圖論在線性代數教學中的應用

陳富媛

摘要：圖論是組合數學的一個非常重要的分支，是離散數學的重要組成部分。圖論主要是以圖為研究對象來解決實際生活中的一系列問題。圖論可以用來模擬數學、物理、生物、社會和信息系統中的許多類型的關系和過程。本文主要研究圖論在線性代數教學中的應用。

關鍵詞：圖論；線性代數

一、線性代數的重要地位及其教學現狀

（一）線性代數的重要地位

線性代數這門課程是理科、工科、經管專業的一門重要的公共基礎課，該課程在大學數學教育中起著承上啟下的作用。該課程不僅加深了學生對高中數學知識的理解，而且該課程中的行列式、矩陣、求解線性方程組等內容對于學習后續課程及在各個學科領域中進行理論研究和實踐工作起著重要的作用。同時，該課程對培養學生的綜合能力，提高學生的數學素養都具有重要的作用。

（二）目前線性代數教學過程中存在的問題

經過多年的教學改革與實踐，線性代數課程日臻完善，然而該課程內容復雜抽象，屬于計算量較大的一門學科。傳統的教學模式方法，使得大部分學生不會靈活應用行列式、矩陣和向量等工具求解線性方程組，難以讓學生取得更好的學習成績。在教學過程中出現的問題主要體現在以下幾個方面：

第一、教學內容安排不合理。大一新生剛剛進入校園，數學思維還停留在中等數學階段，對于高等數學還沒有一個大致的了解，而線性代數的第一章就是行列式，第二章就是矩陣，而行列式、矩陣對于剛步入大學的學生來說，概念特別抽象，特別難以理解，因此學生在學習過程中頗有抵觸。

第二、線性代數課時偏少。在線性代數教學過程中，我們感觸頗深的的一點就是課時太少，而為了讓學生在期末考試中得到好的成績，我們只能著重講考試重點，對于考試不太重要的內容，我們選擇了略講或者不講，同時，由于課時的限制，我們幾乎不會帶領學生探索與線性代數有關的其他知識，由此，學生的知識面很難打開，學生的數學素養很難養成。

第三、教學內容抽象難懂。因為線性代數課程的抽象性，傳統的教學方法很難將晦澀難懂的內容講的形象生動，因此，學生對于所學的知識很難形成一個直觀的理解，甚至很多學生在課程結束后對于線性代數中的一些非常普遍的定義和定理印象特別模糊。

圖論主要是以圖為研究對象來解決實際生活中的一系列問題。隨著計算機的發展。圖論可以用來模擬數學、物理、生物、社會和信息系統中的許多類型的關系和過程，特別的，圖論在線性代數的教學過程中起著非常重要的作用。

二、圖論在線性代數教學中的重要性

（一）圖論有助于提高學生學習線性代數課程的積極性

在線性代數教學改革的過程中，運用決策樹理論，通過分析“線性代數”課程的教學內容，可以得出該課程的樹形結構。學生通過此樹形結構可以對線性代數的內容以及重點、難點一目了然。行列式、矩陣是貫穿線性代數這門課程的非常重要的工具，利用圖論知識，我們可以和學生一起構建行列式、矩陣的相關模型，通過對這些模型的研究學習，學生可以對行列式、矩陣有一個清晰直觀的了解，并且學生在主動構建模型的過程中，也增加了對數學的興趣和學習的積極性。

（二）圖論可以使抽象的概念具體化，提升教學效果

例如，在講授矩陣這一內容時，為了加深學生對概念的理解，我們引入圖論中的關聯矩陣，并且給出相關的圖形；在研究向量組的線性相關性時，為了讓學生有一個直觀的了解，我們引入超圖的概念，并且給出相關的圖形；在講授向量組的等價性，為了使抽象的問題具體化，我們引入團的概念，并且給出相關的圖形。

由于圖論在線性代數教學中非常重要，在未來的線性代數教學中，我們應該把線性代數和圖論結合起來，為學生打開一扇神奇而有趣的門。

三、圖論融入線性代數教學的具體措施。

（一）適當介紹線性代數課程的背景知識

任何一門學科，了解它的起源、發展和應用對于學生學習和掌握該課程的思想方法及運用都有著深刻的意義。因此在上線性代數的第一堂課時，我們應該對于線性代數課程的背景和起源做相應的介紹。

（二）做好高中數學和大學數學的教學銜接

大一新生剛剛步入校園，數學素養還沒有養成，邏輯推理能力還沒有得到系統的培訓，我們在上線性代數課時，應該充分考慮到學生的上述情況，先復習高中數學中的求解線性方程組，然后由求解線性方程組引入行列式的概念。通過做這些工作，學生可以更好地從中等數學的學習思維過渡到高等數學的學習思維。

（三）在教學中培養學生的數學建模思維

在常規的教學模式下，學生雖然從課堂上學習了大量的概念、公式和定理，但對于它們的實際用途卻了解較少，很容易造成理論與實際的脫節，而數學建模是應用數學知識解決實際問題的重要手段和途徑。因此，在教學過程中我們應該引入適當的實際問題，引導學生利用圖論理論構建數學模型，達到用所學的線性代數知識去分析、解決生活中遇到的實際問題的目的。

事實證明，圖論在線性代數的教學過程中發揮著非常重要的作用，教師應該在自己的教學安排中，引導學生運用圖論理論構建數學模型，達到用所學的線性代數知識去分析、解決生活中遇到的實際問題的目的。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系編.工程數學線性代數（第六版），高等教育出版社，2014.

[2]徐俊明，圖論及其應用（第三版），中國科學技術大學出版社，2010.

本文受安徽財經大學校級教研項目“翻轉課堂在財經類高校線性代數探索”資助。