正交異性薄膜非線性振動(dòng)分析

何澤青, 張冬輝, 宋 林, 栗穎思, 王 生

(1． 中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 材料科學(xué)與光電技術(shù)學(xué)院， 北京 100190； 2． 中國(guó)科學(xué)院 光電研究院， 北京 100094)

隨著浮空器研究的迅速發(fā)展和新興建筑領(lǐng)域的興起，現(xiàn)代復(fù)合膜材料由于其高強(qiáng)、輕質(zhì)、柔軟、化學(xué)穩(wěn)定等特性得到了廣泛的應(yīng)用[1]。膜結(jié)構(gòu)由于質(zhì)量輕、張力大，普遍存在大變形、低頻率的振動(dòng)特點(diǎn)，當(dāng)薄膜結(jié)構(gòu)的固有頻率與外界激勵(lì)頻率非常接近時(shí)，結(jié)構(gòu)極容易發(fā)生共振甚至導(dǎo)致破壞，因此膜結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題引起了人們的廣泛關(guān)注，對(duì)于膜結(jié)構(gòu)自振特性的研究也就顯得尤為必要。

當(dāng)前對(duì)于膜結(jié)構(gòu)振動(dòng)研究主要分為線性領(lǐng)域和非線性領(lǐng)域。在線性領(lǐng)域，文獻(xiàn)[2]對(duì)于各向同性張拉薄膜的自由振動(dòng)進(jìn)行了理論分析，并對(duì)具有規(guī)則外形的矩形和圓形薄膜的振動(dòng)頻率和振型進(jìn)行了理論求解；文獻(xiàn)[3]根據(jù)哈密頓原理建立了薄膜法向振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，求得周邊固定圓形薄膜、扇形薄膜自由振動(dòng)的理論解；文獻(xiàn)[4]求解了各向同性的雙向受力不等的矩形、圓形、橢圓形平面薄膜的自振頻率與振型，并給出了任意外形邊界的平面薄膜的近似解，但分析中并未考慮薄膜正交異性情況，同時(shí)動(dòng)力學(xué)方程中也未體現(xiàn)出非線性對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響；文獻(xiàn)[5]構(gòu)造了6節(jié)點(diǎn)三角形單元，根據(jù)哈密頓原理建立薄膜自由振動(dòng)方程，并推導(dǎo)其單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧|(zhì)量矩陣。文獻(xiàn)[6]用Bessel函數(shù)作為薄膜橫向振動(dòng)偏微分方程的解，建立復(fù)雜邊界固有頻率求解模型，并對(duì)圓形、L-形、分段圓弧邊界平面張 不拉薄膜固有頻率進(jìn)行求解，分析了邊界幾何參數(shù)對(duì)薄膜固有頻率的影響。文獻(xiàn)[7]建立了薄膜二維振動(dòng)的偏微分方程，并對(duì)無(wú)限大薄膜的二維受迫振動(dòng)一般方程進(jìn)行了求解。以上模態(tài)分析均是建立在初始幾何形態(tài)上，沒(méi)有考慮結(jié)構(gòu)法向位移對(duì)其幾何形態(tài)的影響，這在小變形假定下是可以接受的。但是，膜結(jié)構(gòu)本身由于具有較強(qiáng)的幾何非線性特點(diǎn)，其大變形效應(yīng)對(duì)曲面本身有一定的修正作用，同時(shí)其形態(tài)的不穩(wěn)定必然會(huì)對(duì)其剛度矩陣產(chǎn)生較大的影響。

在非線性領(lǐng)域，目前主要有能量法、范式理論方法、同倫攝動(dòng)法和迭代攝動(dòng)法等對(duì)非線性振動(dòng)展開(kāi)近似求解。文獻(xiàn)[8]基于能量原理求出非線性系統(tǒng)的一次近似解析解，然后利用牛頓迭代思想得到周期系數(shù)微分方程，最后根據(jù)諧波平衡原理及最小二乘法求其高次近似解。文獻(xiàn)[9]拓展了范式方法，改進(jìn)了Nayfeh關(guān)于響應(yīng)頻率的提取，使其可以研究強(qiáng)非線性振動(dòng)問(wèn)題。文獻(xiàn)[10]利用微分求積法計(jì)算了變密度薄膜的橫向振動(dòng)，獲得了系統(tǒng)無(wú)量綱復(fù)頻率與密度系數(shù)、薄膜張力比的關(guān)系曲線。文獻(xiàn)[11]應(yīng)用了一種推廣的平均法研究強(qiáng)非線性振子的共振響應(yīng)，并與數(shù)值積分法進(jìn)行了對(duì)比。文獻(xiàn)[12]通過(guò)兩個(gè)典型張拉膜結(jié)構(gòu)工程實(shí)例采用Lanczos法研究了膜面初張力、膜面矢高和膜材質(zhì)量對(duì)自振特性的影響，分析結(jié)果表明膜面張力與結(jié)構(gòu)質(zhì)量是影響膜結(jié)構(gòu)自振特性的主要因素，大變形產(chǎn)生的位移修正效應(yīng)對(duì)膜結(jié)構(gòu)自振特性也有較大的影響。文獻(xiàn)僅是通過(guò)仿真分析對(duì)上述現(xiàn)象進(jìn)行闡述，并未從理論上對(duì)其進(jìn)行分析和說(shuō)明。

本文將參考Qian的研究對(duì)于各向同性的雙向受力不等平面薄膜的振動(dòng)分析，對(duì)正交異性薄膜振動(dòng)進(jìn)行數(shù)理分析，建立薄膜振動(dòng)的平衡微分方程，同時(shí)更進(jìn)一步的根據(jù)薄膜振動(dòng)的大撓度理論[13-14]引入其動(dòng)力學(xué)方程的非線性項(xiàng)，考慮薄膜的正交異性和振動(dòng)中的非線性特點(diǎn)，對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解，得出非線性振動(dòng)頻率的解析解，目的是明確非線性因素對(duì)于振動(dòng)頻率的影響。同時(shí)為了提高理論研究在工程應(yīng)用中的便利性，通過(guò)對(duì)方程解析解進(jìn)行合理簡(jiǎn)化，得到一種簡(jiǎn)單精確，適用于工程需要的非線性頻率計(jì)算公式。

1 動(dòng)力學(xué)方程

1.1 動(dòng)力學(xué)微分方程

建立如圖1所示的坐標(biāo)系，在振動(dòng)的膜上選取一振動(dòng)的微單元，l1和l2為微元表面的弧線，l1與XOZ平面平行，l2與YOZ平面平行。

圖1 振動(dòng)的膜微元Fig.1 Vibrating micro-membrane unit

在微元dy邊界，單位長(zhǎng)度的張力為Nx，沿微元切線方向，與X坐標(biāo)軸夾角為α，因此作用在x端的單位長(zhǎng)度的張力在Z軸方向的分量為Nxsinα，由于α較小，則有sinα≈tanα，用w表示膜面上一點(diǎn)在振動(dòng)中的撓度，因此有

于是作用在整個(gè)dy邊上的Z軸方向的力為

而在x+dx端的Z軸方向的力應(yīng)為

由此可得在該面元的x與x+dx邊上Z軸方向的合力為

同理，作用在dx邊界上的的張力在Z軸方向的合力可以表示為

所以作用在整個(gè)微元上Z軸方向的合力為

設(shè)膜的面密度為ρ，則微元的質(zhì)量為ρdxdy，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理可寫(xiě)出微元的運(yùn)動(dòng)微分方程

整理后可得

(1)

式中：Nx為微元dy邊界單位長(zhǎng)度的張力，沿微元切線方向；Ny為微元dx邊界單位長(zhǎng)度的張力，沿微元切線方向；w為微元撓度；ρ為微元的面密度。

對(duì)于受預(yù)張力薄膜在法向載荷下的振動(dòng)微分方程，在式(1)中加入預(yù)張力和法向載荷項(xiàng)，就可以得到在法向載荷作用下，正交異性雙向受力不等的預(yù)張力薄膜振動(dòng)微分方程

(2)

式中：Nox為微元dy邊界單位長(zhǎng)度的預(yù)張力，沿微元切線方向；Noy為微元dx邊界單位長(zhǎng)度的預(yù)張力，沿微元切線方向；p(x,y,t)為微元法向載荷。

1.2 變形協(xié)調(diào)方程

根據(jù)彈性大撓度理論[15]，薄膜變形后，其應(yīng)變由線性和非線性兩部分組成。其中，線性應(yīng)變由面內(nèi)位移u,v引起，非線性應(yīng)變由撓度w引起，因此總的應(yīng)變?yōu)?/p>

(3)

式中：εx為微元沿l1方向的應(yīng)變；εy為微元沿l2方向的應(yīng)變；γxy為切應(yīng)變；u為微元沿l1方向的面內(nèi)位移；v為微元沿l2方向的面內(nèi)位移。

將式(3)中的位移u，v消去后可得膜面應(yīng)變與撓度必須滿足的變形連續(xù)條件，即相容方程

(4)

1.3 物理方程

根據(jù)膜材料的均勻性與正交異性假定，纖維方向?yàn)閺椥灾鞣较颍钇渑cl1，l2方向一致。按正交異性理論，l1和l2兩個(gè)方向的彈性模量分別為E1和E2，剪切模量為G12，徑向泊松比為μ1，緯向泊松比為μ2，彈性模量與泊松比滿足下面的關(guān)系式

(5)

根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變物理方程關(guān)系式有

(6)

即有

(7)

式中：σx為微元dy邊界的正應(yīng)力，沿微元切線方向；σy為微元dx邊界的正應(yīng)力，沿微元切線方向；τxy為微元切應(yīng)力；h為膜材厚度。

將式(7)代入相容方程式(4)中，得到{N}用w表示的相容方程

(8)

1.4 控制方程組的建立

總結(jié)以上內(nèi)容，可得正交異性薄膜非線性振動(dòng)問(wèn)題的控制方程組為

(9)

式中：Nox為微元dy邊界單位長(zhǎng)度的預(yù)張力，沿微元切線方向；Noy為微元dx邊界單位長(zhǎng)度的預(yù)張力，沿微元切線方向；Nx為微元dy邊界單位長(zhǎng)度的張力，沿微元切線方向；Ny為微元dx邊界單位長(zhǎng)度的張力，沿微元切線方向；Nxy為微元的面內(nèi)剪切力；ρ為微元的面密度；h為微元厚度；E1為微元沿l1方向的彈性模量；E2為微元沿l2方向的彈性模量；G12為剪切模量；μ1為微元沿l1方向的泊松比；μ2為微元沿l2方向的泊松比；w=w(x,y,t)為微元撓度；p(x,y,t)為微元法向載荷。

在薄膜振動(dòng)過(guò)程中，根據(jù)膜面無(wú)矩?zé)o剪力假定[16]，同時(shí)引入應(yīng)力函數(shù)φ(x,y,t)[17]

(10)

對(duì)于自由振動(dòng)薄膜，取其法向力p(x,y,t)=0，將式(10)代入式(9)，則控制方程組為

(11)

2 方程簡(jiǎn)化

2.1 初始條件與邊界條件

以四周固支的矩形薄膜為例，如圖2所示。

圖2 四周固支的矩形薄膜Fig.2 Rectangular membrane with four edges clamped

在矩形薄膜邊界處，其撓度在振動(dòng)過(guò)程中始終為零，并且運(yùn)動(dòng)的速度也為零，即薄膜應(yīng)滿足如下邊界條件：

x=0或a時(shí)

(12)

y=0或b時(shí)

(13)

t=0時(shí)

(14)

以上三組邊界和初始條件即為薄膜在振動(dòng)過(guò)程中的定解條件，在確定薄膜的模態(tài)參數(shù)時(shí)將會(huì)用到。

2.2 控制方程組簡(jiǎn)化

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)w(x,y,t)采用分離變量法進(jìn)行求解，設(shè)滿足邊界條件的位移函數(shù)為[18]

式中：w(x,y,t)為膜面撓度；m為x方向的節(jié)線數(shù)，取正整數(shù)；n為y方向的節(jié)線數(shù)，取正整數(shù)；a,b為矩形膜面的邊長(zhǎng)；X(t)為膜面撓度最大值的時(shí)間函數(shù)。

將上式只取一項(xiàng)進(jìn)行求解，再將最終結(jié)果按上式進(jìn)行求和計(jì)算，并不影響最終結(jié)果，則可以得到

(15)

將式(15)代入式(11)的第二式可以得到

(16)

(17)

將式(17)代入式(16)可得

將式(17)代入邊界條件式(12)和式(13)可得

將上面所得的系數(shù)ki代入式(17)可得

(18)

將式(18)代入式(10)的前兩式可得

(19)

(20)

將式(15)、式(19)、式(20)代入式(11)的第一式可得

(21)

(22)

3 方程求解

根據(jù)式(22)的推導(dǎo)得到薄膜振動(dòng)頻率方程的非線性表達(dá)式，對(duì)于式(22)可以采用利茲-伽遼金法進(jìn)行求解[19]，取權(quán)函數(shù)為W,構(gòu)造積分方程為

(23)

其中，

式(23)為一個(gè)典型的非線性振動(dòng)Duffing方程[20]，由于X3(t)的系數(shù)B并非為一個(gè)微小量，因此式(23)為一個(gè)強(qiáng)非線性振動(dòng)方程。

3.1 方程的解析解

根據(jù)方程(23)可得

(24)

由式(15)可知，當(dāng)t=0時(shí)有

令X(0)=A，表示初始時(shí)刻(t=0)膜面撓度的最大值，有

根據(jù)邊界條件式(14)，當(dāng)t=0時(shí)

將上式再次代入式(24)，有

(25)

對(duì)上式進(jìn)行變量分離，得

薄膜從平衡位置到最大位移A處需要經(jīng)歷1/4周期，因此對(duì)上式展開(kāi)積分

則可以得到薄膜振動(dòng)的周期T為

(26)

將上式代入式(26)并進(jìn)行積分可得

將p和q代入上式，則可以得出薄膜振動(dòng)的頻率f為

(27)

式(27)即為正交異性薄膜非線性振動(dòng)頻率的解析解的表達(dá)式。由上式可見(jiàn)，薄膜振動(dòng)頻率的非線性解不僅包含其頻率的線性部分，同時(shí)還與薄膜經(jīng)緯方向的彈性模量有關(guān)，并且受薄膜振動(dòng)初始位移的影響。

3.2 方程的近似解

根據(jù)邊界條件式(14),可以設(shè)式(23)的解為

X(t)=Acos(ωt)=Acosφ=X

取權(quán)函數(shù)為cosφ，代入式(23)，并經(jīng)由伽遼金法在一個(gè)周期T內(nèi)積分得

(28)

將X=Acosφ代入式(28)，可得

(29)

由式(29)可得

得出

即

(30)

式(30)即為正交異性薄膜非線性振動(dòng)頻率的近似解的表達(dá)式。

3.2 非線性項(xiàng)對(duì)頻率的影響分析

對(duì)于薄膜振動(dòng)微分方程式(23)，若令其非線性項(xiàng)系數(shù)B=0，則可以得到標(biāo)準(zhǔn)的線性振動(dòng)微分方程

(31)

對(duì)式(31)進(jìn)行求解則可以得到薄膜振動(dòng)頻率的線性頻率f0的表達(dá)式為

(32)

由式(30)和式(32)可得

(33)

令

從式(23)可知，B,K>0，因此ε>0，則式(33)可轉(zhuǎn)化為

(34)

從式(34)可以看出，薄膜的非線性自由振動(dòng)仍然為周期振動(dòng)，但振動(dòng)的頻率值隨薄膜初始位移A的變化而變化，而不同于線性系統(tǒng)的固有頻率，如圖3所示。

圖3 非線性自振頻率-初始位移曲線Fig.3 Nonlinear frequency according to different initial displacement

4 算例分析

以圖2所示的四周固支矩形薄膜為例，分別對(duì)其自振頻率的線性解、非線性解析解和非線性近似解進(jìn)行計(jì)算，并展開(kāi)比較分析。薄膜參數(shù)為：a=2 m，為薄膜長(zhǎng)邊長(zhǎng)度；b=1 m，為薄膜短邊長(zhǎng)度；ρ=0.12 kg/m2，為薄膜面密度；Nox=5 000 N/m，為膜面x向預(yù)張力；Noy=2 500 N/m，為膜面y向預(yù)張力；h=0.16 mm，為薄膜厚度；E1=0.8 GPa，為薄膜x向彈性模量；E2=0.6 GPa，為薄膜y向彈性模量。

4.1 自振頻率的線性解

將K代入式(32)，則可以得到薄膜自振頻率的線性解公式

(35)

從式(35)中可以看出，由于并未考慮正交方向不同的彈性模量的影響以及撓度引起的薄膜面內(nèi)應(yīng)力的變化所帶來(lái)的影響，而是按均勻各向同性材料來(lái)考慮，因此其線性頻率值僅與初始條件以及邊界條件有關(guān)。下面將對(duì)其前八階線性頻率進(jìn)行計(jì)算，如表1所示。

表1 自振頻率的線性解

4.2 自振頻率的非線性理論解

根據(jù)式(27)計(jì)算振動(dòng)頻率的解析解。首先以一階(m=1,n=1)頻率為例，確定其收斂性。

編制程序，取初始位移A=0.02 m，計(jì)算f11與j的關(guān)系如表2所示。

表2 解析解的收斂性

從表2可以看出，當(dāng)j≥2時(shí)，計(jì)算結(jié)果即收斂于穩(wěn)定值，可以判定頻率的解析解是快速收斂并趨于穩(wěn)定的。

根據(jù)式(27)，取j=100，則正交異性薄膜非線性振動(dòng)前八階頻率的解析解，如表3所示。

表3 自振頻率的非線性解析解

自振頻率的解析解隨初始位移變化情況如圖4所示。

從表3可以看出，當(dāng)初始位移為0時(shí)，薄膜的自振頻率與其按小撓度計(jì)算得到的線性解相同；而從圖4可以看出，隨著初始位移的增加，薄膜的自振頻率也逐漸變大，這是由于隨著初始位移的增加，薄膜面內(nèi)應(yīng)力增大，導(dǎo)致薄膜剛度增大，從而引起其振動(dòng)頻率變大。

圖4 前八階頻率-初始位移曲線Fig.4 The first eight modal frequencies according to different initial displacement

4.3 自振頻率的非線性近似解

式(30)為經(jīng)由伽遼金算法得出的正交異性薄膜非線性振動(dòng)頻率的近似解，其頻率公式為

其前八階計(jì)算頻率如表4所示。

表4 自振頻率的非線性近似解

薄膜自由振動(dòng)前三階理論解與近似解的對(duì)比如圖5～圖7所示。

圖5 一階頻率-初始位移曲線Fig.5 The first order frequency according to different initial displacement圖6 二階頻率-位移曲線Fig.6 The second order frequency according to different initial displacement圖7 三階頻率-位移曲線Fig.7 The third order frequency according to different initial displacement

圖5～圖7顯示了薄膜一～三階頻率的理論解與近似解隨初始位移的變化情況。從圖中可以看出，近似解與理論解吻合情況良好，二者的誤差隨著初始位移的增加而逐漸增大，表4中的最大誤差僅為1.46%。更進(jìn)一步的，當(dāng)A→∞時(shí)，頻率的近似解與理論解的比值為即對(duì)于任意的初始位移，近似解與理論解的最大誤差不超過(guò)3.86%。

5 結(jié) 論

本文通過(guò)建立正交異性薄膜的非線性振動(dòng)微分方程并對(duì)其進(jìn)行求解，得到了其振動(dòng)頻率的理論解，同時(shí)利用伽遼金法對(duì)方程進(jìn)行了簡(jiǎn)化求解，并得到了其近似解。利用此兩種解分別對(duì)四邊簡(jiǎn)支矩形正交異性薄膜結(jié)構(gòu)的線性頻率和非線性自由振動(dòng)頻率分別進(jìn)行了求解計(jì)算和對(duì)比，結(jié)果表明：

(1)薄膜結(jié)構(gòu)線性振動(dòng)分析僅適用于小撓度情況。

(2)隨著薄膜初位移的增加，導(dǎo)致薄膜面內(nèi)剛度變大，進(jìn)而引起其頻率變大。

(3)本文得到的薄膜自振頻率的近似解簡(jiǎn)單實(shí)用，且具有較高的精度，對(duì)于任意的初始位移，按近似解表達(dá)式計(jì)算的結(jié)果與理論解的最大誤差不超過(guò)3.86%，完全能夠滿足工程精度的要求。

綜上所述，文中通過(guò)解析方法對(duì)正交異性薄膜的非線性振動(dòng)展開(kāi)分析，建立了結(jié)構(gòu)的振動(dòng)微分方程，方程在推導(dǎo)過(guò)程中并未對(duì)薄膜的結(jié)構(gòu)形態(tài)進(jìn)行特殊設(shè)定，因此其表達(dá)式是通用的，對(duì)于復(fù)雜形態(tài)的薄膜結(jié)構(gòu)同樣適用，當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式和邊界條件明確時(shí)，可以通過(guò)解析方法得出非線性系統(tǒng)的理論解或近似解。相較于數(shù)值方法，解析法由于不存在截?cái)嗾`差和舍入誤差，因此具有更高的精度，同時(shí)避免了數(shù)值方法在迭代計(jì)算過(guò)程中可能出現(xiàn)的不易收斂問(wèn)題。為了提高分析結(jié)果的工程適用性，文中利用伽遼金法對(duì)非線性振動(dòng)的Duffing方程進(jìn)行求解并對(duì)結(jié)果展開(kāi)誤差分析，得到的近似解不僅適用于線性和弱非線性系統(tǒng)，對(duì)強(qiáng)非線性系統(tǒng)同樣適用，因此具有較大的適用范圍和較高的精度，豐富和完善了非線性振動(dòng)的研究，其研究結(jié)果為浮空器和建筑膜結(jié)構(gòu)的工程設(shè)計(jì)提供了理論計(jì)算依據(jù)。

參 考 文 獻(xiàn)

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