一類帶有食餌避難捕食-競爭擴散模型的定性分析

劉曉慧，王 靜

(東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春 130024)

1 預備知識

眾所周知，擴散現象對于捕食者-食餌模型的動力學行為起著非常重要的作用.[1-3]因為種群的密度通常是空間不均勻分布的，擴散過程能更好地刻畫出捕食者及食餌在不同的種群密度下種群數量流動的復雜性.考慮如下的種群模型：

(1)

其中：Ω∈RN(N≥1)是一個給定的有界光滑域；u1，u2是具有競爭關系的兩個食餌；u3是捕食者；△是拉普拉斯算子；v是Ω邊界上的單位外法向量；d1，d2，d3是正擴散系數；初始函數ui(x，0)(i=1，2，3)是連續函數.系統(1)是一個捕食競爭模型，在這個模型中，兩個食餌是競爭關系，并且在競爭中第一個食餌u1比第二個食餌u2更有優勢，這主要體現在α>1上.食餌u2有避難保護，即對捕食者免疫，使得捕食者u3只能捕食食餌u1.

本文研究系統(1)的正穩態解的存在性和不存在性，可轉化為研究下面橢圓系統非常值正解的存在性與不存在性：

(2)

本文通過特征方程的方法得到系統(1)平衡點的局部穩定性；通過先驗估計得到系統(2)的正穩態解的上下界；通過構造適當的V函數得到系統(1)的唯一正平衡點在一定的條件下是全局漸近穩定的；最后利用拓撲度理論對系統(2)的非常值正穩態解的不存在性和存性進行了研究.

2 反應擴散系統平衡點的局部穩定性

令0=μ1<μ2<μ3<…是滿足Neumann邊界條件、在Ω上-Δ算子的特征值，E(μi)是μi在C1(Ω)上相應的特征空間，定義集合

Ψi(λ)=λ3+B1iλ2+B2iλ+B3i.

其中：

B1i=μi(d1+d2+d3)+A1，

由文獻[4]，因為a11<0，a22<0，所以B1i，B2i，B3i>0.通過直接計算得

其中：

M1=(d1+d2+d3)(d1d2+d1d3+d2d3)-d1d2d3，

M2=A1(d1d2+d2d3+d1d3)-(d1+d2+d3)[a22d1+a11d2+(a11+a22)d3]+(d1d3a22+d2d3a11)，

M3=A2(d1+d2+d3)-A1[a22d1+a11d2+(a11+a22)d3]-[(a11a22-a12a21)d3-a13a31d2].

由文獻[4]可知A1A2-A3>0，于是對于所有的i≥0，均有B1iB2i-B3i>0.根據Routh-Hurwitz判別法，對每一個i≥1，Ψi(λ)=0的三個根λi1，λi2，λi3都有負實部，定理結論成立.

3 正穩態解的有界性

引理3.2(最大值原理)[6]令g(x，ω)∈C(Ω×R1)，bj(x)∈C(Ω)，j=1，2，…，N.

為了方便，定義常數(d1，d2，d3)=d，(a，b1，b2，d1，d2，k，l，m)=Λ.

定理3.1設D1，D2，D3是任意給定的正常數，則存在一個常數C=C(d，Ω，Λ)，滿足當K>Cα，且di≥Di(i=1，2，3)時，對系統(2)的任意解(u1，u2，u3)有

C-1

證明首先證明(u1，u2，u3)有上界，即ui

直接應用最大值原理得u2≤K.下證u1，u3有上界.設ω=cd1u1+d3u3，那么

由引理3.2，

取C充分大，則ui

其次證明(u1，u2，u3)有下界，即ui>C-1，i=1，2，3.

根據系統(1)的第一個方程，已知u1≠0，所以只需要考慮u2=0或u3=0的情況.

當i→∞時有

(3)

4 反應擴散系統平衡點的全局穩定性

令u=(u1，u2，u3)是系統(1)的一個正解，ui>0，i=1，2，3.

證明首先構造V函數

由Green公式

所以

5 非常值正穩態解的不存在性

證明因為

(4)

選取足夠小ε，使得

定理證畢.

6 非常值正穩態解的存在性

首先研究系統(2)在u*處的線性化，設X定義同前，令

X+={u∈X|ui>0在Ω上，i=1，2，3}，

B(C)={u∈X|C-1

其中C由前文給出.系統(2)改寫為

(5)

u是系統(5)的正解，當且僅當

F(u)?u-(I-Δ)-1{D-1G(u)+u}=0

在X+中成立.這里(I-Δ)-1是(I-Δ)在帶有Neumann齊次邊界條件的X中的轉置.因為F(·)是恒同算子的一個緊擾動，對任意B=B(c)，若在?B中F(u)≠0，可以定義Leray-Schauder度deg(F(·)，0，B).記DuF(u*)=I-(I-Δ)-1{DGu(u*)+I}，如果DuF(u*)是可逆的，F在u*處的指數就定義為index(F(·)，u*)=(-1)γ，這里γ是DuF(u*)帶有負實部特征根的總數.在討論DuF(u*)的特征根時，將用到如下的分解

首先對任意i>0和1≤j≤dimE(μi)，Xij在DuF(u*)下是不變的，且λ是DuF(u*)在Xij上的特征根，當且僅當它是如下矩陣的特征根：

(6)

如果H(μi)≠0，那么對任意1≤j≤dimE(μi)，DuF(u*)在Xij上負特征根的個數是奇數，當且僅當H(μi)<0.

引理6.1[7-8]假設對任意的i≥0，矩陣μiI-D-1Gu(u*)是非奇異的，則

index(F(·)，u*)=(-1)σ，

這里

這個結論表明σ和γ奇偶性是相同的.為了計算(F(·)，u*)的指數，需要考慮H(μi)的符號.直接計算得

det{μD-Gu(u*)}=A3(d3)μ3+A2(d3)μ2+A1(d3)μ-detGu(u*)?A(d3；μ).

(7)

其中：

A3(d3)=d1d2d3，A2(d3)=-a11d2d3-a22d1d3，

A1(d3)=a11a22d3-a13a31d2-a12a21d3.

計算得

如果參數Λ，d1，d2滿足a11d2+a22d1<0，能得到以下命題：

(8)

如果a11a22-a12a21<0，則

(9)

如果a11a22-a12a21>0，則

(10)

定理6.1假設參數Λ，di，i=1，2是固定的，a11>0，且滿足下面的條件之一：

則存在一個正數D3，使得當d3≥D時系統(2)至少存在一個非常值正解.

證明如果a11a22-a12a21<0，由引理6.2知存在一個正常數D3，使得d3≥D3，且

(11)

(12)

則u是系統(2)的一個非常值解，當且僅當它是系統(12)當t=1時的一個正解.顯然u*是系統(12)對任意0≤t≤1唯一的正解.對任意的0≤t≤1，u是系統(12)的一個正解，當且僅當

F(t；u)?u-(I-Δ)-1{D-1(t)G(u)+u}=0

在X+上成立.

顯然F(1；u)=F(u)，定理5.1表明當F(0；u)=F(u)=0時，u*在X+中有唯一的正解

DuF(t；u*)=I-(I-Δ)-1{D-1(t)Gu(u*)+I}.

特別地，

DuF(1；u*)=I-(I-Δ)-1{D-1Gu(u*)+I}=DuF(u*).

(13)

根據(9)，(11)與(13)式，

(14)

由引理6.2，

index(F(1；·)，u*)=(-1)γ=(-1)σn=-1.

(15)

如果a11a22-a12a21>0，由引理6.2知存在一個正常數D3，使得當d3≥D3成立且

(16)

根據(10)，(13)及(16)式，

(17)

由引理6.2，

index(F(1；·)，u*)=(-1)γ=(-1)σn=-1.

同理

index(F(0；·)，u*)=(-1)01.

(18)

由定理3.1知存在一個正常數C，使得對任意的0≤t≤1，方程(13)的正解滿足C-1

deg(F( 1；·)，0，B(c))=deg(F(0；·)，0，B(c)).

(19)

另一方面，由假設，方程F(1；u)=0和F(0；u)=0在B(c)上有唯一的正解，因此由(15)和(18)式，

deg(F( 0；·)，0，B(c))=index(F(0；·)，0，u*)=(-1)0=1，

deg(F( 1；·)，0，B(c))=index(F(1；·)，0，u*)=(-1)0=-1.

這與(19)式矛盾，定理證畢.

[參 考 文 獻]

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