對有理函數極限的再認識

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(青島大學數學與統計學院)

一、理論背景

對剛剛步入大學校門的學生們來說，中學階段形成的思維方式成為影響大學數學學習的重要因素，他們頭腦中已有的知識儲備和思維模式往往決定了他們解決數學任務時的策略。而課堂中不同的數學課堂實踐活動又決定著學生的推理活動，從而影響學生對數學任務的理解模式和思維方式。

Freudenthal提出了基于現實數學教育的“再創造”教學方法，這種方法是將數學作為一種活動來進行解釋和分析。數學實踐作為一種特殊的活動，教師應按照以下四個要素來指導教學：任務(活動的性質和目標)；技巧(相應于任務的技巧)；技術(判斷該技巧的技術)；理論(支撐該技術的理論)。這里的“技術”可以是概念、程序或法則，它是關于數學技巧的論述，也就是讓實踐者來回憶、思考并發現這個技巧。而“理論”則是為定義概念、判斷程序及法則提供清晰的知識體系和結構框架。

然而，目前的大學數學教育在傳統評價體系的束縛下，常規性的操作練習和考試測驗成為檢驗學生的重要而且唯一尺度。但是，這些標準化的數學實踐活動對學生思維方式的發展并沒有太大的作用，甚至在一定程度上是阻礙了學生能力的發展。更糟糕的是我們的教學法卻一直在傳授這些要“教”或“考”的知識，而各自的技術和理論卻在呈現逐年削弱的趨勢。

二、教學實踐

《高等數學》在講授極限的運算法則時，教材中會涉及有理函數極限的計算問題。

從具體案例可以看出，有理函數極限的計算似乎都在強調解題的技巧，從教學法的角度來看，這種教學模式僅僅是停留在代數運算階段，學生所獲取的知識也只是一些零散的小技巧而已。而真正體現數學思想和方法的理論模塊則根本沒有涉及到，也就是沒有真正告知學生這些技巧背后的理論。

三、調查結果

教師在處理有理函數的極限計算問題時，他們應當意識到“約掉零因子”這個技巧不僅僅是中學階段的因式分解問題，更重要的是反應出極限的理論即“兩個函數除了一個點外處處相等，則兩個函數在該點的極限相同”。這種極限理論關注的則是極限的ε-δ定義，而我們的絕大多數教師則很少或幾乎沒有關注到這些理論，因此這種數學教學就導致了理論和計算的脫鉤，數學學習在學生看來就成為純粹的代數運算和技巧的使用。

學生的這種感知并非是空穴來風，我們在一項問卷測試和訪談中發現，很多學生把有理函數的極限計算完全歸結為因式分解問題。通過整理分析學生的回答，我們發現學生把這種任務類型分成了兩類：

這時，表達式中的多項式通常是可以利用一些代數技巧來因式分解，如“平方差公式”“分配性質”，等等。他們通常認為這種涉及多項式的極限計算問題不可能僅僅通過代入即可求得，一般會考察其他的一些知識點。

四、教學啟示

學生的這種自發的知識模型讓我們充分意識到，常規的習題訓練和標準化的考試題目對他們的數學感知產生了重要的影響。學生似乎是按照有理函數的表達式形式將極限分成了不同的任務類型，而不是按照微積分的規范如未定式類型等。

由于傳統的關于有理函數的極限考試題、教材練習、課堂例題以及隨堂測驗大都是涉及二次或三次多項式，因此學生自然會認為這是一種社會規范。這無疑給我們的數學教學敲響了警鐘，學生并不是基于數學的規范把極限進行分類的，而是基于認知、社會及教學法的規范；從學生認知角度看，他們普遍認為“如果一個多項式很容易因式分解，那就分解吧”，他們也表示“一看到x2-9這種多項式，大腦就異常興奮”；而且在實際教學中，教師給學生的題目任務往往通過因式分解就能解決，在學生看來這是一個有效的解決數學任務的策略。學生的這種感知并非是從數學角度出發的，離開數學規則而大談技巧或常規，這在一定程度上可以說是數學教育的失敗。

數學課堂要教的知識絕不是為評價學生而設定的常規性任務及相應的技巧，更重要的是要傳授給學生這些運算(活動)所依托的理論(技術)，這是數學教育最重要的也是最根本的任務。

[1]Lithner，J. Students’ mathematical reasoning in university textbook exercises.Educational Studies in Mathematics， 2003，(52)：29.

[2] Freudenthal，H.Mathematics as an Educational Task，Reidel，Dordrecht.1973.

[3]Freudenthal，H.Revisiting Mathematics Education.China Lectures，Kluwer，Dordrecht-Boston-London.1991.

[4]Hardy，N.Students' perceptions of institutional practices：the case of limits of functions in college level Calculus courses.Educational Studies in Mathematics，2009，(72)：341.

[5]同濟大學數學教研室.高等數學(第六版)[M].北京：高等教育出版社，2002.