《衛星通信》教學中關于開普勒三定律的探討

吳瓊 李正權 高美鳳 劉洋 張翠

摘 要：本文根據嫦娥一號衛星圍繞月球運轉時的計算結果和實際測量結果，驗證了衛星圍繞月球運動時不滿足開普勒三定律，并分析了衛星圍繞月球（和其他星球）運轉不滿足開普勒三定律的原因，由于開普勒三定律由運動學理論和衛星圍繞地球運轉時所受地球萬有引力推導而得。

關鍵詞：開普勒三定律；運動學；萬有引力定律；衛星通信

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.10.221

在《衛星通信》教科書中有以下定理，衛星圍繞地球運動時由于受重力吸引而滿足開普勒三定律[1][2][3][4]。本文首先敘述了開普勒三定律，然后計算結果表明嫦娥一號衛星圍繞月球運轉時不滿足開普勒三定律，并根據萬有引力定律和運動學理論分析了原因。

1 開普勒三定律

第一定律：衛星沿著以地心為一焦點的圓錐曲線的軌道運動。該軌道的平面極坐標表達式為：

公式（1）中e為偏心率，p為半焦弦，它們均由衛星進入軌道時的初始狀態所決定，e滿足，這時軌道一般為橢圓形軌道（僅當e=0時為圓形）[1][2][3][4]。

第二定律：衛星的位置矢量在單位時間內掃過的面積一定。也就是說，r繞地心轉動時所掃過的面積A對時間的變化率保持為常數，即：

從公式（2）可以看出：r較小時，衛星繞地心飛行的角速度就較高；r較大時則反之。如衛星作等速飛行，則r不變，軌道為圓形[1][2][3][4]。

第三定律：衛星運轉的周期T與軌道的半長軸a的3/2次方成正比[1][2][3][4]，即：

2 例題解析

例1. 嫦娥一號衛星距月面高度約200km、周期為 127min的圓軌道上運行，速度為每秒1.59km。嫦娥一號衛星重量m=2350kg， 月球半徑R=1738km，月球質量為M=7.35×1022kg。試驗驗證衛星的運行是否滿足開普勒三定律，開普勒常數=398613.52km2/s2。

很顯然公式（4）和（5）得到的計算結果與地面測控系統所測周期為 127min，速度為1.59km/s不相符，故不滿足開普勒三定律。

3 原因分析

從上面例1可以看出，當衛星圍繞月球（或其他星球）時，不再滿足開普勒三定律。下面根據萬有引力定律對這種現象做出分析。假設嫦娥一號衛星距離地球表面和距離月球表面高度都為200km的圓軌道上運行，根據萬有引力定律有：

根據運動學理論，由向心力公式F=mv2/R可知，衛星的運動速度與引力和半徑成正比，當引力和半徑越大，則速度越大。很顯然上面兩式中F1>F2，h+RE>h+R1，換句話說衛星在離地面和月面高度相同的圓軌道上運行時，地球對衛星的引力要大于月球對衛星的引力。而衛星距地心的距離要大于衛星距月心的距離，所以這種情況下衛星圍繞地球的運轉速度要大于圍繞月球的運轉速度。由于開普勒三定律是由運動學理論和衛星圍繞地球運轉時所受地球萬有引力推導而得，所以開普勒三定律只適用于圍繞地球運轉的衛星，不適用于圍繞月球（和其他星球）的衛星，要加上適當的修正系數才能適用。

4 結束語

在《衛星通信》教學中，衛星圍繞地球運動時由于受重力吸引而滿足開普勒三定律，而衛星圍繞月球運動時不滿足開普勒三定律。本文根據嫦娥一號衛星圍繞地球運轉和圍繞月球運轉時的計算結果和實際測量結果進行了驗證，并分析了衛星圍繞月球（和其他星球）運轉是不滿足開普勒三定律的原因。

參考文獻：

[1]吳詩其，李興.衛星通信導論[M].北京：電子工業出版社，2002.

[2]原萍.衛星通信引論[M].沈陽：東北大學出版社，2007.

[3]呂海寰，蔡劍銘，甘仲民，陳久治.衛星通信系統[M].北京：人民郵電出版社，1993.

[4]Dennis Roddy.衛星通信[M].Satellite Communications（第三版）（英文影印版），北京：清華大學出版社，2011.

作者簡介：吳瓊（1986-），男，江蘇徐州人，博士，講師，研究方向：車載網絡。