基于群決策的加權動態網絡SBM-DEA模型

范建平，張曉杰，吳美琴

山西大學 經濟與管理學院，太原 030006

1 引言

傳統的數據包絡分析方法（Data Envelopment Analysis，DEA）由Charnes和Cooper等[1]于1978年首次提出，是一個線性的非參數模型，可用來評價多投入產生多產出且同質的決策單元（DMU）的相對效率，其中每個決策單元的投入和產出都來源于系統外部。由于它無需設定生產函數和投入產出的權重值，相對其他評價方法具有一定的優勢，因此已被廣泛應用到各個領域。然而，它在評價時忽略了決策單元內部的運行過程。得到的效率評價結果不僅與實際情況不符，而且還有可能誤導評價者。

因此，Charnes和Cooper等[2]首次提出了網絡DEA模型，后又有學者在此基礎上延伸出不同結構的網絡DEA模型，比如Wang等[3]提出了兩階段加法網絡DEA模型，并通過測量中國16家主要商業銀行的效率證明了模型的可行性，Liu等[4]在此基礎上構建了基于非期望產出的兩階段網絡DEA模型，高長宏等[5]提出了基于三階段的網絡DEA模型。黃袆等[6]提出了基于鏈性的關聯網絡DEA模型，陳凱華等[7]構建了共享投入的關聯兩階段生產系統的網絡DEA效率測度與分解模型，該模型無需事先主觀設定子效率和系統效率的組合關系，而通過事后分解確立二者之間的凸線性組合關系。Kao[8]對網絡DEA模型的提出及發展進行了較為詳細的綜述。

與此同時，跨時期效率即動態效率的測量及其變化也是學者們的關注點之一。Klopp[9]首次提出窗口分析方法來評價決策單元的動態效率，F?re等[10]提出基于Malmquist指數的動態效率DEA評價方法，并把效率變化分解成技術進步和技術創新，但是它們都忽略了連續時期間的相互作用。為了進一步探討連續時期間的相互作用，F?re等[11]首次提出一個新的動態DEA方法，且進一步探討了它的生產前沿面。Park等[12]研究了多個時期的效率集結問題，Sueyoshi等[13]分別討論了規模收益可變和規模收益不變的動態DEA模型，Tone等[14]建立了基于松弛變量的動態DEA模型，Chen[15]和Nemoto等[16-17]將其應用到生產過程以及電力公司的動態效率評價中。

然而，單純地考慮系統的內部結構或者動態結構是片面的，因此Keikha Java[18]和Tone等[20]學者提出了動態網絡DEA方法。Keikha Java等[18]建立了平行網絡結構的動態DEA模型，Kordrostami等[19]將此模型的數據類型延伸為區間型數據。Tone等[20]建立了一般結構的動態網絡SBM-DEA模型。動態網絡DEA模型可以同時考慮系統的內部網絡結構和動態變化，更加符合實際。它在實際中的應用涵蓋了高新技術產業[21]、銀行業[22-23]、報警系統[24]、公共運輸[25]及創新[26]等各個領域。

已有文獻在應用動態網絡DEA模型時有一個共同點即DMU個數與變量數相當，且由于同時考慮網絡結構和動態效應，變量個數要比非動態網絡DEA模型大得多。因此當 DMU個數相對變量數小很多時，模型可能不再適用；其次，在應用模型時只是簡單地將數據代入模型得到相應的效率值，然后根據效率值來判斷有效還是非有效，體現不出評價者的主觀態度。然而，如果考慮評價者的主觀態度引入預測變量后又可能使得模型的時間變量數增加，相對DMU個數大更多；最后，在已有模型中，子過程和子時期的權重通常是由外界給定[20]或者根據Liang等人提出的合作博弈思想采取平均權重[27]或者以子過程或子時期效率值在綜合效率中的比值[21]作為權重?？傊?，現有的動態網絡DEA模型主要存在三方面的問題：一是當DMU個數較少時模型分辨力下降的問題；二是評價時不能體現評價者主觀態度的問題，三是子時期和子過程權重的賦值問題。

因此，本文提出了一個基于群決策的加權動態網絡SBM-DEA模型。首先提出“過渡期”這一概念，通過態度參數計算每相鄰兩年之間的最可能值，作為評價者對投入產出變量的主觀預測值，接著分別提出平均值法和生物學領域的指數衰減模型來確定子過程和子時期的權重，最后結合群決策思想來解決動態網絡DEA模型評價效率時分辨力下降的問題。

2 動態網絡SBM-DEA模型

首先，假設有n個決策單元DMUj(j=1,2,…,n)，而且每個決策單元都有K個子過程，其中子過程k的投入變量和產出變量的個數分別用mk和rk表示，子過程k和h之間的相互作用表示為(kh)l，且假設這兩個子過程之間的相互作用的數量可記為Lkh種。另假設∈R+(i=1,2,…,mk;j=1,2,…,n;k=1,2,…,K;t=1,2,…,T)表示的子過程k在時刻t的第i個投入；R+(r=1,2,…,rk;j=1,2,…,n;k=1,2,…,K;t=1,2,…,T)表示的子過程k在時刻t的第r個產出，生產過程中產生的非期望產出當作投入處理。1,2,…,n;l=1,2,…,L(kh);t=1,2,…,T)表示的是 DMUtj的子過程k和h在時刻t的相互作用。來自上一時期的產出變量對決策單元產生的影響記為∈ R+(j=1,2,…,n;l=1,2,…,Qk;t=1,2,…,T-1) ；同理，決策單元對下一時期產生的影響則記為∈R+(j=1,2,…,n;l=1,2,…,t=1,2,…,T),其中Qk、分別表示來自上一時期的產出變量對的影響的數量和它對下一時期產出變量的影響的數量。Wt和wk為子時期和子過程權重，且它們都滿足因此，可構建第 j0個決策單元的效率評價模型如圖1所示。

圖1 效率評價模型

3 基于群決策的加權動態網絡SBM-DEA模型

3.1 過渡期及其投入產出預測

系統的外部環境因素是隨機變化的，評價者的主觀態度會隨著外部環境的變化而變化，當評價者認為外部環境因素為有利時，持樂觀態度，當評價者認為外部環境因素惡化時，會持有悲觀態度，當評價者認為外部環境因素的影響不大時，會持中立的態度。然而，評價者通常在評價決策單元的動態效率時，會直接將相應時期的投入產出數據代入模型進行計算，從而得到決策單元的相對效率，這難以體現出評價者的主觀態度。為此，本文提出了“過渡期”這一概念，將其定義為相鄰兩個時期之間的中間時期，并通過態度參數[29]對過渡期的投入產出數據進行了主觀預測。

定義1設P為基本單位區間（BUM）函數，滿足P:[0,1]→[0,1],P(0)=0，且P(x)為單調函數，Ψ 為非負區間數集，設區間數[aL,aU]∈Ψ ，設a為最可能值，也可稱為三元區間數的“重心”，F:Ψ→R+，若滿足式（1）：

則稱F為連續有序加權平均算子，并稱基本BUM函數P(x)的態度參數。

同時，由公式（1）可以推導出最可能值公式：

由公式（2）可知，當 ξ=0時，FP(a)=aL，最可能值為區間數的下界；當ξ=1時，FP(a)=aU，最可能值為區間數的上界，當 ξ=0.5時，FP(a)=(aU+aL)/2，最可能值為區間數的中值，因此，當ξ∈[0,0.5]時，評價者持悲觀態度，當ξ∈[0.5,1]時，決策者持樂觀態度。此處假設當評價者持悲觀態度時，態度參數ξ取0.2，當評價者持樂觀態度時，態度參數ξ取0.8。

假設要預測決策單元DMUj在第一個過渡期的投首先需要構建一個區間數，其中下界為來自子時期1和2的投入數據的最小值上界為最大值接著代入公式（2）即可求得該區間數據的最可能值，也就是DMUj第一個過渡期的投入預測值。

同理，可以得到其他投入和產出變量在第一個過渡期的悲觀預測值和主觀預測值分別如表1和表2所示。其中投入變量預測值為產出變量預測值為需注意的是上一時期變量對決策單元的影響來自于已知的子時期1，的值是相同的，前者表示第一個過渡期受上一時期的影響，后者表示子時期1對下一時期的影響。同理，可獲得其他“過渡期”的投入產出預測值。

表1 第一個“過渡期”的悲觀預測值

表2 第一個“過渡期”的樂觀預測值

3.2 基于指數衰減確定子時期權重

不同時刻的權重的變化趨勢與生物學和物理學中的指數衰減模型相同，因此，可以通過指數衰減模型[28]來確定不同時刻即各個子時期的權重。

由于本文所涉及的時間類型是離散時間類型，因此設時間集合為Ω=[t1,t2,…,tT]，某一時刻q的權重為wtq，構成集合Wt=[wt1,wt2,…,wtT]，則滿足：

其中C0>0,為常數，0<η<1為衰減系數。且wtq滿足可以解得是公式（3）可以化為：

特別的，當Ω=[1,,2,…,T]，時，公式（4）可以化為：

其中，衰減系數的值是評價者根據不同時刻掌握的信息變化情況來確定的。衰減系數越高，說明越靠近最終時刻的信息對最終結果的影響最大，反之越小。而效率的動態評價問題可以當作群決策問題處理，不同時刻的效率值對最終效率值的影響程度不同，而且越靠近最終時刻，影響程度越大，因此問題就轉化為如何通過衰減公式（5）確定不同時刻的權重，本文在計算時將衰減系數η的值取為0.5。

3.3 基于群決策的加權DNSBM-DEA模型

由3.1節可知，在已知的投入產出基礎上引入過渡期以后，共有(2T-1)組投入產出數據，本文將相鄰的u個時間段看作一個評價者，u可以取2或3，且由于相鄰時期間隔較短，所以本文取平均值1/u作為相鄰子時期的權重，可知評價者共有U個，U=(2T-1)/u。假設各個評價者的權重為w1,w2,…,wd,…,wU，由上可知評價者的權重的關系滿足公式（5）。構建加權動態網絡SBM-DEA模型如模型（6）所示：

4 模型應用及結果分析

4.1 投入產出及數據預測

2007年銀行貸款增長迅速，利差有所擴大，盈利能力大幅提升，不良資產小幅“雙降”，風險狀況基本穩定，此時，假定評價者認為2008年銀行業發展趨勢較好，對下一年的發展持樂觀態度；2008年到2014年間，受金融危機、歐債危機等不良環境因素的影響，假定評價者認為銀行業的發展前景不容樂觀，并對下一年的發展持悲觀的態度。

本文選取營業成本和利息成本為第一階段的投入指標，存款為產出指標；第二階段的投入來源于第一階段的產出即存款，產出指標包括營業收入、利息收入和不良貸款比率，其中不良貸款比率是非期望產出，當作“投入”處理同時來自上一時期的結轉指標采用“上期的不良貸款比率”。數據來源于wind資訊，且已經過GDP平減指數處理。原始的變量描述和引入過渡期后的變量描述如表3所示。

表3 變量的數據描述

由表3可知，各變量的標準差與原始數據幾乎相等，甚至比原始數據的標準差小，而均值和中值則變化稍微明顯：投入變量的均值和中值均有增加的趨勢，產出變量除不良貸款率外都有減小的趨勢，這與本文假設的“自2008年到2014年間受外部不良因素的影響評價者對銀行的發展持悲觀態度”是吻合的。

4.2 模型求解及結果分析

根據上述求解過程，首先從第一個子時期開始，每相鄰的3個時期看作一個評價者，代入動態網絡DEA模型，便可以得到各個評價者的綜合評價值，結果如表4所示。

表4 各評價者的綜合效率評價值

代入公式（5）求得各個評價者的權重分別是0.06、0.1、0.16、0.27、0.41，最后代入模型（6）便可得16家上市銀行的綜合效率值和子過程效率分解值，與原始模型的評價結果對比如表5所示。由表5可知，絕大多數決策單元為有效或效率值接近于1。顯然與本文提出的模型相比，不僅效率值偏高，而且分辨力明顯下降。首先從綜合效率評價值看，有效決策單元的個數由一半以上減少到只有4個，而且通過計算標準差可知，原始模型得到的綜合效率值的標準差為0.018 1，改進后標準差0.050 1，明顯大于0.018 1，說明本文提出的方法解決了上述提到的分辨力下降的問題，證明基于群決策的動態網絡SBM-DEA模型適用于評價個數較少且遠遠小于變量個數的決策單元的相對效率。

表5 中國16家上市銀行的效率評價及效率分解

表6 衰減系數對綜合效率評價值的影響

其次，從表3變量的數據描述可以看出，考慮評價者的主觀態度以后，總體上的投入變量有增加趨勢，產出變量有減少趨勢，即總體呈悲觀態度。從表5可以看出，綜合效率評價值與原始模型得到的評價值相比，總體有所降低，因此，可以認為，考慮評價者的主觀態度以后，得到的評價值更加客觀。此外，前文提到的引入過渡期導致變量增加模型分辨力下降的問題，也通過群決策思想得到了有效解決，從各個決策單元的排名結果也可以看出來。

最后，通過指數衰減模型來確定子時期的權重值，與原始模型的權重確定方法相比較，不僅體現了主觀上認為的各時期權重隨著時間的遞推逐漸減小的看法，而且還具有一定的數學依據，更具有說服力。

4.3 ξ和η對效率值的影響分析

本節分別討論了態度參數和衰減系數對最終效率值的變化情況，結果如表6所示，根據對表6第1欄的評價值對決策單元進行排名，排名結果如表7所示。

表7 衰減系數變化時DMU的排名變化(ξ=0.2)

由表6可知，當態度參數不變，衰減系數發生變化時，最終效率值會隨著衰減系數的變化而變化。先對表6第1列進行分析，發現當態度參數取0.2，衰減系數分別取0.1、0.5和0.8時，各決策單元的排名結果也發生了相應變化，如表7所示。其中，平安銀行、浦發銀行、華夏銀行、光大銀行和中信銀行的排名均隨著衰減系數的增加先前進后退后，說明這些銀行在中間時期的發展較好，而前期和后期則相對較差；寧波銀行、民生銀行交通銀行和中國銀行的排名均隨著衰減系數的增加而退后，說明它們在前期發展較好，而后期則相對較差；招商銀行和興業銀行的發展趨勢則與寧波銀行等正好相反；南京銀行的排名結果變化較為明顯，且后期明顯好于前期的發展；其他銀行如北京銀行、農業銀行和工商銀行等則發展較為穩定。同樣，當態度參數取0.5和0.8時，也可以得到銀行的發展變化情況。

當衰減系數不變，態度參數發生變化時，如表6中的第1列、第4列和第7列所示，可以看出，模型的分辨力依然比原始模型的分辨力要高，且綜合效率評價值隨著態度參數的變化而變化，說明評價的主觀態度影響了決策單元的綜合效率評價值，即本文提出的模型可以體現出評價者的主觀態度。

5 結語

傳統的數據包絡分析模型在進行效率評價時，忽略了評價者的主觀態度。同時，在實際中應用數據包絡分析模型進行效率評價時，如上市銀行效率評價、環境測評及創新效率評價等，決策單元的個數往往是固定且有限的，但為了使得到的評價結果更加客觀和準確，通常需要考慮決策單元的內部網絡結構和多個時期的指標，如此必然會增加投入產出變量的個數，導致變量個數遠遠大于決策單元的個數，出現模型的分辨力下降，效率值偏高的問題。實例結果表明，本文提出的模型可以有效處理這些問題，并且得到的評價值和排名結果都比較理想。

然而，本文是基于規模報酬不變的條件下進行研究的，規模報酬可變的情形則還有待進一步探討。

[1]Charnes A，Cooper W W，Rhodes E.Measuring the efficiency of decision making units[J].European Journal of Operational Research，1978，2（6）：429-444.

[2]Charnes A，Cooper W W，Golany B，et al.Two-phase data envelopment analysis approaches to policy evaluation and management of army recruiting activities：Tradeoffs between joint services and army advertising，Research Report CCS#532[R].Center for Cybernetic Studies，University of Texas-Austin，Austin，TX，1986.

[3]Wang K，Huang W，Wu J，et al.Efficiency measures of the Chinese commercial banking system using an additive two-stage DEA[J].Omega，2014，44（2）：5-20.

[4]Liu Wenbin，Zhou Zhongbao，Two-stage DEA models with undesirable input-intermediate-outputs[J].Omega，2015，56（3）：74-84.

[5]高長宏，鄒楊波.基于三階段網絡DEA模型的中國上市商業銀行效率研究[J].金融經濟，2014，20（34）：89-91.

[6]黃袆，葛虹，馮英浚.基于鏈性系統的關聯網絡DEA模型：以我國14家商業銀行為例[J].系統工程理論與實踐，2009，29（5）：106-114.

[7]陳凱華，官建.共享投入型關聯兩階段生產系統的網絡DEA效率測度與分解[J].系統工程理論與實踐，2011，3（7）：1211-1219.

[8]Kao C.Network data envelopment analysis：A review[J].European Journal of Operation Research，2014，239（1）：1-16.

[9]Klopp G A.The analysis of the efficiency of production system with multiple inputs and outputs[D].University of Illinois，Industrial and System Engineering College，Chicago，1985.

[10]F?re R，Grosskopf S，Norris S，et al.Productivity growth，technical progress and efficiency change in industrialized countries[J].American Economic Review，1994，84（1）：66-83.

[11]F?re R，Grosskopf S.Inter-temporal production Frontiers：With dynamic DEA models[J].Norwell：Kluwer，1996.

[12]Park K S，Park K.Measurement of multi period aggregative efficiency[J].European Journal of Operational Research，2009，193（2）：567-580.

[13]Sueyoshi T，Sekitani K.Returns to scale in dynamic DEA[J].European Journal of Operational Research，2005，161（2）：536-544.

[14]Tone K.Dynamic DEA：A slacks-based measure approach[J].Omega，2010，38（10）：145-156.

[15]Chen C M.network-DEA：A model with new efficiency measures to incorporate the dynamic effect in production networks[J].European Journal of Operational Research，2009，194（3）：687-699.

[16]Nemoto J，Goto M.Dynamic data envelopment analysis modeling intertemporal behavior of a firm in the presence of productive inefficiencies[J].Economic Letters，1999，64（1）：51-56.

[17]Nemoto J，Goto M.Measuring dynamic efficiency in production：An application of data envelopment analysis to Japanese electric utilities[J].Journal of Productivity Analysis，2003，19（2/3）：191-210.

[18]Keikha Javan S，Rostamy Malkhalifeh M.Non radial modelofdynamicDEA with theparallelnetwork structure[J].International Journal of Data Envelopment Analysis，2013，1（2）：107-118.

[19]Kordrostami S，Azmayandeh O，Bakhod Z，et al.The new model in interval dynamic network DEA for parallelproduction system：An illustration with Iranian banks[J].Indian Journal of Science and Technology，2013，6（1）：44-53.

[20]Tone K，Tsutsui M.Dynamic DEA with network structure：A slacks-based measure approach[J].Omega，2014，42（1）：124-131.

[21]Bai Xuejie，Yan Wenkai，Chiu Y H.Performance evaluation of Chinese Hi-tech zones in the post financial crisis era-Analysis based on the dynamic network SBM model[J].China Economic Review，2015，34（4）：122-134.

[22]Avkiran N K.An illustration of dynamic network DEA in commercial bank including robustness tests[J].Omega，2015，55：141-150.

[23]Zha Yong，Liang Nannan，Wu Maoguo，et al.Efficiency evaluation of banks in China：A dynamic two-stage slacks-based measure approach[J].Omega，2016，60（12）：60-72.

[24]Herrera-Restrepo O，Triantis K，Trainor J，et al.A multiperspectivedynamicnetwork performanceefficiency measurementofanevacuation：A dynamicnetwork-DEA approach[J].Omega，2016，60（4）：45-59.

[25]Yu M M，Chen L H，Bo H.Dynamic performance assessment of bus transit with the multi-activity network structure[J].Omega，2016，60（6）：15-25.

[26]Kou Mingting，Chen Kaihua，Wang S，et al.Measuring efficiencies of multi-period and multi-division systems associated with DEA：An application to OECD countries’nationalinnovation systems[J].ExpertSystemswith Applications，2016，46（10）：494-510.

[27]陳磊，王應明.基于松弛變量方法的動態網絡松弛效率測度及分解[J].系統科學與數學，2015，35（3）：361-370.

[28]毛軍軍，姚登寶，陳華友，等.基于時序模糊軟集的群決策方法[J].系統工程理論與實踐，2014，34（1）：182-189.

[29]Yager R R.OWA aggregation operator：A continuous interval argument with application to decision making[J].IEEE Transactions on Systems，Man and Cybernetics：Part B Cybernetics，2004，34（5）：1952-1963.