通貨膨脹影響下時間一致的投資策略選擇

劉文強，邱力軍，楊 鵬

(西京學院理學院，陜西 西安 710123)

0 引言

投資策略選擇問題是數理金融中一個熱點問題.諾貝爾經濟學獎得主Markowitz[1]第一次給出了投資策略選擇問題，其給出的模型是離散的.最近30年來隨著隨機分析、帶跳的隨機微分方程以及倒向隨機微分方程理論的發展，越來越多的學者研究連續模型中的投資策略選擇問題.文獻[2]引入線性二次控制法來研究最優投資問題，在其基礎上，目前已有很多文獻研究了連續時間投資策略的選擇問題.[3-5]

近年來，隨著經濟社會的發展，通貨膨脹變得越來越嚴重，人們資金貶值的速度在加快，所以研究基于通貨膨脹影響的投資策略問題有很強的現實意義.在效用最大情形下，文獻[6]考慮了最優投資-消費問題；文獻[7]在部分信息下也研究了最優投資-消費問題；文獻[8]研究了在均值-方差準則下，通貨膨脹因素的投資策略.

上述提到的文獻是時間不一致的，研究時間一致的投資策略更有意義.文獻[9]考慮了經典保險風險的時間一致的均值-方差再保險-投資策略選擇問題；Zeng等[10-11]研究了Heston模型在時間一致情形下的投資策略，并在風險資產帶跳情形下，討論了時間一致的最優策略選擇問題；文獻[12]也探討了時間一致的投資策略選擇問題，其考慮的風險資產滿足CEV模型.另外，還有一些學者研究類似問題.[13-14]

基于上面的考慮，本文研究了通貨膨脹影響下時間一致的投資策略.通貨膨脹滿足的隨機微分方程和文獻[6-8]一樣，通貨膨脹影響的處理方式類似于文獻[8].通過使用隨機控制理論，本文構造了一個檢驗定理，通過求解檢驗定理得到了時間一致的最優投資策略.最后，分析了一些模型參數對時間一致的最優投資策略的影響，解釋了研究結果在經濟學上的意義.

1 數理模型

設(Ω，F，F，P)為完備的附流概率空間.其中：P為概率；流F∶={F(t)|t∈[0，T]}關于F是右連續，關于P是完備的.金融市場包含一個無風險資產(債券)和一個風險資產(股票)，假設在金融市場上進行投資時，不考慮交易費用.無風險資產(債券)的價格為B(t)，滿足方程dB(t)=r(t)B(t)dt，其中r(t)>0表示利率.風險資產(股票)的價格P(t)滿足方程

dP(t)=P(t)[μ(t)dt+σ(t)dW1(t)].

這里μ(t)≥r(t)表示風險資產的平均收益率，σ(t)>0表示風險資產的波動率，{W1(t)，t≥0}是標準布朗運動.

類似文獻[6-8]，本文也假設物價水平L(t)滿足隨機微分方程

dL(t)=L(t)[a(t)dt+b(t)dW2(t)].

(1)

其中：a(t)是期望通貨膨脹率；b(t)為通貨膨脹擴散率；{W2(t)，t≥0}是一維標準布朗運動，表示影響物價指數水平的隨機因素.現實中，影響風險資產(股票)價格與影響物價水平的隨機因素可能相關，假設相關系數為ρ(t)，即〈W1(t)，W2(t)〉=ρ(t).

設投資者在時刻t具有財富x(t)，投資在風險資產上的金額為π(t)，余下的資金投資到無風險資產(債券)上，所以投資之后盈余過程x(t)滿足如下的隨機微分方程：

(2)

由于本文考慮了通貨膨脹影響，假設考慮通貨膨脹后的真實財富為y(t)，y(t)=x(t)/L(t).對y(t)應用It公式得到y(t)滿足隨機微分方程

dy(t)=y(t){[m(t)+n(t)π(t)]dt+σ(t)π(t)dW1(t)-b(t)dW2(t)}，

(3)

這里m(t)=r(t)-a(t)+b2(t)，n(t)=μ(t)-r(t)-b(t)σ(t)ρ(t).

定義1投資策略π(t)稱為可行的，若滿足：

(ⅰ)π(t)關于F循序可測，且為右連左極的；

(ⅲ) 隨機微分方程(3)關于策略π(t)有唯一的強解.

記所有可行的保險和投資策略的集合為Π.

2 時間一致的最優投資策略

與文獻[10]類似，定義目標函數為

(4)

其中：(t，y)∈T×R；Et，y[·]=E[·|y(t)=y]；γ>0為常數，表示投資者的風險厭惡系數.

則稱π*(t，y)為平衡策略，對應的平衡值函數是V(t，y)=V(t，y，π*).

和文獻[10]一樣，利用定義2得到時間一致策略剛好等于平衡策略；通常的最優值函數恰好等于平衡值函數.下文稱平衡策略u*與平衡值函數為最優時間一致策略和最優值函數.

3 問題求解

這里對于財富盈余過程(3)求解時間一致的最優投資策略與最優的值函數.和文獻[13]中的定理2.1或文獻[14]中的定理2.1類似地給出如下的檢驗定理.

定理1(檢驗定理) 設F(t，y)，G(t，y)，H(t，y)定義在[0，T]×R上，它們關于t連續、可微，關于y二階連續、可微，即F，G，H∈C1，2.如果F，G，H滿足方程：

(5)

(6)

(7)

則：

V(t，y)=F(t，y)，G(t，y)=Et，y[y(T)]，H(t，y)=Et，y[y2(T)]；

(8)

π*(t)是時間一致的最優投資策略，滿足

證明本定理的證明可參考文獻[13]中的定理2.1或者文獻[11]中的定理2.1，本文不再證明.

從(4)式和定理1可得

所以

H(t，y)=G2(t，y)+0.5γ[G(t，y)-F(t，y)].

(9)

綜合考慮盈余過程的結構和邊界條件F(T，y)=y和G(T，y)=y，與文獻[9]與[14]類似地構造F(t，y) 和G(t，y)為：

F(t，y)=A(t)y+B(t)/γ，A(T)=1，B(T)=0；

(10)

G(t，y)=C(t)y+D(t)/γ，C(T)=1，D(T)=0.

(11)

其偏導數如下：

Ft=A′(t)y+B′(t)/γ，Fy=A(t)，Fyy=0；

Gt=C′(t)y+D′(t)/γ，Gy=C(t)，Gyy=0.

把F(t，y)和G(t，y)的表達式，(9)式，以及上面的各偏導數代入(5)式得

(12)

設f(π(t))=n(t)y(t)A(t)π(t)-0.5y2(t)C2(t)γ[σ2(t)π2(t)-2b(t)σ(t)π(t)]，f(π(t))關于π(t)求導數得

(13)

將(13)式代入(12)式整理得

(14)

從而

(15)

(16)

將(13)式代入(6)式中整理得

(17)

故

(18)

(19)

綜合(15)—(18)式，

(20)

(21)

(22)

通過上述討論有如下定理.

定理2對于財富過程(3)，最優的時間一致的投資策略為

(23)

平衡值函數為

(24)

在最優策略和終止時刻T下，財富過程的方差為

(25)

證明結合(13)和(20)式，可以得到(23)式；由(10)，(20)和(21)式，可得(23)式；由(19)—(11)與(20)—(22)式，可以得到(25)式.

4 數值算例及經濟意義分析

這里給出模型參數改變時參數對最優投資策略的影響，同時分析所得到的投資策略對現實中保險人進行再保險和投資的指導意義.

例1取μ(t)=0.04，r(t)=0.02，σ(t)=0.05，γ=0.2，ρ(t)=0.2，y(t)=10，T-t=2，b(t)=0.4，a(t)∈[0.01，0.04].圖1給出了a(t)對時間一致的最優投資策略π*(t)的影響.從圖1可以看出π*(t)關于a(t)單調遞增，a(t)是期望通貨膨脹率，說明隨著通脹率的增大，投資人希望加大在風險資產上的投資資金，以此減小資金貶值的速度.

例2取μ(t)=0.04，r(t)=0.02，σ(t)=0.05，γ=0.2，ρ(t)=0.2，y(t)=10，T-t=2，a(t)=0.04，b(t)∈[0.1，0.4].圖2給出了b(t)對時間一致的最優投資策略π*(t)的影響.從圖2可以看出π*(t)關于b(t)單調遞減，b(t)為通貨膨脹擴散率，也就是說隨著通貨膨脹不確定因素的增加，投資者會減小在風險資產上的投資額.

圖1 a(t)對π*(t)的影響

例3取a(t)=0.04，r(t)=0.02，σ(t)=0.05，γ=0.2，ρ(t)=0.2，y(t)=10，T-t=2，b(t)=0.4，μ(t)∈[0.03，0.06].圖3給出了μ(t)對時間一致的最優投資策略π*(t)的影響.從圖3可得π*(t)是μ(t) 的單調遞增函數，μ(t)是風險資產的平均收益率，表明μ(t)增大投資者從風險資產上的投資收益將增大，投資者會冒風險進行投資.

例4取μ(t)=0.04，b(t)=0.4，σ(t)=0.05，γ=0.2，ρ(t)=0.2，y(t)=10，T-t=2，a(t)=0.04，r(t)∈[0.01，0.03].圖4給出了r(t)對時間一致的最優投資策略π*(t)的影響.從圖4可得π*(t)是r(t) 的單調遞減函數，r(t)是無風險資產的利率，說明隨著r(t)的增大投資者從無風險資產上投資的收益將增加，因此會減少在風險資產上的投資金額.

圖3 μ(t)對π*(t)的影響

例5取μ(t)=0.04，r(t)=0.02，a(t)=0.04，γ=0.2，ρ(t)=0.2，y(t)=10，T-t=2，b(t)=0.4，σ(t)∈[0.05，0.08].圖5給出了σ(t)對時間一致的最優投資策略π*(t)的影響.從圖5可知π*(t)是σ(t) 的單調遞減函數，σ(t)是風險資產的波動率，σ(t)增大表明投資風險增大，因此投資者會減少在風險資產上的投資金額.

例6取μ(t)=0.04，r(t)=0.02，σ(t)=0.05，γ=0.2，b(t)=0.4，y(t)=10，T-t=2，a(t)=0.04，ρ(t)∈[-0.2，0.2].圖6給出了ρ(t)對時間一致的最優投資策略π*(t)的影響.從圖5可知π*(t)是ρ(t) 的單調遞減函數，ρ(t)表示風險資產和通貨膨脹因素之間的相關系數，說明隨著相關性增大，投資者會減少在風險資產上的投資金額.

圖5 σ(t)對π*(t)的影響

[參 考 文 獻]

[1] MARKOWITZ H M.Portfolio section[J].Journal of Finance，1952，7(1)：77-91.

[2] ZHOU X，YIN G.Markowitz’s mean-variance portfolio selection with regime switching：a continuous-time model[J].SIAM Journal on Control and Optimal，2003，42(4)：1466- 1482.

[3] XIE S X.Continuous-time portfolio selection with liability and regime switching[J].Insurance：Mathematical and Economics，2009，45(1)：148-155.

[4] 楊鵬.均值-方差準則下CEV模型的最優投資和再保險[J].系統科學與數學，2014，34(9)：1100-1107.

[5] LIANG Z，BI J，YUEN K，et al.Optimal mean-variance reinsurance and investment in a jump diffusion financial market with common shock dependence[J/OL].Mathematical Methods of Operations Research，2016[2016-09-26].doi：10.1007/s00186-016-0538-0.

[6] BRENNAN M J，XIA Y.Dynamic asset allocation under inflation[J].Journal of Finance，2002，57(3)：1201-1238.

[7] BENSOUSSAN A，KEPPO J，SETHI S P.Optimal consumption and portfolio decisions with partially observed real prices[J].Mathematical Finance，2009，19(2)：215-236.

[8] 姚海祥，姜靈敏，馬慶華，等.考慮通貨膨脹因素下的連續時間均值-方差投資組合選擇[J].控制與決策，2013，28(1)：43-48.

[9] LI Z F，ZENG Y，LAI Y Z.Optimal time-consistent investment and reinsurance strategies for insurers under Heston’s SV model[J].Insurance：Mathematics and Economics，2012，51(1)：191-203.

[10] ZENG Y，LI Z F.Optimal time-consistent investment and reinsurance policies for mean-variance insurers[J].Insurance：Mathematics and Economics，2011，49(1)：145-154

[11] ZENG Y，LI Z F，LAI Y Z.Time-consistent investment and reinsurance strategies for mean variance insurers with jumps[J].Insurance：Mathematics and Economics，2013，52(3)：489-507.

[12] LI D P，RONG X M，ZAO H.Time-consistent reinsurance-investment strategy for an insurer and a reinsurer with mean-variance criterion under the CEV model[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2015，283：142-162.

[13] BJORK T，MURGOCI A，ZHOU X Y.Mean variance portfolio optimization with state dependent risk aversion[J].Mathematical Finance，2014，42(1)：1-24.

[14] KRONBORG M T，STEFFENSEN M.Inconsistent investment and consumption problems[J].Applied Mathematics and Optimization，2015，71(3)：473-515.