半正定極因子的擾動(dòng)界

涂媛媛，尚旭東

(南京師范大學(xué)泰州學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)與應(yīng)用學(xué)院，江蘇 泰州 225300)

1 預(yù)備知識(shí)

文獻(xiàn)[1]給出矩陣廣義極酉分解兩個(gè)擾動(dòng)界，該成果改進(jìn)了陳小山和黎穩(wěn)[2-3]的相關(guān)結(jié)論.本文利用廣義極分解及奇異值分解的方法，提出F范數(shù)及2-范數(shù)下新的擾動(dòng)界，改進(jìn)了已知結(jié)論.

定義1.1[4]設(shè)A∈Cm×n有分解

A=QH，

(1)

若Q∈Cm×n是次酉矩陣，H∈Cn×n為半正定陣，則這一分解叫作A的廣義極分解.

(2)

(3)

則A=QH是A的廣義極分解.

矩陣的廣義極分解不唯一，從而給問(wèn)題的研究以及實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)了困難.下面定理的限制條件，可使廣義極分解唯一.

R(QH)=R(H)

(4)

的限制下，A的廣義極因子Q，H唯一確定，并由(3)式給出.

(5)

(6)

(7)

(8)

‖Aij‖≤‖A‖，‖B‖≤‖A‖，‖C‖≤‖A‖，‖D‖≤‖A‖，

其中i，j=1，2.

Δ=[α，β]?R，Δ′=R(α-δ，β+δ)，δ>0.

2 主要結(jié)果

(9)

則S，T為酉陣.由引理1.1有

(10)

同理可得

(11)

應(yīng)用引理1.1—1.2及(10)—(11)式，

(12)

另一方面，由(12)式可得

注1當(dāng)引理1.3中的酉不變范數(shù)取為F范數(shù)時(shí)，

(13)

比較(13)與(9)式有

因而定理2.1在酉不變范數(shù)取為F范數(shù)的情況下改進(jìn)了文獻(xiàn)[1]中定理3.1的結(jié)果.

(14)

由引理1.4，

而文獻(xiàn)[1]中(3.6)式為

顯然，本文的結(jié)果改善了文獻(xiàn)[1]中推論3.1的結(jié)果.

注3在一定條件下，本文定理2.2的結(jié)果也改善了文獻(xiàn)[4]中的著名估計(jì)

(15)

(16)

由此得

(17)

(18)

(19)

由(17)式及引理1.4可得

由(18)，(19)式得

注4當(dāng)酉不變范數(shù)取為2-范數(shù)時(shí)，文獻(xiàn)[1]中定理3.1結(jié)果為

(20)

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] HONG X L，MENG L S，ZHENG B.Some new perturbation bounds of generalized polar decomposition[J].Applied Mathematics and Computation，2014，233(10)：430-438.

[2] CHEN X，LI W.Variations for the Q-& H-factors in the polar decomposition[J].Calcolo，2008，45(2)：99-109.

[3] LI W.On the perturbation bound in unitarily invariant norms for subunitary polar factors[J].Linear Algebra and its Applications，2008，429(2/3)：649-657.

[4] 孫繼廣，陳春暉.廣義極分解[J].計(jì)算數(shù)學(xué)，1989(3)：262-273.

[5] LI W.Some new perturbation bounds for subunitary polar factors[J].Acta Math Sinica，2005(6)：1515-1520.

[6] 孫繼廣.矩陣擾動(dòng)分析[M].第二版.北京：科學(xué)出版社，2001：72-95.

[7] DAVIS C，KAHAN W M.The rotation of eigenvectors by a perturbation[J].SIAM J Numer Anal，1986(7)：1160-1174.