基于總體最小二乘的雙曲線法在沉降預測中的應用研究

摘 要：在沉降預測中，雙曲線法是最常用的擬合方法之一，本文在常規最小二乘的擬合方法基礎上，同時考慮自變量與因變量的誤差，利用總體最小二乘的奇異值分解法對實測沉降數據進行擬合，表明：基于總體最小二乘的雙曲線法擬合效果更理想。

關鍵詞：沉降預測；雙曲線法；最小二乘；總體最小二乘

無砟軌道具有建成后調整量小的特點，這就要求線下工程沉降穩定以后才能開始無砟軌道的鋪設工作。因此在高速鐵路建設中必須對線下構筑物進行沉降變形觀測。通過沉降變形觀測獲得沉降數據，并預測其工后沉降，在滿足設計要求后才能開始無砟軌道的鋪設工作。

目前關于沉降預測的方法很多，最常用的有指數曲線法[1]、雙曲線法、Asaoka法等；其中，雙曲線法在對軟粘土壓縮[2]、大變形固結與沉降分析[3]以及豎井地基沉降分析[4]中得到了很好的應用。有不少學者對傳統雙曲線法進行了改進，提出了一些新的雙曲線形式，如泊松比雙曲線法（宰金眠等，2001）、修正雙曲線法（馮文凱等，2001）、復合雙曲線法（邵光輝，2001）等。上述的改進雙曲線模型雖然能夠在一定的程度上提高沉降預測的精度，但是各個模型的適用性都比較模糊，且都沒有考慮雙曲線模型本身的結構。傳統模型在求解參數時都采用最小二乘法，沒有顧及系數矩陣的誤差，只考慮如何處理觀測向量中的誤差，然而在測量過程中，受到觀測條件、人的因素等多方面的影響，觀測向量和系數矩陣中都可能存在誤差，如何同時處理觀測向量和系數矩陣存在的誤差，則需要采用總體最小二乘。

1 雙曲線法

雙曲線法是一種純經驗的曲線配合方法，是根據實測沉降曲線的形態近似的一條曲線，并沒有嚴格的理論依據。該預測方法適合對恒載期的沉降進行預測。采用雙曲線來配合后，通過曲線外延來推得未知時刻的沉降變形量，其基本公式為：

以上是雙曲線法擬合的通常做法，這種做法只考慮了觀測值y的誤差，假定觀測值x無誤差，而實際情況中，由于觀測條件等因素的影響，觀測值x即（t-t0）不可避免的存在誤差。

2 總體最小二乘

為了同時考慮自變量、因變量都存在誤差的情況，1901年Pearson提出了總體最小二乘的基本思想，其函數模型為：

3 實例分析

以上分別介紹了基于最小二乘和總體最小二乘的雙曲線擬合方法，現利用某項目沉降實測數據分別采用兩種方法進行擬合，擬合結果如下圖：

當前擬合數據截止日期為2016年11月27日，現利用兩種擬合方法預測成果分別與2016年12月11日至2017年2月5日的5期實測成果對比，結果如下表：

從上表可看出：基于總體最小二乘的雙曲線法預測的沉降量比基于最小二乘預測的結果更接近實測沉降量。

4 結語

基于最小二乘的常規雙曲線法在擬合時，只考慮因變量誤差，未考慮自變量的誤差，擬合結果只能保證一個方向與實際模型最為接近；而基于總體最小二乘的雙曲線法，同時顧及了自變量與因變量的誤差，使擬合結果總體效果最佳。

參考文獻

[1] 王偉，宰金珉，盧廷浩.軟土工后沉降雙曲線模型與指數曲線模型分析[J].江蘇大學學報·自然科學版，2008，29（2）：173-176.

[2] 魏汝龍.從實測沉降過程推算固結系數[J].巖土工程學報，1993，15（2）：12—19.

[3] Tan T S，Inoue T，Lee S L.Hyperbolic Method for Consolidation Analysis[J].Geotechnical Engineering，1991，117（11）：1723—1737

[4] Tan S A.Validation of Hyperbolic Method for Settlement in Clays with Vertical Drains[J].Soils and Foundations，1995，35（1）：101一113.

[5]魯鐵定.總體最小二乘平差理論及其在測繪數據處理中的應用[D] .武漢： 武漢大學，2010.

作者簡介

汪晶（1987—），男，武漢大學大測繪工程專業，工程師，研究方向：精密工程測量與變形監測。