基于小波相關性的簡支梁橋損傷評估方法

閆宇智， 戰家旺， 張 楠， 夏 禾， 李 明， 胡所亭

(1. 北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044； 2. 高速鐵路軌道技術國家重點實驗室，北京 100891)

橋梁結構是交通運輸系統中的樞紐工程，其健康狀態影響著交通系統的正常運轉，關系到社會穩定和人民群眾的切身利益。隨著我國橋梁建設的迅速發展，橋梁垮塌以及橋梁嚴重受損等工程事故不斷發生，造成大量人員傷亡和財產損失[1]。因此橋梁結構的健康狀況檢測和評估逐漸受到重視，也漸漸成為橋梁工程研究的熱門方向[2-3]。

橋梁健康狀態評估方法主要分為靜力法和動力法兩種。其中，基于動力測試的橋梁結構健康狀態評估方法因其測試方便、快捷、經濟、不需要中斷交通等優勢而受到越來越多的關注[4-5]。橋梁動力評估方法的基本思想是：以結構損傷前后的位移、速度、加速度等動力響應或者頻率、振型、曲率模態等模態參數的變化為基本依據，對結構的健康狀態加以評定。

結構損傷動力識別方法可分為無模型損傷識別方法和基于有限元模型的損傷識別方法兩種。小波分析法是近些年發展起來的一種無模型損傷識別方法：余竹等[6]對損傷簡支梁的位移響應進行連續小波變換，表明可以通過小波變換模極大值確定損傷的位置；Chang等[7]對簡支梁的模態振型做Gabor小波變換，由其系數峰值可以檢測到裂縫的位置；任東華[8]提出了基于鐵路橋墩模態參數小波變換的損傷識別方法。這些方法都是通過小波變換對信號的局部微小變化較為敏感的特性來進行損傷識別的，然而其大多只能對損傷進行定位，并不能達到對損傷定量識別的目的?；谀Ｐ托拚碚摰慕Y構損傷識別方法是發展較為完善的一種基于有限元模型的損傷識別方法：戰家旺等[9]利用模態頻率和模態振型構造目標函數，對橋梁下部結構的損傷進行定位和定量識別；楊雅勛[10]提出了基于灰關聯曲率絕對差的損傷識別指標，并采用簡支梁橋數值模型對其進行了驗證。這些方法可對結構損傷進行定位和定量識別，然而在實際應用中，識別參數的數量很容易受到振動測試技術的制約。

在上述背景下，本文綜合既有模型修正技術和小波分析方法的優勢，提出了一種以小波相關性構造目標函數，采用模型修正技術對橋梁結構進行損傷識別的方法。該方法以移動荷載作用下的橋梁位移響應為研究對象，采用先定位后定量的損傷分步識別方法。進一步提出了橋梁損傷邊界逼近分析方法，可實現對未知病害的精確定位和損傷程度的精細化識別。

1 小波相關性指數及計算方法

對于橋梁而言，行駛的車輛是其最主要的活載，因此研究移動荷載作用下橋梁的動力響應具有十分重要的意義。假設N個單元的簡支梁橋為等截面(EI為常數，損傷位置除外)，恒載質量均勻分布(單位長度梁的質量m為常數)，阻尼為黏滯阻尼，當移動力荷載P(t)以勻速V在損傷梁上移動時(見圖1)，梁的運動滿足小變形理論并在彈性范圍內，此時梁的運動方程可以表示為

(1)

式中：δ為Dirac函數； 位移y(x,t)可根據振型分解法寫成廣義坐標形式

(2)

式中：qi(t)為第i階廣義振型坐標；φi(x)為第i階模態振型。從式(2)中可知，當已知結構的各階模態振型φ(x)， 便可以求得移動荷載作用下簡支梁的位移y(x,t)。由位移互等定理[11]可知，移動荷載作用下的位移響應可代替模態振型作為小波變換損傷識別的輸入。

圖1 移動荷載作用下的簡支梁橋Fig.1 Simply-supported bridge under moving loads

由圖1可知， 雖然在剛度變化截面a的左右兩側EI(a+)≠EI(a-)，但結構(豎向位移、轉角、彎矩和剪力)仍應滿足變形協調條件和內力平衡條件

(3)

小波變換是一種信號時頻域分析工具，它可以同時在時域和頻域內對信號進行分析。小波具有多分辨率的特點，正是這種特性使得小波變換具有對信號的自適應性。由于對信號進行小波變換后求二階導數等價于用小波函數的二階導數對信號進行小波變換[12]，因此本文選取滿足消失距的墨西哥帽小波(Gauss函數的二階導數的相反數)作為母小波函數

(4)

對移動荷載作用下結構x0位置處的位移響應時程進行連續小波變換

(5)

式中：ψ*(t)為復共軛；s和u分別為尺度因子和平移因子。由于損傷位置處二階導數不等，使得信號在損傷位置處發生突變，通過檢測突變位置即可對損傷進行定位。

在分析尺度s的選擇上，原則上來講尺度越小越能反映奇異點的局部特性；但是現實中我們往往還需要考慮動力效應和噪聲的影響，尺度越小，其小波系數就會越大，對損傷識別結果的干擾也就會越大。綜合考慮以上因素，選擇合理的尺度范圍可更加方便的發現奇異點。

為了對損傷進行定量評估，提出了小波相關性的概念。小波相關性(Wavelet Transform Correlation， WTC)反映了兩條不同信號曲線進行小波變換后同一尺度下的相關程度，它對簡支梁的剛度矩陣的變換非常敏感。例如，實測簡支梁位移在尺度k下的小波系數曲線Wtk與相同尺度下的理論簡支梁小波系數曲線Wak之間的WTC指數為

(6)

對于簡支梁而言，當有限元模型與實際簡支梁結構趨于吻合時，WTC指數計算結果趨近于1；相反當實際簡支梁結構發生損傷時，其位移響應的小波系數線Wtk在損傷區域附近會發生明顯突變，此時，WTC指數計算結果也將發生變化，損傷程度越大，WTC指數越趨近于0?；趽p傷程度和WTC指數的映射關系，即可實現對簡支梁損傷的定量評估。

2 基于小波相關性的損傷識別方法

本文在既有模型修正方法的基礎上，以移動荷載作用下的橋梁位移響應為研究對象，提出了基于小波相關性的損傷識別方法，其損傷識別流程如圖2所示。

圖2 簡支梁橋健康狀態動力評估流程Fig.2 Flowchart of simply-supported bridge dynamic assessment

步驟1對實際橋梁結構施加移動荷載，拾取結構的位移響應，并采用連續小波變換對響應進行分析，得到實際多階模態頻率和多尺度小波系數曲線。

步驟2選取合理尺度的小波系數曲線，對其奇異性進行判別，實現橋梁損傷的定位識別。

步驟3建立有限元模型，對有限元模型施加移動荷載，拾取對應位置處的位移響應，并對其進行重采樣處理，使得有限元模型與實際橋梁結構在移動荷載通過時的采樣點數保持一致，并得到理論多階模態頻率和多尺度小波系數曲線。

步驟4基于模態頻率和WTC指數構造目標函數，通過優化迭代方法識別簡支梁結構損傷定位區域的整體狀態指數，最終實現橋梁損傷的定量識別。

基于上述損傷識別流程，即可實現簡支梁橋多個位置病害的同步定位和分步定量識別。并將其應用于鐵路橋梁的損傷評估中。該方法與其他模型修正方法類似，本質上是一種結構優化求解問題。

2.1 橋梁損傷模擬

一般認為損傷并不改變結構的質量，僅改變其剛度。剛度EI因病害發生變化時，一般假定截面慣性矩I不改變，而用降低彈性模量E來模擬。將簡支梁模型的全橋彈性模量均分為n個損傷區段，假設E0j為橋梁第j個損傷區段的初始設計彈性模量，Edj為發生病害后該區段的彈性模量， 則第j個損傷區段的損傷指數αj(0≤αj≤1)定義為

(7)

可用上述各損傷區段的損傷指數構成向量來描述簡支梁的整體狀態指數

α={α1,a2,…,αn}

(8)

通過橋梁整體狀態指數的變化，即可對橋梁各個部位的健康狀態進行定位和定量評估。

2.2 模型修正優化算法

結構模型修正中，目標函數是描述有限元模型特性與實際結構特性相關程度的表達式，表示模型與實際結構之間的誤差。實際結構發生損傷時，測點位移響應的WTC指數會發生明顯變化，因此可基于該指標對結構的損傷進行識別。本文采用模型與實際結構的模態頻率和WTC指數差值構造目標函數

(9)

式中：λai和λti為橋梁第i階理論和試驗的模態頻率值；mf為實測頻率的階數；η1和η2為基于各階頻率的目標函數與基于WTC指數的目標函數在總目標函數中的權重系數，反映了各子目標函數在總目標函數中的相對重要性。

與傳統基于模態參數的目標函數相比，該目標函數具有如下特點：

(1) 直接利用有限元模型和實際橋梁結構小波系數曲線的形狀相似性，不需要精確的位移幅值，減少了測試誤差和噪聲的影響。

(2) 對損傷梁進行識別時，僅需在梁上布置一個位移測點即可對簡支梁的損傷進行定位和定量識別，操作簡單，快捷，準確性高。

(3) 采用先定位后定量的損傷分步識別方法，減少了待識別參數的個數，提高了循環迭代的計算效率。

在進行目標函數匹配時，采用有邊界信賴域方法對非線性方程進行求解。收斂準則為

(1)F(α)≤ξ

(10)

(2) |Fk+1(α)-Fk(α)|/Fk(α)≤ε&K>D

(11)

式中：ε(%)為容許誤差；ξ為容許殘差；D為限定最大迭代次數。兩者滿足其一即達到收斂。

3 損傷識別數值算例

3.1 橋梁模型

以圖3所示簡支鋼梁模型為研究對象，利用本文所提的改進模型修正方法對其進行損傷識別。簡支梁模型材料為鋼材，彈性模量為2×105MPa，密度為7 800 kg/m3，泊松比為0.25，跨度為1 900 mm，截面高20 mm，截面寬142.5 mm。移動荷載大小為270 N，移動荷載速度為0.2 m/s，采樣頻率為512 Hz，模型采用平面梁單元建模，并用降低單元剛度的方法模擬橋梁損傷。

由于小波變換是基于信號奇異性的損傷識別方法，需要對模型進行較為精細的單元劃分，較小的單元長度也保證了信號的平穩，因此本文將該簡支梁模型劃分為51個節點(依次從左到右)，50個單元，單元長度為38 mm。由于模型的單元長度較小，在實際簡支梁結構發生損傷時往往會伴隨著相鄰幾個單元同時發生損傷，因此將全橋均分為10個損傷區段，即將相鄰5個單元作為整體進行損傷識別。設置的損傷工況如表1所示，位移測點布置在26節點。

圖3 簡支鋼梁有限元模型Fig.3 FE model of simply-supported bridge

工況損傷單元(損傷區段)損傷指數工況131～35單元(E7)0.2工況231～35單元(E7)0.5工況316～20單元(E4)0.5工況416～20單元(E4),31～35單元(E7)0.5,0.2工況531～33單元(部分E7)0.5

模態頻率是最容易測量，也是精度最高的模態參數。將各損傷工況下簡支梁橋的兩階模態頻率匯總于表2。從表2可知：①當損傷發生時，簡支梁各階模態頻率均有一定程度的下降，說明模態頻率對簡支梁的損傷較為敏感，因此將模態頻率指標納入目標函數；②不同損傷區域發生相同損傷程度的情況下，各階模態頻率值相同，說明模態頻率僅能確定損傷是否發生，而不能對損傷實現定位和定量識別。

表2 頻率匯總

3.2 橋梁損傷定位識別

以損傷工況2為研究對象，對簡支梁的損傷進行定位識別，其中橫坐標為歸一化的荷載位置x/L。圖4為橋梁損傷前后移動荷載通過時的位移時程曲線對比圖。從圖中可以看出，幾乎看不出位移響應在損傷位置處有任何突變。

圖4 損傷前后位移時程曲線Fig.4 Deflection time histories before and after damage

對損傷梁的位移時程曲線做連續小波變換，得到最大尺度smax=100的小波系數灰度圖(見圖5)，其中顏色越淺數值越大。從圖5可知，在0.6L～0.7L附近灰度圖呈白色，說明該區域存在奇異性，即出現損傷。

本文選取尺度s=20作為該簡支梁的分析尺度。損傷前后小波系數曲線對比圖，如圖6所示。從圖6可知，與未損傷區域相比，損傷區域的小波系數曲線在損傷位置處會出現明顯凸起。

圖5 工況2下小波系數灰度圖Fig.5 Gray image of wavelet coefficient for case 2

圖6 損傷前后小波系數曲線對比圖Fig.6 Comparison of wavelet coefficients curve before and after damage

采用上述小波分析方法即可對簡支梁橋的損傷進行定位識別?；趽p傷前后小波系數曲線的WTC指數，采用模型修正技術，即可對橋梁的損傷進行定量識別。

3.3 橋梁損傷定量識別

將結構在損傷狀態下的小波系數曲線和模態頻率作為“實測值”，基于圖2測試流程計算損傷前后的WTC指數，并結合前2階模態頻率構造目標函數。其中，一階模態頻率、二階模態頻率和WTC指數構造的目標函數的權重系數比值為1∶1∶10。對上節中確定的損傷區域進行損傷識別。識別結果見圖7，損傷指數隨迭代次數的變化規律見圖8。從圖中可以看出：①在0.6L～0.7L處確實出現損傷，損傷指數為0.5，與設定損傷值完全吻合；②迭代10次左右損傷指數就達到收斂，計算效率較高。

圖7 工況2損傷識別結果Fig.7 Damage identification results for case 2

圖8 工況2條件下損傷指數隨迭代次數變化規律Fig.8 Damage indexes vs iteration number for case 2

同理，工況1、工況3和工況4下的損傷識別結果，分別如圖9～圖11所示。從圖9～圖11可知，在簡支梁不同位置設定的不同程度損傷均得到了較為準確的識別。

圖9 工況1損傷識別結果Fig.9 Damage identification results for case 1

圖10 工況3損傷識別結果Fig.10 Damage identification results for case 3

圖11 工況4損傷識別結果Fig.11 Damage identification results for case 4

4 損傷識別影響因素分析

對于實際橋梁而言，一般事先并不知道移動荷載的大小和速度，測點位置及噪聲對損傷識別結果的影響也值得關注，因此本節依然以圖3簡支鋼梁模型為研究對象，對基于模型修正理論和小波相關性的簡支梁橋損傷識別方法的影響因素進行逐一分析。

4.1 荷載大小對損傷識別結果的影響

為了研究移動荷載大小對損傷識別結果的影響，對損傷模型(工況2)依然施加270 N的移動荷載，對待修正模型分別施加270 N，405 N和540 N三種不同大小的移動荷載，損傷識別結果如圖12所示。從圖12可知，移動荷載大小對損傷識別結果幾乎沒有影響。

圖12 荷載大小對損傷識別結果影響對比圖Fig.12 Influence of load value on damage identification

4.2 荷載速度對損傷識別結果的影響

當移動荷載以不同速度通過簡支梁橋，采用相同采樣頻率所得到的采樣點數會有所差別。但在構造WTC指數時，需要損傷模型與待修正模型的位移時程具有相同的采樣點數。因此，為了解決該問題又不影響損傷模型位移響應(實測值)的準確性，需對待修正模型的位移響應進行重采樣處理。

為了研究移動荷載速度對損傷識別結果的影響，將損傷模型(工況2)的移動荷載速度設為0.2 m/s，將待修正模型的移動荷載速度分別設為0.2 m/s，0.3 m/s和0.4 m/s，損傷識別結果如圖13所示。從圖13可知，移動荷載速度對損傷識別結果幾乎沒有影響。但是移動荷載的速度不宜過高，過高的速度會導致結構位移響應的動力成分增加，采樣點數減少，信號平穩性下降，最終影響識別的精度。

圖13 荷載速度對損傷識別結果影響對比圖Fig.13 Influence of load velocity on damage identification

4.3 測點位置對損傷識別結果的影響

對于位移測點來說，不同的測點位置對應不同的

位移時程曲線，因此位移測點的位置對損傷識別結果的影響需要進行詳細分析。分別將位移測點布置在13節點(L/4附近)、26節點(L/2附近)和37節點(3L/4附近)，各測點小波系數灰度圖及損傷識別結果如圖14和圖15所示。

從圖14和圖15可知：①測點離損傷位置越近，灰度圖的亮條紋越明顯，定位識別效果越好，這是因為由于損傷的存在，損傷位置處的響應有更大的奇異性，因此為了保證各個位置的損傷均能較好定位識別，位移測點盡量布置在跨中附近；②測點位置對損傷的定量識別幾乎沒有影響。

圖14 不同測點響應的小波系數灰度圖Fig.14 Gray image of wavelet coefficient in different measuring points

圖15 測點位置對損傷識別結果影響對比圖Fig.15 Influence of measuring points position on damage identification

4.4 噪聲對損傷識別結果的影響

為了分析噪聲對識別結果的影響，在測試加速度和位移響應中均加入一定水平的隨機噪聲，并用“污染”后的數據進行損傷識別。加入3%的隨機噪聲時工況4的損傷定位識別結果和定量識別結果，分別如圖16和圖17所示?？梢钥闯?，信號中雖然加入了噪聲，但是依然能夠對損傷進行定位識別和較為精確的定量識別，這說明本文所提的損傷評估方法具有較強的抗噪性。

圖16 加入3%噪聲后小波系數灰度圖Fig.16 Gray image of wavelet coefficient with 3% noise

圖17 加入3%噪聲后工況4損傷識別結果Fig.17 Damage identification results with 3% noise for case 4

5 橋梁損傷邊界逼近識別方法

當實際結構發生損傷時，損傷的位置和程度是無法預知的，而在有限元建模時，單元和損傷區段的劃分是隨機的，因此并不能夠保證損傷區段與實際損傷位置的完美重合?；诖耍疚奶岢鲆环N橋梁損傷邊界逼近識別方法，具體步驟如下：

步驟1對移動荷載作用下橋梁的位移響應進行連續小波變換，得到多尺度小波系數曲線圖，實現對損傷的初步定位識別。

步驟2采用本文所提有限元模型修正方法對第一步定位的損傷區段進行初步的定量識別。

步驟3對損傷區段進行精細劃分，從左右邊界逐漸逼近損傷區，最終實現橋梁損傷的精確定位和精細化識別。

5.1 損傷區域定位

仍以圖3所示的簡支鋼梁為例，損傷位置及程度選用工況5。具體損傷單元和損傷區段的劃分，如圖18所示。對損傷梁的位移時程曲線做連續小波變換，得到的小波系數灰度圖，如圖19所示。從圖19可知，損傷區域初步定位于0.5L～0.8L。

圖18 損傷單元和損傷區段劃分圖Fig.18 Division of damage elements and damage areas

圖19 損傷工況5小波系數灰度圖Fig.19 Gray image of wavelet coefficient for case 5

5.2 損傷程度初步定量

采用本文所提方法對疑似損傷區段E6，E7和E8進行初步定量識別，結果如圖20所示。從圖20可以判斷：①E6和E8區段的損傷指數較小，固在此區段內未發生明顯損傷； ②E7區段的損傷指數較大，說明該區段發生了明顯損傷。E7區段的損傷指數識別值為0.37，與假定的0.5有一定的誤差，這是因為識別區段(E7)大于損傷區段(31單元～33單元)，所識別的損傷指數是區域平均后的結果。

圖20 損傷初步定量識別結果Fig.20 Damage preliminary identification results

5.3 損傷程度精細化識別

為了進一步確認損傷的位置和程度，按照從左右邊界逐步逼近的原則，將損傷區段E7進一步細分，此時將31單元、32單元～34單元和35單元劃分為E7a，E7b和E7c區段(見圖21)。以彈性模量E7a，E7b和E7c的損傷指數作為識別參數，再次進行損傷識別，得到識別結果如圖22所示。

從圖22可知：①E7a區域(31單元)為損傷發生的左臨界點，但是由于損傷的右臨界點尚未確定，因此其損傷指數的識別值并不精確；②35單元并未發生損傷。

圖21 第一次細分后有限元模型Fig.21 FE model after first subdivision

圖22 第一次細分后識別結果Fig.22 Damage identification results after first subdivision

為了找到損傷區域的右臨界點，對損傷區段進行進一步細分(見圖23)，進一步細分后的識別結果，如圖24所示。從圖24可知34單元未發生損傷。

圖23 第二次細分后有限元模型Fig.23 FE model after second subdivision

圖24 第二次細分后識別結果Fig.24 Damage identification results after second subdivision

如圖25所示，對損傷區段再進行細分，細分后識別結果如圖26所示。從圖26可知，E7b-1b區域(33單元)為損傷發生的右臨界點，31單元～33單元的損傷指數均為0.5，與設定值完全吻合。

圖25 第三次細分后有限元模型Fig.25 FE model after third subdivision

圖26 第三次細分后識別結果Fig.26 Damage identification results after third subdivision

上述分析結果表明，本文所提的損傷分步識別方法可以對損傷逐步逼近，最終實現對損傷的精細化識別。

6 結 論

(1) 提出了一種以移動荷載作用下的橋梁位移響應為研究對象，以小波相關性構造目標函數，采用模型修正技術對簡支梁橋進行損傷識別的方法。

(2) 所提方法僅布置一個位移測點即可對不同位置和程度的損傷進行精確識別，且抗噪能力強。

(3) 測點位置距離損傷位置越近，定位識別效果越好；荷載速度、大小和測點位置對損傷的定量識別效果影響較小。

(4) 在實際橋梁測試中，可采用橋梁損傷邊界逼近識別方法，實現對損傷位置的逐步逼近和損傷程度的精細化識別。

最后需要說明的是，本文通過理論分析和數值算例初步探討了基于模型修正理論和小波相關性損傷識別方法的可行性，但在實際應用中的效果尚不清楚。因此，在條件允許的情況下應該進一步開展模型試驗和現場試驗，對所提方法的實際工程適用性做進一步的驗證。

參 考 文 獻

[ 1 ] 吉伯海, 傅中秋. 近年國內橋梁倒塌事故原因分析[J]. 土木工程學報, 2010, 43(增刊1): 495-498.

JI Bohai, FU Zhongqiu. Analysis of Chinese bridge collapse accident causes in recent years [J]. China Civil Engineering Journal, 2010, 43(Sup 1): 495-498.

[ 2 ] PEETERS B. System identification and damage detection in civil engineering [D]. Leuven: Catholic University of Leuven, 2000.

[ 3 ] JIANG L J, TANG J, WANG K W. An optimal sensitivity-enhancing feedback control approach via eigenstructure assignment for structural damage identification [J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2007, 129(6): 771-783.

[ 4 ] PERERA R, RUIZ A. A multistage FE updating procedure for damage identification in large-scale structures based on multi objective evolutionary optimization[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2008, 22(4): 970-991.

[ 5 ] 趙俊，張偉偉，馬宏偉. 移動荷載作用下簡支梁的動態影像及裂紋損傷識別研究[J]. 振動與沖擊,2011,30(6): 97-103.

ZHAO Jun, ZHANG Weiwei, MA Hongwei. Dynamic response and crack detection of simply supported beam under moving loads[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(6): 97-103.

[ 6 ] 余竹，夏禾，殷永高，等. 基于小波變換與Lipschitz指數的橋梁損傷識別研究[J]. 振動與沖擊,2015,34(14): 65-69.

YU Zhu, XIA He, YIN Yonggao, et al. Bridge damage identification based on wavelet transform and lipschitz exponent[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015,34(14): 65-69.

[ 7 ] CHANG C, CHEN L. Vibration damage detection of a timoshenko beam by spatial wavelet based approach[J]. Applied Acoustics, 2003, 64(12): 1217-1240.

[ 8 ] 任東華. 基于模態參數小波變換的鐵路橋墩損傷識別方法及試驗研究[D]. 北京：中國鐵道科學研究院，2014.

[ 9 ] 戰家旺，王偉，張楠，等. 基于模型修正理論的鐵路橋墩損傷定量評估方法[J]. 中國鐵道科學,2015,36(5): 28-35.

ZHAN Jiawang, WANG Wei, ZHANG Nan, et al. Quantitative damage evaluation method for railway piers based on model updating theory[J]. China Railway Science, 2015, 36(5): 28-35.

[10] 楊雅勛. 基于動力測試的橋梁結構損傷識別與綜合評估理論研究[D]. 西安：長安大學,2008.

[11] 余竹. 基于移動荷載作用下結構響應及小波分析的橋梁損傷診斷研究[D]. 北京：北京交通大學,2014.

[12] 任宜春，馬石城，林琳. 移動荷載作用下梁裂縫識別的小波方法研究[J]. 振動與沖擊，2004,23(2): 82-85.

REN Yichun, MA Shicheng, LIN Lin. Identification of simple-supported beam cracks by means of wavelet analysis[J]. Journal of Vibration and Shock, 2004, 23(2): 82-85.