二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題探究

盧軍偉

摘 要：二次函數(shù)求值域是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，亦是高考的常考點(diǎn)。典型的二次函數(shù)求值域多數(shù)同學(xué)都能正確解答，無非就是弄清二次函數(shù)圖像的開口方向、定義域上的自變量距離對稱軸的遠(yuǎn)近。然而高考試卷中的二次函數(shù)求值域并非如此，通常以非典型的二次函數(shù)出現(xiàn)，等價換元后才能得到典型的二次函數(shù)。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù) 值域 最值 閉區(qū)間

一、提出問題

非典型二次函數(shù)求值域是高中數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn)，因其在試卷中通常以非典型的形式出現(xiàn)，使它成為了近年高考的熱點(diǎn)。由于其非典型形式眾多，且可以與很多高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)例如向量、三角函數(shù)等結(jié)合起來，很具有迷惑性。事實(shí)上只要理解并總結(jié)它的幾種非典型形式，透過現(xiàn)象認(rèn)識本質(zhì)，可以把它轉(zhuǎn)化為我們熟悉的知識進(jìn)行計算求解。

二、準(zhǔn)備知識

1.一般二次函數(shù)y=αx?+bx+c （α≠0），當(dāng)α>0時圖像為開口向上的拋物線，對稱軸，自變量x距離對稱軸遠(yuǎn)函數(shù)值大，反之小，值域?yàn)閥≥（4αc -b?）/4αc；當(dāng) α<0時圖像為開口向下的拋物線，對稱軸，自變量x距離對稱軸遠(yuǎn)函數(shù)值小，反之大，值域?yàn)閥≤（4αc -b?）/4αc 。

三、典型二次函數(shù)求值域

1.定軸，定區(qū)間型

例1、已知二次函數(shù)f（x）=-x?+4x+9，求f（x）在-2≤x≤3的值域。

解：此二次函數(shù)的圖像開口向下，對稱軸x=2。由于2和-2距離對稱軸x=2分別最近、最遠(yuǎn)，故在2和-2處分別取得最大值、最小值，值域?yàn)?3≤y≤13。

2.動軸，定區(qū)間型

例2、已知二次函數(shù)f（x）=x?-2αx+b，求f（x）在閉區(qū)間[-1，1]上的值域。

解：分析：此二次函數(shù)的圖像開口向上、對稱軸x=α。確定不了區(qū)間[-1，1]上的點(diǎn)到對稱軸x=α的距離哪個遠(yuǎn)哪個近，故要討論區(qū)間[-1，1]相對對稱軸x=α的位置以定遠(yuǎn)近。

當(dāng)α<-1時，區(qū)間[-1，1]在對對稱軸x=α 的右邊，值域?yàn)閇1+2α+b，1-2α+b]

當(dāng)α>1時，區(qū)間[-1，1]在對對稱軸x=α 的左邊，值域?yàn)閇1-2α+b，1+2α+b]

當(dāng)-1≤α≤1時，對稱軸x=α 在區(qū)間[-1，1]上，顯然α距離對稱軸近，但確定不了哪個端點(diǎn)距離對稱軸遠(yuǎn)，故需以區(qū)間[-1，1]的中點(diǎn)為界再分兩種情況討論：即當(dāng)-1≤α≤0時值域?yàn)閇-α?+b，1-2α+b]；當(dāng)0<α≤1 時值域?yàn)閇-α?+b，1+2α+b]。

3.定軸，動區(qū)間型

解法與2類似：主要討論區(qū)間與對稱軸的位置以定遠(yuǎn)近，此處不再詳表。

分析：此類型題難度一般，無外乎弄清二次函數(shù)圖像的開口方向、定義域上的點(diǎn)與對稱軸距離的遠(yuǎn)近。唯一的難點(diǎn)是動區(qū)間或動對稱軸，但討論的本質(zhì)還是區(qū)間與對稱軸的位置關(guān)系，以便確定遠(yuǎn)近進(jìn)一步確定函數(shù)值的大小。

四、非典型二次函數(shù)求值域

1.根式型二次函數(shù)

例1、求函數(shù)的值域。

解：分析：函數(shù)解析式的兩項(xiàng)的冪指數(shù)分別為和1，存在2倍關(guān)系，故可通過換元得到典型的二次函數(shù)。令，則x=t?+1。那么函數(shù)變換為典型的二次函數(shù)

y=-t+t?+1+1=t?-t+2值域?yàn)?/p>

2.三角函數(shù)型二次函數(shù)

例1、求函數(shù)y=cos2x+sinx-1的值域，

解：分析：由余弦的倍角公式可知cos2x可用正弦的平方或余弦的平方表示，故可通過換元得到典型的二次函數(shù)。令sinx=t∈[-1，1]，那么函數(shù)變換為典型的二次函數(shù)y=1-2sin?x+sinx-1=-2t?+t值域?yàn)椤?/p>

例2、求函數(shù) y=sinx+cosx-3cosx·sinx+1的值域。

解：分析：由三角函數(shù)關(guān)系式sinx+cosx，sinx-cosx，sinx·cosx可已知一個表示另外兩個，故可通過換元得到典型的二次函數(shù)。令sinx+cosx=t ，則。那么函數(shù)變換為典型的二次函數(shù)

值域?yàn)?/p>

3.指數(shù)函數(shù)型二次函數(shù)

例1、求函數(shù)在閉區(qū)間[0，1]的值域。

解：分析：由指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知， 。函數(shù)的前兩項(xiàng)明顯存在平方關(guān)系，故可通過換元得到典型的二次函數(shù)。令，那么函數(shù)變換為典型的二次函數(shù)y=t?-3t+2值域?yàn)椤?/p>

例2、求函數(shù)的值域。

解：分析：由指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知，，由此聯(lián)想與是否也存在平方關(guān)系，分析得，故可通過換元得到典型的二次函數(shù)。令，則。那么函數(shù)變換為典型的二次函數(shù)y=t?+t+5值域?yàn)?/p>

分析：該類型題難度較大，首先綜合性強(qiáng)，對高中數(shù)學(xué)各模塊的知識、公式要求熟練掌握；其次是從形式上看具有蒙蔽性，要能通過各種表象看到二次函數(shù)的本質(zhì)。這就要求我們在平時的教學(xué)過程中常總結(jié)，多歸納。最后只要深入理解并掌握了二次函數(shù)幾種非常見的形式，都可以通過換元轉(zhuǎn)化為我們熟知的典型二次函數(shù)進(jìn)行求解。

結(jié)語

本文主要研究了二次函數(shù)在閉區(qū)間上值域問題。分類總結(jié)了典型與非典型二次函數(shù)在閉區(qū)間上求值域的方法。二次函數(shù)求值域之所以能成為高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)并迅速演變?yōu)楦呖嫉臒狳c(diǎn)，與學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)的時間比較分散有很大關(guān)系，學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的基本知識（頂點(diǎn)、對稱軸、開口方向等），高一初始學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的定義域、值域。然而二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域考查方式通常和高中數(shù)學(xué)其它章節(jié)的知識點(diǎn)結(jié)合起來，以非典型的二次函數(shù)出現(xiàn)，綜合性較強(qiáng)增加了求解難度。這就要求我們教師上課時要有整體視野，講到相應(yīng)的會與二次函數(shù)結(jié)合的比如向量、三角函數(shù)等知識點(diǎn)時，要把相應(yīng)的新知識與二次函數(shù)的結(jié)合方式，求解方法講透徹。在高中課程結(jié)束進(jìn)行一輪復(fù)習(xí)時，再把所有的非典型二次函數(shù)進(jìn)行一次總結(jié)、講練，相信只要我們教師不斷提高自己的業(yè)務(wù)水平，提升把控教材的視野，很多重難點(diǎn)、高頻考點(diǎn)都會有所突破，更容易被學(xué)生掌握。

參考文獻(xiàn)

[1]人教版普通高中數(shù)學(xué)教材 必修一 人民教育出版社

[2]薜金星 高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識手冊 北京教育出版社