一個什么樣的指令”，在對這個問題的思考和研究中，學(xué)生認(rèn)識到要得到確定的旋轉(zhuǎn)結(jié)果，旋轉(zhuǎn)的三要素缺一不可。（2）判斷旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的重要依據(jù)。停車桿的運(yùn)動、秋千的運(yùn)動、鐘擺的運(yùn)動等都是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，我們都能夠用三要素來描述運(yùn)動過程。（3）研究旋轉(zhuǎn)特征的重要基礎(chǔ)。旋轉(zhuǎn)變換一共有兩個要點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)中心和角度。教學(xué)中教師多次讓學(xué)生觀察、體會旋轉(zhuǎn)中心位置不變的特點(diǎn)。這些都是學(xué)生研究旋轉(zhuǎn)特征的重要基礎(chǔ)。

2.關(guān)于例2的研究與教學(xué)。

新教材在三要素的認(rèn)識和畫旋轉(zhuǎn)圖形兩個教學(xué)活動中增加了例2。通過分析和思考，我們認(rèn)為例2的教學(xué)是為了幫助學(xué)生在認(rèn)識三要素的基礎(chǔ)上進(jìn)一步認(rèn)識旋轉(zhuǎn)的特征。這個探究對學(xué)生是非常有必要的。我們曾經(jīng)對六年級的孩子做了一次畫旋轉(zhuǎn)圖形的檢測，在參加檢測的115個學(xué)生中，全對的僅59人。從檢測結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的錯誤集中在：方向錯誤，特別是逆時針方向，中心點(diǎn)位置移動，改變了圖形的形狀和大小。為此，在本課中，我們遵循從線段到圖形的認(rèn)知規(guī)律，借助線段研究旋轉(zhuǎn)的三要素以后，再把學(xué)生的認(rèn)知上升到簡單的平面圖形的旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生學(xué)會從復(fù)雜的圖形中剝離出簡單圖形，經(jīng)歷“線段—圖形—線段”的內(nèi)化與循環(huán)，為畫旋轉(zhuǎn)圖形打好基礎(chǔ)。

3.怎么培養(yǎng)空間想象能力？

準(zhǔn)確地畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，要求學(xué)生具有一定的空間想象能力。要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，我們在教學(xué)中遵循了這樣的思路：先為學(xué)生提供旋轉(zhuǎn)的直觀演示，讓學(xué)生建立旋轉(zhuǎn)的表象，在此基礎(chǔ)上給學(xué)生提供想象的機(jī)會。在學(xué)生有了一定的想象基礎(chǔ)后，引導(dǎo)學(xué)生把旋轉(zhuǎn)變?yōu)樗麄兡X海中的動態(tài)過程。有了圖形在腦海中“轉(zhuǎn)起來”的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生對旋轉(zhuǎn)的結(jié)果也就能做出準(zhǔn)確判斷。在這一過程中，教師對學(xué)生提出具體的要求，教給學(xué)生想象的方法。比如，教師特別提醒：中心的位置不能動，把你腦海中的三角形AOB繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90毅。刻畫圖形—關(guān)注中心—動態(tài)旋轉(zhuǎn)，清晰的三步曲讓想象中的旋轉(zhuǎn)過程清晰化，學(xué)生可以順著想象的階梯，準(zhǔn)確地在腦海中“畫”出旋轉(zhuǎn)后的圖形。

（執(zhí)筆：鐘東平、樓捷、段建國、詹婧、黃琨、徐旺、李闖）