《衛(wèi)星通信》教學中關(guān)于開普勒三定律的探討

吳瓊 李正權(quán) 高美鳳 劉洋 張翠

摘 要：本文根據(jù)嫦娥一號衛(wèi)星圍繞月球運轉(zhuǎn)時的計算結(jié)果和實際測量結(jié)果，驗證了衛(wèi)星圍繞月球運動時不滿足開普勒三定律，并分析了衛(wèi)星圍繞月球（和其他星球）運轉(zhuǎn)不滿足開普勒三定律的原因，由于開普勒三定律由運動學理論和衛(wèi)星圍繞地球運轉(zhuǎn)時所受地球萬有引力推導而得。

關(guān)鍵詞：開普勒三定律；運動學；萬有引力定律；衛(wèi)星通信

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.10.221

在《衛(wèi)星通信》教科書中有以下定理，衛(wèi)星圍繞地球運動時由于受重力吸引而滿足開普勒三定律[1][2][3][4]。本文首先敘述了開普勒三定律，然后計算結(jié)果表明嫦娥一號衛(wèi)星圍繞月球運轉(zhuǎn)時不滿足開普勒三定律，并根據(jù)萬有引力定律和運動學理論分析了原因。

1 開普勒三定律

第一定律：衛(wèi)星沿著以地心為一焦點的圓錐曲線的軌道運動。該軌道的平面極坐標表達式為：

公式（1）中e為偏心率，p為半焦弦，它們均由衛(wèi)星進入軌道時的初始狀態(tài)所決定，e滿足，這時軌道一般為橢圓形軌道（僅當e=0時為圓形）[1][2][3][4]。

第二定律：衛(wèi)星的位置矢量在單位時間內(nèi)掃過的面積一定。也就是說，r繞地心轉(zhuǎn)動時所掃過的面積A對時間的變化率保持為常數(shù)，即：

從公式（2）可以看出：r較小時，衛(wèi)星繞地心飛行的角速度就較高；r較大時則反之。如衛(wèi)星作等速飛行，則r不變，軌道為圓形[1][2][3][4]。

第三定律：衛(wèi)星運轉(zhuǎn)的周期T與軌道的半長軸a的3/2次方成正比[1][2][3][4]，即：

2 例題解析

例1. 嫦娥一號衛(wèi)星距月面高度約200km、周期為 127min的圓軌道上運行，速度為每秒1.59km。嫦娥一號衛(wèi)星重量m=2350kg， 月球半徑R=1738km，月球質(zhì)量為M=7.35×1022kg。試驗驗證衛(wèi)星的運行是否滿足開普勒三定律，開普勒常數(shù)=398613.52km2/s2。

很顯然公式（4）和（5）得到的計算結(jié)果與地面測控系統(tǒng)所測周期為 127min，速度為1.59km/s不相符，故不滿足開普勒三定律。

3 原因分析

從上面例1可以看出，當衛(wèi)星圍繞月球（或其他星球）時，不再滿足開普勒三定律。下面根據(jù)萬有引力定律對這種現(xiàn)象做出分析。假設嫦娥一號衛(wèi)星距離地球表面和距離月球表面高度都為200km的圓軌道上運行，根據(jù)萬有引力定律有：

根據(jù)運動學理論，由向心力公式F=mv2/R可知，衛(wèi)星的運動速度與引力和半徑成正比，當引力和半徑越大，則速度越大。很顯然上面兩式中F1>F2，h+RE>h+R1，換句話說衛(wèi)星在離地面和月面高度相同的圓軌道上運行時，地球?qū)πl(wèi)星的引力要大于月球?qū)πl(wèi)星的引力。而衛(wèi)星距地心的距離要大于衛(wèi)星距月心的距離，所以這種情況下衛(wèi)星圍繞地球的運轉(zhuǎn)速度要大于圍繞月球的運轉(zhuǎn)速度。由于開普勒三定律是由運動學理論和衛(wèi)星圍繞地球運轉(zhuǎn)時所受地球萬有引力推導而得，所以開普勒三定律只適用于圍繞地球運轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，不適用于圍繞月球（和其他星球）的衛(wèi)星，要加上適當?shù)男拚禂?shù)才能適用。

4 結(jié)束語

在《衛(wèi)星通信》教學中，衛(wèi)星圍繞地球運動時由于受重力吸引而滿足開普勒三定律，而衛(wèi)星圍繞月球運動時不滿足開普勒三定律。本文根據(jù)嫦娥一號衛(wèi)星圍繞地球運轉(zhuǎn)和圍繞月球運轉(zhuǎn)時的計算結(jié)果和實際測量結(jié)果進行了驗證，并分析了衛(wèi)星圍繞月球（和其他星球）運轉(zhuǎn)是不滿足開普勒三定律的原因。

參考文獻：

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[3]呂海寰，蔡劍銘，甘仲民，陳久治.衛(wèi)星通信系統(tǒng)[M].北京：人民郵電出版社，1993.

[4]Dennis Roddy.衛(wèi)星通信[M].Satellite Communications（第三版）（英文影印版），北京：清華大學出版社，2011.

作者簡介：吳瓊（1986-），男，江蘇徐州人，博士，講師，研究方向：車載網(wǎng)絡。