一個新的未知參數超混沌系統的自適應同步

于海東，劉 爽，岳立娟

(東北師范大學物理學院，吉林 長春 130024)

混沌是非線性動力學系統所特有的一種復雜運動形式，是自然界普遍存在的復雜現象.由于混沌的同步與控制在物理、通信、信息科學、醫學等領域的巨大應用潛力和發展前景，得到了廣泛關注.1990年，L.M.Pecora等[1]提出了混沌同步的方法并在電路中得以實現.自此以后，一些學者相繼設計出了各種同步方法，例如耦合同步、反饋同步、驅動響應同步、變結構同步、驅動參量法等.[2-7]近年來，基于狀態觀測器的混沌同步法[8]、廣義同步法[9]、基于神經網絡的同步法[10]、基于 T-S模糊模型的同步法[11]等廣泛應用在各種混沌系統中.然而，這些方法討論的幾乎都是確定的或參數已知的混沌系統，但在實際應用中，混沌系統的參數常常是未知或不確定的.因此，要在參數未知的不確定混沌系統下實現混沌同步對實際的混沌系統至關重要.近年來國內外一些學者對此做了深入的研究，如J.H.Park[12]提出了參數不確定 R?ssler 系統的自適應同步法；陳士華等[13]基于參數辨識方法研究了超混沌R?ssler 系統的自適應同步；王燕舞等[14]完成了完全不確定Chen 系統的自適應同步；E.M.Elabbasy等[15]分析了參數不確定 Lǜ 系統的自適應同步.當系統中某些參數未知時，混沌系統的敏感性將造成系統狀態極大的差異.自Hilbert提出隱藏領域以來，研究發現具有隱藏吸引子的系統對初值及參數極其敏感，但對其進行同步與控制的研究較少.

本文在Sprott B系統的基礎上通過增加非線性項構造了一個新的五維超混沌系統，該系統只具有一個參數.對系統進行動力學特性分析，發現新系統具有隱藏吸引子的特性，基于自適應方法對該系統進行同步研究，根據 Lyapunov穩定性理論，得到同步的充分條件，并設計出參數辨識和系統同步的自適應控制律.理論分析與數值模擬證明了該方法的有效性.

1 一個新的五維超混沌系統

在Sprott B系統的基礎上通過增加非線性項構造出一個新的五維超混沌系統：

(1)

其中：a是新系統參數；x1，x2，x3，x4，x5是系統的狀態變量.當參數a=0.2時，初值為(x1(0)，x2(0)，x3(0)，x4(0)，x5(0))=(0.05，0.05，0.05，0.05，0.05)時，計算系統(1)的Lyapunov指數：λ1=0.386 161，λ2=0.040 577，λ3=0，λ4=-0.030 146，λ5=-0.415 503，則Lyapunov指數為

(2)

新的五維系統(1)為超混沌系統，其吸引子如圖1所示.

圖1 新超混沌系統的吸引子

對于系統(1)有

(3)

所以系統(1)是耗散的，并以指數dV/dt=e-t收斂，即隨著t→∞時，包含系統軌線的每一個體積元都以e-t收縮到0.所有的系統軌線將會被限制在一個體積為零的極限子集上，且它的漸進動力學行為被固定在一個吸引子上，也進一步說明了吸引子的存在.

新系統(1)只具有一個參數a，隨a變化的Lyapunov指數譜及分岔圖見圖2，從圖2可以看出a∈(-0.2，0.6)，系統(1)處于超混沌狀態.

(a)Lyapunov指數譜

(b)分岔圖

圖2隨a變化的Lyapunov指數譜和分岔圖

由系統(1)得到平衡點方程為：

(4)

可見系統(4)沒有平衡點.通過D.David等[16]提出一個系統如果沒有平衡點或者有且只有一個穩定的平衡點，則具有隱藏吸引子，這樣的系統對初值及參數的改變極為敏感.系統(1)將初值x1(0)及參數a只改變1%得到x1時域圖如圖3所示，可見系統(1)具有較好的初值敏感性和參數敏感性.

(a)不同初值下x1的時域圖

2 自適應同步控制器的設計方案

驅動系統為

(5)

響應系統為

(6)

控制器誤差系統為

(7)

控制器參數誤差為：

eh=h′-h；
Ahx=F(x)h；
Ah′y=F(y)h′.

(8)

則Ah′y-Ahx=F(y)h′-F(x)h=Ah′e+F(x)eh，則F(x)和F(y)是關于系統狀態變量x，y的l×m矩陣.

定理如果選取控制器

u=f(x)-f(y)-ke，

(9)

其中k=diag(k1，k2，…，kn).

參數自適應律為：

(10)

則驅動系統與響應系統全局漸進同步.

證明誤差系統為

(11)

選取Lyapunov函數為

(12)

對V求導并利用(10)式可得

其中λmin(P)為正定矩陣P的最小特征值，所以有e∈L，根據Barbalat引理可得

即系統(5)和系統(6)全局漸進同步.

3 參數未知新超混沌系統的自適應同步

設系統(1)為驅動系統，響應系統為：

(13)

定義誤差為e=y-x，則誤差系統為：

(14)

根據自適應控制方法，我們可以設計控制器為：

(15)

參數自適應為：

(16)

構造Lyapunov函數為

對V進行求導，可得

由于混沌系統具有初值敏感性，所以在開始時混沌吸引子在不同的軌道運動，但由于混沌系統具有有界性，所有的狀態變量經過一段時間后都會到達吸引子集，即一定存在一個正實數L使得

|xi|≤L<∞(i=1，2，3，4，5).

因此

需選取適當k′值，使

通過數值仿真得到如下結果：ei(i=1，2，3，4，5)隨時間t變化圖像見圖4，參數a的辨識曲線見圖5，參數自適應律ki(i=1，2，3，4，5)收斂曲線見圖6，實驗結果表明ki隨著時間演化趨向一個常數，兩系統很快實現同步.

圖4 ei(i=1，2，3，4，5)隨時間t變化圖像

圖5 參數a辨識曲線

圖6 參數自適應律ki(i=1，2，3，4)收斂曲線

4 總結

本文在Sprott B系統的基礎上構造了新的五維超混沌系統，該系統只具有一個參數.經過對其動力學特性分析，發現其具有隱藏吸引子這一特性，通過對初值及參數進行微小的改變，觀察時域圖具有較明顯的變化，證明了具有隱藏吸引子的系統對初值及參數極其敏感.基于 Lyapunov 穩定性理論，利用自適應同步方法，對參數不確定的具有隱藏特性新的五維超混沌系統進行同步研究，設計和構造自適應同步控制器及自適應律.仿真結果表明，同步時間較短，同步效果較好.設計的控制器簡單且易于選取，適用范圍廣.

[參 考 文 獻]

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