近世代數(shù)課程的教學探討

周潘岳 何婧

【摘 要】 近世代數(shù)課程教學在內容上要注重抓主線和知識的應用價值，加強與高等代數(shù)相關知識的聯(lián)系；在教學方法上要以具體實例引入課堂，聯(lián)系前后知識形成知識系統(tǒng)，引發(fā)和鼓勵學生主動學習的熱情。

【關鍵詞】 近世代數(shù)；教學內容；教學方法

近世代數(shù)也稱為抽象代數(shù)是數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)一門非常重要的專業(yè)必修課，其特點是高度抽象，邏輯性強，推理嚴謹。學生普遍認為是一門難懂難學的課程，加之課程由大學三年一期開設，提前到二年一期，更加大了學習難度，導致很多學生苦不堪言。但是，如果降低難度和要求，學生就不能學到應有的知識，達不到教學的效果，抽象思維能力和邏輯推理能力也得不到應有的提高，這與我們的教學目標相違背。那么如何解決學生在學習過程中認為太抽象、難度大的問題，如何提高學生的學習興趣，這給教師們提出了新的要求和挑戰(zhàn)。本文結合近世代數(shù)課程教學的情況，以文獻為例，[1]從以下方面，提出幾點建議，以供讀者參考。

一、教學內容方面

近世代數(shù)這門課程的內容涉及到大量抽象的概念、命題、定理和推論，對于剛接觸到這門課程的學生來說，學習起來無疑是非常困難的，覺得內容枯燥乏味，更不用提對這門課程的興趣。隨著我國高等教育的改革，要滿足當前社會發(fā)展的需要，必須在大學增加其它新的課程。相應的，專業(yè)教學計劃做了相應的調整，壓縮了課時。這樣一來，想要詳細的上完整本書所有的內容，這完全是不可能的。因此，上課教師應根據(jù)實際需求和其它課程安排，在不減少授課內容，保證教學質量的前提下，合理安排教學任務，調整教學節(jié)奏，激發(fā)學生的積極性和主觀能動性。

1、抓主線，教內容

教材的內容主要包括群、環(huán)、域三個部分，這是近世代數(shù)最核心的內容。在教授這三個部分過程中要抓住主線，圍繞這些主線進行系統(tǒng)的教學。例如，群的主線是群同態(tài)，它是保持運算的映射，揭示出兩個群的某些共同性質，以此來區(qū)分兩者的異同。有關群的內容都可以圍繞群同態(tài)而展開；環(huán)的主線是理想；域的主線是域擴張。如果能夠抓住這些主線，在實際教學中一定能達到事半功倍的效果。

2、注重知識的應用價值

近世代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學的一個非常重要的分支，它的基本內容是每一個數(shù)學工作者必須具備的理論知識。更重要的是，有些數(shù)學方法是很多領域的科技工作者必須掌握的，它為理論物理、分析化學、計算機科學、信息安全、通訊和密碼學等提供了數(shù)學語言，這就是這門課程強大的生命力之所在。然而，很多教師在授課的時候壓根就不談應用，只講證明，導致學生學習目的不明，不知為什么要學，學了有什么用，從而降低學生的學習興趣，缺少學習動力。

教師應時刻把握時代發(fā)展的需求，特別是對近世代數(shù)在相關領域的發(fā)展要有所了解，將所講內容聯(lián)系到實際的應用。例如，當今社會信息安全越來越重要，它不僅涉及到政治、經(jīng)濟、軍事和外交領域，與我們的日常生活也密切相關。信息安全最重要最核心的內容就是密碼學，近世代數(shù)中有限域的內容就應用在密碼學中，[2]通過講述有限域在密碼學中的應用能讓學生體會到近世代數(shù)這門課程的魅力和應用價值，也很大程度上激發(fā)他們學習的興趣。

3、加強與高等代數(shù)相關知識的聯(lián)系

近世代數(shù)是高等代數(shù)的后續(xù)課程，有很多的概念和定理是高等代數(shù)中相關概念和定理的推廣與延伸。所以，在講解這些內容的時候，和學生一起回顧高等代數(shù)中的相關內容，引導學生找到它們的相似和不同之處。比如在講授唯一分解多項式時，高等代數(shù)中講授的不可約多項式可以認為是其中的一個特例。又比如在講解域的時候，引導學生在高等代數(shù)的知識中去尋找域的具體例子，以便更好理解這些抽象概念。通過這樣的方法學習概念，符合學生從感性認識到理性認識，從表面現(xiàn)象到概念的認識規(guī)律。讓學生明白課程之間或學科之間是相互聯(lián)系的，是一個有機的整體，也能激發(fā)和維持學生的學習興趣。

二、教學方法與教學手段方面

1、以具體實例引入課堂

近世代數(shù)課程具有高度抽象，推理嚴謹，理論性強的特點，如果只是單純講授概念和定理，學生不知所云、枯燥乏味，大大影響教學效果。所以，在教學方法和內容上，教師需要特別注意激發(fā)學生的興趣。在教學中，教師應該盡量地把抽象和難懂的問題講得深入淺出，使學生容易理解和接受。在引出一個新的概念之前，教師盡量從具體的例子和問題出發(fā)，讓學生有一個從直觀到抽象的思維過程，這樣可以讓學生掌握基本概念的同時提高學生的抽象思維能力。

2、聯(lián)系前后知識，形成知識系統(tǒng)

近世代數(shù)的知識點很多，學生在學習過程中難以掌握，對相似的知識點容易混淆。教師在教學過程中要注意及時總結相關知識，形成知識系統(tǒng)，同時對相似的概念和知識點進行區(qū)別。使學生不僅能準確掌握各知識點，也能從整體上掌握近世代數(shù)的基本知識和方法。

3、由教到引，引發(fā)學生的主動學習

指導學生閱讀相關的教材，提高學生的自學能力。正如葉圣陶先生所說“所謂教師之主導作用，蓋在于引導啟迪，俾學生自奮其力，自致其知，非謂教師滔滔講說，學生默默聆受?！闭俏覀冋f的啟發(fā)式教學，教師在其中起畫龍點睛的作用。在教學過程中，教師應該多鼓勵學生上講臺，為學生提供鍛煉的機會，激發(fā)學生的主觀能動性，培養(yǎng)學生的自主學習、分析問題和解決問題的能力。

4、黑板板書與多媒體教學工具配合使用

在教學手段上，應該將傳統(tǒng)的黑板板書與多媒體等現(xiàn)代信息技術手段相結合，將教學內容中那些思想簡單、易于理解但繁瑣的過程以PPT的形式向學生演示，而對邏輯推理較多的知識，采用黑板板書的形式進行推理。這樣既可以節(jié)省大量書寫時間，又能讓學生掌握重要的思想方法，做到松緊得當，快慢適宜，有的放矢。

5、教師的鼓勵是學生前進的動力

很多學生在學習近世代數(shù)的時候都感到受挫和茫然，此時教師的鼓勵至關重要。任課教師也是他們在學習這門課程時最信任、最依賴的人。教師的期許有多高，學生在未來的道路上收獲的成果就有多大。通過期待的眼神、激勵人心的語言激發(fā)學生求知的欲望，提升學生學習這門課程的自信。記得一次期中考試，一位平時學習不認真的同學成績很不理想，當試卷發(fā)下來之后，他沮喪的問我：“老師，我只考了30分，怎么辦？”我拍拍他的肩膀說：“這次沒考好不要緊，你很聰明，我相信只要你認真努力，一定能夠學得好。”從那以后，這位同學一改以往學習態(tài)度，認真聽課，成績突飛猛進。

6、靈活多樣的課后輔導與答疑

近世代數(shù)課程難度大，內容多，課堂時間有限，想利用課堂時間將內容完全掌握理解比較困難。老師的指導和幫助能讓學生的課后練習與鞏固有更好的效果。在科技發(fā)達的時代，對學生的指導已經(jīng)不再僅局限于面對面的方式，可以使用各種交流手段靈活多樣的輔導與答疑。例如，每周安排一個固定的時間進行面對面答疑，對于那種普遍存在的問題或者難度很大的習題，組織上一次習題課，也可以隨時通過微信或QQ的視頻通話進行解決等等。雖然教材的練習題多，難度也很大，但通過這樣形式多樣，時間自由的輔導答疑方式，學生學起來就輕松很多，他們的學習興趣也就上去了，還能引發(fā)學生對很多相關問題的思考。同時，老師通過學生提問情況能及時了解學生的學習情況，有助于更好的教學，做到有的放矢，實現(xiàn)雙贏的局面。

三、結語

教學的實踐表明，近世代數(shù)的課堂教學一直存在或多或少的問題。如何上好一堂課，特別是像近世代數(shù)這么抽象的課程，需要花心思去摸索和實踐。總而言之，如何使得課堂的教學煥發(fā)出新的活力，需要教師們繼續(xù)努力，不忘初心，牢記使命，永不停息。

【參考文獻】

[1] 裴定一，郭華光.近世代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2] Yann Laigle-Chapuy. Permutation polynomials and applications to coding theory. Finite fields and their applications[J]. 2007.13（1）58-70.

【作者簡介】

周潘岳（1986-）男，湖南岳陽人，博士，湖南理工學院數(shù)學學院助理研究員，主要研究方向：代數(shù)表示論.