考慮應變依賴性的硬涂層圓柱殼振動特性有限元分析

張 月， 孫 偉

(東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819)

圓柱殼作為工程中最常見的一類構件，尤其在航空和航天領域被大量使用。在服役過程中，圓柱殼經常因遭受寬頻激勵而引發共振，進而造成性能惡化或者疲勞失效。因而，需要研發相應的阻尼減振措施以抑制圓柱殼的有害振動。目前，通過在表面貼敷黏彈性阻尼層[1-3]成為圓柱殼減振的重要技術手段。但是，對于需要在高溫及高腐蝕環境下工作的圓柱殼，例如航空發動機機匣、鼓筒等，上述黏彈性阻尼減振技術通常難以使用。硬涂層是由金屬基、陶瓷基或者兩者混合制成的涂層材料。最近的研究[4-6]發現其在高溫、高腐蝕環境下可實現對薄殼結構過大的振動進行控制，由此可見，可以將硬涂層減振技術應用到圓柱殼振動控制上。為此，需要開展硬涂層圓柱殼的動力學建模與振動預估的研究。

硬涂層材料具有應變依賴性[7-8]，其力學特性參數會隨著應變響應幅度的變化而改變。這種材料非線性使創建硬涂層圓柱殼動力學模型成為一項具有挑戰性的任務。目前，考慮硬涂層材料的非線性特點，針對梁[9]及板[10]已有了一些初步研究。另外，學者們對黏彈性阻尼復合圓柱殼的動力學建模也開展了大量研究，Zheng等[11]用傳遞函數法分析了具有被動約束阻尼層的圓柱殼的振動特性。李曉妮等[12]也用傳遞矩陣法分析了具有主動約束阻尼層圓柱殼的振動特性。Jin等[13]用修正的Fourier-Ritz法推導了具有約束阻尼圓柱殼的運動方程并對復合殼的阻尼及振動特性進行了預估。以上這些都可為本文硬涂層圓柱殼動力學建模提供參考。

有限元法是一種強有力的建模方法，Li等[14]應用迭代有限元技術進行了考慮應變依賴性的硬涂層板振動特性分析，其主要利用的是ANSYS軟件。也有一些學者通過自行研發復合殼單元來求解黏彈性阻尼圓柱殼的動力學特性。例如， Chakravorty等[15]研發了8節點曲面四邊形等參單元來模擬黏彈性圓柱殼。Masti等創建了一個包括基體層、黏彈性阻尼層和約束層的8節點80自由度的復合曲面單元，并用該單元對復合圓柱殼的振動特性進行了分析。面向特定的圓柱殼復合結構，通過自行研發有限元程序來對其進行建模與分析有很好的靈活性及較高的計算效率。因而，本文也按此思路開展硬涂層圓柱殼的動力學建模及分析工作。

在考慮硬涂層材料應變依賴性的前提下，開發了一種復合圓柱殼單元，并在此基礎上，提出了一種簡化的硬涂層圓柱殼復合結構非線性振動特性的迭代求解方法(Simplified Hard-Coating Cylindrical Shell Iteration Method, SHCIM)。同時，以NiCoCrAlY+YSZ硬涂層圓柱殼為例，對其線性和非線性振動特性進行求解，并將線性結果與ANSYS進行對比，以驗證該復合圓柱殼單元的正確性和適用性。

1 復合圓柱殼單元

如圖1所示，基礎激勵作用下的硬涂層圓柱殼結構，分別由厚度為Ts的金屬基體和厚度為Tc的外敷硬涂層構成。

圖1 硬涂層圓柱殼復合結構示意圖Fig.1 The composite structure of hard-coating cylindrical shell

沿復合結構中面的主曲率線和法線方向建立正交曲線坐標系(x，θ，z)，相對應的中面位移分別為u，v和w。中面到圓柱殼內表面的距離h0可表示為

(1)

(2)

其中，

(3)

進一步可將式(2)表達為

(4)

(5)

為與應變依賴性相關的材料參數。

為更好地求解此硬涂層圓柱殼復合結構的非線性振動特性，本文開發了一種4節點36自由度的復合圓柱殼單元，如圖2所示。該單元每個節點包含9個自由度，分別定義為

(6)

圖2 復合圓柱殼單元Fig.2 The composite cylindrical shell element

基于小應變假設，且假設變形后復合圓柱殼中面法線與中面垂直，單元中面上任一點的位移w(u,v具有相同的表達形式)可定義為

w=a1+a2x+a3θ+a4x2+a5xθ+a6θ2+a7x3+
a8x2θ+a9xθ2+a10θ3+a11x3θ+a12xθ3

(7)

則單元中面上任一點的位移場可表示為

{u，v,w}T=Nd

(8)

式中：d為36×1階的單元位移向量；N為3×36階的單元形函數矩陣；可表示為

N=[Np1,Np2,Np3,Np4]

(9)

其中，

(10)

單元內的應變-位移關系可表示為

ε=Bd

(11)

式中：B即為應變矩陣，可表示為

B=[Bp1,Bp2,Bp3,Bp4]

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

f={0,μθρa,μzρa}T

(17)

式中：a為基礎的絕對加速度；μθ和μz均為影響系數，在與基礎激勵方向一致的自由度上，影響系數取為1，否則取為0。

2 考慮應變依賴性的硬涂層圓柱殼的振動特性計算

整個硬涂層圓柱殼復合結構的動力學方程可表示為

(18)

(19)

式中：Kε為剛度矩陣；D為與硬涂層損耗因子相關的材料阻尼矩陣。F為按正弦變化的外部基礎激勵向量；x為節點位移向量；可表示為

x=φNq

(20)

式中：φN為節點正則振型矩陣；q為節點正則坐標響應。

將式(20)代入式(18)可得到正則化的動力學方程，即為

(21)

其中，

(22)

(23)

(24)

式中：Vel為單元中硬涂層的體積；hel可通過式(25)計算

(25)

由于式(23)需對每個單元中硬涂層的等效應變進行計算，為加快計算速度，本文利用最大等效應變作如下簡化

(26)

2.1 共振響應的計算

采用Newton-Raphson法求解硬涂層圓柱殼的非線性振動響應，具體流程如圖3所示。

定義殘差向量為

(27)

如將描述硬涂層材料的多項式的階數取n=3，并將式(24)和式(26)代入式(27)可得

(28)

定義雅可比矩陣J為

(29)

式中：Re( )和Im( )分別為求括號內表達式的實部和虛部的函數；?r/?qR和?r/?qI分別為殘差向量r對q的實部qR和虛部qI求偏導。

圖3 硬涂層圓柱殼的非線性共振響應計算過程Fig.3 Nonlinear resonance response analysis process of hard-coating cylindrical shell

則此非線性動力學方程的迭代格式可表示為

(30)

(31)

(32)

則節點位移向量xnew為

(33)

共振響應的迭代終止條件可定義為

(34)

式中：| |和‖‖2分別為取絕對值函數和取2范數函數；ζx為振動響應求解精度。

2.2 共振頻率的計算

共振頻率的具體迭代過程，如圖4所示。

圖4 硬涂層圓柱殼的非線性共振頻率計算過程Fig.4 Nonlinear resonance frequency analysis process of hard-coating cylindrical shell

由式(32)求出qnew后，便可通過式(22)求得硬涂層的等效應變εe，進而根據式(24)更新硬涂層圓柱殼的總復剛度矩陣，硬涂層圓柱殼復合結構的共振頻率可通過式(35)進行求解

(35)

式中：ω=2πf(p)，p為共振頻率階次。

第p階共振頻率的迭代終止條件可定義為

(36)

式中：ζf為共振頻率的求解精度。

3 研究實例

(37)

(38)

該硬涂層圓柱殼的相關材料和幾何參數，如表1和表2所示。其中，表1中的儲能模量和損耗因子為應變為0時的取值。

表1 硬涂層圓柱殼材料參數

表2 硬涂層圓柱殼幾何參數

3.1 硬涂層圓柱殼的線性振動特性分析

利用復合圓柱殼單元建立有限元模型，如圖5所示。該有限元模型的網格大小為15 mm，其所包含的節點總數為480，單元總數為420。同時，為在ANSYS中獲得相對較為精確的計算結果，須將有限元模型的網格進行一定的細化(網格大小設為1 mm)，細化后的有限元模型的節點總數為85 824個，單元總數為84 930個，如圖6所示。

根據本文所提出的簡化的硬涂層圓柱殼非線性振動特性的迭代求解方法(應變為0時)，得到了前5階的線性共振頻率，并與ANSYS線性結果進行對比，如表3所示。

圖5 SHCIM硬涂層圓柱殼有限元模型Fig.5 The finite element model of hard-coating cylindrical shell of SHCIM

圖6 細化的ANSYS硬涂層圓柱殼有限元模型Fig.6 The refined finite element model of hard-coating cylindrical shell of ANSYS

階次12345SHCIM/Hz 1 321.81 351.11 474.71 597.31 759.2ANSYS/Hz1 314.31 332.61 473.81 566.31 759.8Error/%0.571.390.061.98-0.03

從表3可知，本文各階的線性共振頻率與ANSYS計算結果基本一致，各階共振頻率的平均誤差約為0.81%，而最大誤差約為1.98%。

任意提取某一階的結果，本文以第2階為例，SHCIM與ANSYS的硬涂層圓柱殼第2階振型圖對比，如圖7所示。其振型與ANSYS基本一致。在基礎激勵幅度分別為1g,3g,5g,7g,9g條件下，對硬涂層圓柱殼的線性共振響應進行計算，并與ANSYS線性結果進行對比，如表4所示。

圖7 SHCIM與ANSYS的硬涂層圓柱殼第2階振型對比Fig. 7 The 2nd-order modal shapes of hard-coating cylindrical shell calculated by SHCIM and ANSYS

激勵幅度1g3g5g7g9gSHCIM/(m·s-1)0.258 10.774 51.290 91.807 32.323 7ANSYS/(m·s-1)0.259 70.785 91.292 31.763 02.322 6Error/%-0.61-1.45-0.112.510.05

從表4可知，本文不同激勵幅度下的線性共振響應的計算結果與ANSYS基本一致，各激勵幅度下的共振響應平均誤差約為0.95%，而最大誤差約為2.51%。

由此可以看出，本文所開發的復合圓柱殼單元的計算結果與ANSYS基本一致，最大誤差約為2.51%，而其有限元模型的網格密度僅約為ANSYS的1/15，驗證了該復合圓柱殼單元的正確性和適用性。

3.2 硬涂層圓柱殼的非線性振動特性分析

基于圖5中的復合圓柱殼單元和本文所提出的簡化的硬涂層圓柱殼非線性振動特性的迭代求解方法，得到了硬涂層圓柱殼前5階的非線性共振頻率，及其在基礎激勵幅度分別為1g,3g,5g,7g,9g下的非線性共振響應(以第2階為例)，如表5和表6所示。

表5 各激勵幅度下硬涂層圓柱殼第2階非線性共振頻率

表6 各激勵幅度下硬涂層圓柱殼第2階非線性共振響應

為更好地分析NiCoCrAlY+YSZ硬涂層的應變依賴性對硬涂層圓柱殼復合結構的共振頻率和共振響應的作用效果，將硬涂層圓柱殼在第2階共振頻率附近的線性和非線性頻域響應繪制,如圖8所示。

從圖8可知，隨著激勵幅度的增加，硬涂層圓柱殼的非線性共振頻率相對于線性的逐漸變小，說明硬涂層使復合殼具有軟式非線性特點。另外，從共振響應上看，在同一激勵幅度下，非線性計算獲得的共振響應值小于線性計算結果，這或許說明硬涂層的應變依賴性特點對減振是有利的。

圖8 硬涂層圓柱殼第2階共振頻率附近的線性和非線性頻域響應Fig.8 Frequency domain responses of hard-coating cylindrical shell near the 2nd-order resonance frequency

4 結 論

(1)在考慮硬涂層應變依賴性的前提下，開發了一種4節點36自由度的復合圓柱殼單元，其線性計算結果與ANSYS基本一致，最大誤差約為2.51%，而有限元模型的網格密度卻僅為ANSYS的1/15，驗證了該復合圓柱殼單元的正確性和適用性。

(2)基于復合圓柱殼單元和Newton-Raphson法，提出了一種簡化的硬涂層圓柱殼非線性振動特性的迭代求解方法。

(3)隨著激勵幅度的增加，硬涂層圓柱殼的非線性共振頻率相對于線性的逐漸變小，說明硬涂層使復合殼具有軟式非線性特點。另外，從共振響應上看，同一激勵幅度下非線性的共振響應值均小于其線性計算結果，這或許說明硬涂層的應變依賴性特點對減振是有利的。

參 考 文 獻

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