Rota-Baxter 3-超代數的構造

王 波，劉貴來，魏 竹

(東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春 130024)

0 引言

Rota-Baxter代數是由數學家Glen E Baxter在1960年提出的，隨后眾學者進行了廣泛研究.[1-3]李代數中滿足Rota-Baxter等式的線性算子是由Belavin引入的，之后由物理學家楊振寧和Rodney Baxter命名.近年來，Rota-Baxter代數在理論物理和數學中有許多應用并取得了豐碩的研究成果，主要包括量子場論[4]、Yang-Baxter方程[5-7]、Hopf代數[8-9]與Rota-Baxter 3-Lie代數[10-11].Rota-Baxter算子在應用數學中也有廣泛應用.

1974年，物理學家Wess和Zumion為了建立相對論的費米子與玻色子的統一理論，提出了超對稱性概念，將普通時空滿足的Poincaré代數(即非齊次Lorentz代數)擴充為超Poincaré代數[12]，將有限個不同內部量子數的玻色子與費米子放在李超代數的一個不可約表示中，從此李超代數引起數學工作者的研究興趣.

受Rota-Baxter代數和超代數研究的啟發，本文給出了超導子、Rota-Baxter 3-李超代數及Rota-Baxter李超三系的定義，并給出在這兩個超代數上分別通過重新定義偶三元線性映射來構造新Rota-Baxter 3-李超代數和Rota-Baxter李超三系的方法.

1 Rota-Baxter 3-超代數的超導子

定義1.2設(V，·)是域K上的超代數.若V上的偶線性映射D：V→V滿足

D(x·y)=D(x)·y+x·D(y)，?x，y∈V，

(1)

則稱映射D為V的超導子，所有超導子的集合記為Der(V).更一般地，若V上的偶線性映射d：V→V滿足

d(x·y)=d(x)·y+x·d(y)+λx·y，?x，y∈V，λ∈K，

(2)

則稱映射d為V上權為λ的超導子.

定義1.3設3-超代數(V，〈，，〉)上偶線性映射d：V→V滿足等式

〈d(x1)，x2，x3〉+〈x1，d(x2)，x3〉+〈x1，x2，d(x3)〉+

λ〈d(x1)，d(x2)，x3〉+λ〈d(x1)，x2，d(x3)〉+
λ〈x1，d(x2)，d(x3)〉+λ2〈d(x1)，d(x2)，d(x3)〉，

(3)

定義1.4設(V，·)是域K上的超代數.若V上的偶線性映射P：V→V滿足

P(x)·P(y)=P(P(x)·y+x·P(y)+λx·y)，?x，y，∈V，λ∈K，

(4)

則稱(V，·，P)是域K上的Rota-Baxter超代數，稱映射P為V的權為λ的Rota-Baxter超算子，稱(4)式為Rota-Baxter超等式.

定義1.5設3-超代數(V，〈，，〉)上偶線性映射P：V→V滿足

P(〈P(x1)，P(x2)，x3〉)+P(〈P(x1)，x2，P(x3)〉)+
P(〈x1，P(x2)，P(x3)〉)+λP(〈P(x1)，x2，x3〉)+
λP(〈x1，P(x2)，x3〉)+λP(〈x1，x2，P(x3)〉)+λ2P(〈x1，x2，x4〉)，

(5)

定理1.1設(V，〈，，〉)是域K上的3-超代數，則偶可逆線性映射P：V→V是權為λ的Rota-Baxter超算子的充分必要條件是P-1是3-超代數(V，〈，，〉)的權為λ的超導子.

證明設偶可逆線性映射P：V→V是權為λ的Rota-Baxter超算子，且對于?x1，x2，x3∈V，令yi=p-1(xi)，i=1，2，3，由等式(5)有

P-1(〈x1，x2，x3〉)=P-1(〈P(y1)，P(y2)，P(y3)〉)=
P-1P(〈P(y1)，P(y2)，y3〉+〈P(y1)，y2，P(y3)〉+〈y1，P(y2)，P(y3)〉)+
λP-1P(〈P(y1)，y2，y3〉+〈y1，P(y2)，y3〉+〈y1，y2，P(y3)〉)+λ2P-1P(〈y1，y2，y3〉)=
〈x1，x2，P-1(x3)〉+〈x1，P-1(x2)，x3〉+〈P-1(x1)，x2，x3〉+λ(〈x1，P-1(x2)，P-1(x3)〉+
〈P-1(x1)，x2，P-1(x3)〉+〈P-1(x1)，P-1(x2)，x3〉)+λ2(〈P-1(x1)，P-1(x2)，P-1(x3)〉)，

故由(3)式可得P-1是超代數(V，〈，，〉)的權為λ的超導子.

反之，若P是超代數(V，〈，，〉)的權為λ的超導子，?x1，x2，x3∈V，由等式(3)可得

P(〈P-1(x1)，P-1(x2)，P-1(x3)〉)=〈x1，P-1(x2)，P-1(x3)〉+
〈P-1(x1)，x2，P-1(x3)〉+〈P-1(x1)，P-1(x2)，x3〉+

λ〈x1，x2，P-1(x3)〉+λ(〈x1，P-1(x2)，x3〉+〈P-1(x1)，x2，x3〉)+λ2〈x1，x2，x3〉，

從而

〈P-1(x1)，P-1(x2)，P-1(x3)〉=P-1(〈x1，P-1(x2)，P-1(x3)〉+〈P-1(x1)，x2，P-1(x3)〉)+
P-1(〈P-1(x1)，P-1(x2)，x3〉+λ〈x1，x2，P-1(x3)〉)+
λP-1(〈x1，P-1(x2)，x3〉+〈P-1(x1)，x2，x3〉)+λ2P-1(〈x1，x2，x3〉).

2 從Rota-Baxter 3-李超代數構造Rota-Baxter 3-李超代數

定義2.1設V是域K上的向量超空間.若在V上定義偶三元線性映射[，，]：V?V?V→V，滿足：

[x1，x2，x3]=-(-1)|x1||x2|[x2，x1，x3]，[x1，x2，x3]=-(-1)|x2||x3|[x1，x3，x2]，

(6)

[[x1，x2，x3]，y2，y3]=(-1)|x2||y2|+|x2||y3|+|x3||y2|+|x3||y3|[[x1，y2，y3]，x2，x3]+

(-1)|x3||y2|+|x3||y3|[x1，[x2，y2，y3]，x3]+[x1，x2，[x3，y2，y3]]，

(7)

?x1，x2，x3，y2，y3∈V.則稱(V，[，，])為3-李超代數，稱(7)式為3-Jacobi超等式.

事實上，(7)式與下式等價：

[[x1，x2，x3]，y2，y3]=(-1)|x2||y2|+|x2||y3|+|x3||y2|+|x3||y3|[[x1，y2，y3]，x2，x3]+

(-1)|x1||x2|+|x1||y2|+|x1||y3|+|x3||y2|+|x3||y3|[[x2，y2，y3]，x1，x3]+

(-1)|x1||x3|+|x1||y2|+|x1||y3|+|x2||x3|+|x2||y2|+|x2||y3|[[x3，y2，y3]，x1，x2].

(8)

定義2.2設(V，[，，])是域K上的3-李超代數.若V上偶線性映射P：V→V滿足

λP([x1，P(x2)，x3])+λP([x1，x2，P(x3)])+λ2P([x1，x2，x3])，

(9)

設(V，[，，]，P)是域K上權為λ的Rota-Baxter 3-李超代數，利用等式(5)，可在V上定義偶三元線性映射

[P(x)，P(y)，z]+[P(x)，y，P(z)]+[x，P(y)，P(z)]+

λ[P(x)，y，z]+λ[x，P(y)，z]+λ[x，y，P(z)]+λ2[x，y，z]，

(10)

?x，y，z∈V，λ∈K.

定理2.1設(V，[，，]，P)是域K上權為λ的Rota-Baxter 3-李超代數.若在V上定義偶三元線性運算[，，]P滿足等式(10)，則(V，[，，]P，P)是權為λ的Rota-Baxter 3-李超代數.

證明首先證明(V，[，，]P，P)是3-李超代數.顯然[，，]P滿足等式(6)，只需證明[，，]P滿足3-Jacobi超等式即可.對于?x1，x2，x3，x4，x5∈V，令y1=[x1，x2，x3]P，y2=x4，y3=x5，由等式(9)和(10)有

因為(V，[，，]，P)是3-李超代數，所以對于?≠K?{1，2，3，4，5}有

(-1)|x1||x2|+|x1||x4|+|x1||x5|+|x3||x4|+|x3||x5|[[(x2)，(x4)，(x5)]，(x1)，(x3)]+
(-1)|x1||x3|+|x1||x4|+|x1||x5|+|x2||x3|+|x2||x4|+|x2||x5|[[(x3)，(x4)，(x5)]，(x1)，(x2)].

再證明Rota-Baxter等式成立即可.事實上，

推論2.1[13]設(V，[，]，P)是域K上權為λ的Rota-Baxter李超代數，f∈L*，假設f，P滿足f([x，y])=0，

(P+λid)(f(x)[P(y)，P(z)]+(-1)|x||y|+|x||z|f(y)[P(z)，P(x)]+
(-1)|x||z|+|y||z|f(z)[P(x)，P(y)])=0.

若定義

[x，y，z]f，P=f(P(x))([P(y)，z]+[y，P(z)]+λ[y，z])+

(-1)|x||y|+|x||z|f(P(y))([P(z)，x]+[z，P(x)]+λ[z，x])+

(-1)|x||z|+|y||z|f(P(z))([P(x)，y]+[x，P(y)]+λ[x，y])+

f(x)([P(y)，P(z)]+λ[P(y)，z]+λ[y，P(z)]+λ2[y，z])+

(-1)|x||y|+|x||z|f(y)([P(z)，P(x)]+λ[P(z)，x]+λ[z，P(x)]+λ2[z，x])+

(-1)|x||z|+|y||z|f(z)([P(x)，P(y)]+λ[P(x)，y]+λ[x，P(y)]+λ2[x，y])，

(11)

?x，y，z∈V，λ∈K，則(V，[，，]f，P，P)是權為λ的Rota-Baxter 3-李超代數.

證明由文獻[10]，?x，y，z∈V，若定義

[x，y，z]f=f(x)[y，z]+(-1)|x||y|+|x||z|f(y)[z，x]+(-1)|x||z|+|y||z|f(z)[x，y]，

則(V，[，，]f，P)是權為λ的Rota-Baxter 3-李超代數.現定義[，，]∶=[，，]f，再利用等式(10)可以定義偶三元線性映射[，，]f，P，由定理2.1，(V，[，，]f，P，P)是權為λ的Rota-Baxter 3-李超代數，顯然等式(11)成立.

3 從Rota-Baxter李超三系構造Rota-Baxter李超三系

定義3.1[10]設V是域K上的向量超空間.若在V上定義偶三元線性映射[，，]：V?V?V→V，滿足：

[x，y，z]=-(-1)|x||y|[y，x，z]，

(12)

[x，y，z]+(-1)|x||y|+|x||z|[y，z，x]+(-1)|x||z|+|y||z|[z，x，y]=0，

(13)

[[x，y，z]，u，v]=(-1)|y||u|+|y||v|+|z||u|+|z||v|[[x，u，v]，y，z]+
(-1)|z||u|+|z||v|[x，[y，u，v]，z]+[x，y，[z，u，v]]，

(14)

?x，y，z，u，v∈V.則稱(V，[，，])為李超三系.

李超三系是3-李超代數，可以按照Rota-Baxter 3-李超代數的定義方式來定義Rota-Baxter李超三系.

定義3.2設(V，[，，])是李超三系.若V上偶線性映射P：V→V滿足

[P(x)，P(y)，P(z)]=[P(x)，P(y)，z]+[P(x)，y，P(z)]=

[x，P(y)，P(z)]+λ[x，y，P(z)]+λ[x，P(y)，z]+λ[P(x)，y，z]+λ2[x，y，z]，

(15)

?x，y，z∈V，λ∈K，則稱(V，[，，]，P)是權為λ的Rota-Baxter李超三系.

定理3.1設(V，[，，]，P)是權為λ的Rota-Baxter李超三系.若在V上定義偶三元線性映射[，，]P：V?V?V→V滿足等式(10)，則(V，[，，]P，P)是權為λ的Rota-Baxter李超三系.

證明由于(V，[，，]，P)是權為λ的Rota-Baxter李超三系，?x，y，z，u，v∈V，顯然有

[x，y，z]P=-(-1)|x||y|[y，x，z]P，

[x，y，z]P+(-1)|x||y|+|x||z|[y，z，x]P+(-1)|x||z|+|y||z|[z，x，y]P=0.

再根據定理2.1，

[[x，y，z]P，u，v]P=(-1)|y||u|+|y||v|+|z||u|+|z||v|[[x，u，v]P，y，z]P+
(-1)|z||u|+|z||v|[x，[y，u，v]P，z]P+[x，y，[z，u，v]P]P.

由等式(10)和(9)，

[P(x)，P(y)，P(z)]P=[P2(x)，P2(y)，P(z)]+
[P2(x)，P(y)，P2(z)]+[P(x)，P2(y)，P2(z)]+

λ[P2(x)，P(y)，P(z)]+λ[P(x)，P2(y)，P(z)]+
λ[P(x)，P(y)，P2(z)]+λ2[P(x)，P(y)，P(z)]=

P([x1，P(x2)，P(x3)]P)+λP([P(x1)，x2，x3]P)+
λP([x1，P(x2)，x3]P)+λP([x1，x2，P(x3)]P)+λ2P([x1，x2，x3]P).

定理3.2設(V，[，]，P)是權為λ的Rota-Baxter李超代數.若在V上定義偶三元線性映射[，，]：V?V?V→V滿足

[x，y，z]∶=[x，[y，z]]，?x，y，z∈V，

(16)

則(V，[，，]，P)是權為λ的Rota-Baxter李超三系.

證明由文獻[10，14]，若(V，[，])是李超代數，則(V，[，，])是李超三系([，，]滿足等式(16)).由(4)和(16)式，?x，y，z∈V，

[P(x)，[P(y)，P(z)]]=[P(x)，P([y，P(z)])]+
[P(x)，P([P(y)，z])]+λ[P(x)，P([y，z])]=

P([P(x)，[y，P(z)]])+P([x，P([y，P(z)])])+λP([x，[y，P(z)]])+

P([P(x)，[P(y)，z]])+P([x，P([P(y)，z])])+λP([x，[P(y)，z]])+

λP([P(x)，[y，z]])+λP([x，P([y，z])])+λ2P([x，[y，z]]).

因為

P([x，[P(y)，P(z)]])=P([x，[y，P(z)]])+P([x，P([P(y)，z])])+λP([x，P([y，z])])，

從而

[P(x)，P(y)，P(z)]=[P(x)，[P(x)，P(y)]]=
P([P(x)，[P(y)，z]])+P([P(x)，[y，P(z)]])+P([x，[P(y)，P(z)]])+

λP([P(x)，[y，z]])+λP([x，[P(y)，z]])+λP([x，[y，P(z)]])+λ2P([x，[y，z]])=

P([P(x)，P(y)，z])+P([P(x)，y，P(z)])+([x，P(y)，P(z)])+

λP([P(x)，y，z])+λP([x，P(y)，z])+λP([x，y，P(z)])+λ2P([x，y，z]).

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