數列前n項和的求法

吳佩信

對于等差（比）數列可利用求和公式直接求和，對于有些數列也可以用歸納法求和。此外，對于非等差（比）數列可以考慮應用以下方法求前項和。

一、分組求和法

當數列的每一項都能分成n個部分的和，并且相應部分所形成的數列是等差（比）數列時，可用此方法求解。

【例題1】已知數列滿足，求其前項n和

【解答】

【變式1】已知數列滿足，求其前項n和.

【解答】

二、裂項相消法

數列的每一項都是分數，其中分子是常數，分母是若干個“間隔”相等的“連續”整數的和，此時可考慮用此方法。

【例題2】已知數列滿足，求其前項n和.

【解答】

【變式2】已知數列滿足求其前項n和.

【解答】

三、錯位相減法

數列為等差數列，數列為等比數列，當求數列的前項n和時，可應用此法求解。

【例題3】已知數列滿足，求其前項n和.

【解答】

兩式相減，得

【變式3】已知數列滿足，求其前項n和.

【解答】略

四、并項求和法

數列的奇數項和偶數項并在一起構成特殊數列時，可以考慮應用此法。

【例題4】數列前項n和滿足

【解答】

【變式4】求值：

【解答】略

五、疊加法

對于一些特殊的數列（自然數的若干次方構成的數列）應用此方法較簡便。

【例題5】已知數列滿足，求其前n項和。

【解答】顯然有

令上面式中

得n個式子，然后相加得：

應用此種方法可以求得數列的前n項和。

六、通項公式與其前項n和的關系

【例題6】已知下面各數列的前n項和的公式。

（1）；（2）

求的通項公式.

【解答】（1）當n=1時，；

當時，

即

當時，上式也成立，故通項公式為

（2）當n=1時，；

當時，

即

當n=1時，上式不成立，故通項公式為

七、構造法

當給出了數列的前n項和的遞推關系式，可以考慮將構造成一個新數列，利用求通項的方法求出。

【例題7】設數列的前n項和為，且滿足求數列前n項和.

【解答】

數列是以2為首項和公比的等比數列，故