基于五桿機構的3D打印頭傳動設計與軌跡控制

秦念對，林 松，戴小兵

（同濟大學 中德學院，上海 201804）

0 引言

3D打印是指通過數字化增加材料的方式逐層實現結構件的制造[1]。其中熔融沉積型（FDM）3D打印機使用最為廣泛，其工作原理是將熱塑性絲狀材料逐層涂覆在零件的截面上冷卻成型。目前除少數FDM型3D打印機使用串聯機構或Delta并聯機構外[2]，多數采用正交三坐標結構。三坐標結構控制簡單，但由于打印頭需要橫梁、光軸導軌的支撐和引導，內部打印空間受到較大限制，且同步齒型帶的磨損老化以及導引機構的慣性會影響打印精度；在一些需要懸臂工作的場合：如型腔內部加工、單邊離岸打印、變角度打印等工況下，三坐標結構由于受到外部框架的限制而難以勝任。針對這一問題，本文設計了一種二自由度五桿機構作為3D打印頭的平面傳動機構。

二自由度五桿機構具有并聯機構慣性小、剛度大、靈活性好、結構緊湊的優點，同時作為一種可控機構可以精確實現復雜軌跡。目前五桿機構軌跡控制的方法主要有齒輪連桿法[3]、點陣調校法[4]、逆運動學解析法[5～7]。齒輪連桿法本質上鎖定兩主動桿的傳動比，點陣調教法是將運動空間內點陣坐標與兩主動轉角相對應，兩者均無法保證任意軌跡的生成；逆運動學解析法是通過末端執行點位置反解所需的主動轉角，雖能保證相鄰兩插補點的位置精度，但很難保證插補點之間的速度恒定，難以滿足3D打印頭均勻送料的要求。本文提出一種基于瞬心速度轉置法的速度環控制方法，通過MATLAB仿真，驗證了該方法能有效控制位置誤差和速度波動。該研究有助于改善3D打印機的空間利用率與工藝特性，所用控制方法在工業機器人、高速分揀、激光切割等領域有廣闊的應用前景。

1 3D打印機設計建模及運動分析

1.1 五桿機構簡圖尺寸與末端可達區域關系

3D打印的三維空間運動可分解為平面二維運動和垂直該平面的一維運動。本文采用平面五桿機構作為平面二維運動的執行機構。如圖1所示，取兩連桿的交點C作為打印頭的安裝點。為研究C點的理論運動范圍，假想五桿機構從鉸鏈C斷開為左支鏈LABC和右支鏈LEDC，C點在左支鏈的運動范圍是以A為圓心，兩桿之和RA=L2+L3、兩桿之差的絕對值rA=|L3-L2|分別為半徑的同心圓環SA。同理，C也在右支鏈RE=L4+L5和rE=|L5-L4|組成的同心圓環SE內。左右兩圓環的交集為C點的理論可達區Sc，如圖2所示。

圖1 五桿機構簡圖

圖2 五桿機構支鏈運動空間圖解

為研究Sc與機構尺寸的關系，本文選用Morphologischer Kasten[8]方法，列出左右支鏈尺寸和機架變化時理論可達區的形態矩陣，如表1所示。

橫向比較表1可知，當機架減小時，除rA＞RE情況外，理論可達區呈增大趨勢；縱向比較可知，當各桿長趨于相等時，理論可達區呈增大趨勢。當L_1=0時，最大理論可達區為桿長之和的較小值與桿長之差的較大值圍成的圓環，其數學表達式為：

最大可達區面積Scmax=[min(2L2,2L4)]2×π，由L2，L4中較短桿決定，當L2=L4時材料最省。綜上，令L1=0，L2=L3=L4=L5，可得最大理論可達區。

1.2 五桿機構尺寸設計

雖然同心五桿機構的理論可達區為一個完整的圓，但考慮到構件整周轉動時與機架的干涉，僅選擇理論可達區SC的一半進行工作空間設計，記為理論可達半區SH。由于安裝條件的限制，機架上兩驅動電機的軸距往往不嚴格為零，本文將機架長度設為可調，以研究五桿機構的一般性規律。以一臺典型三坐標3D打印機的矩形打印空間320mm×200mm為參照，根據表1右下角構型計算矩形外接半圓的半徑為256.12mm，則桿長的最小值為128.06mm?？紤]到邊界冗余量，取活動桿長L2=L3=L4=L5=150mm；將機架L1設為在[0,150mm]范圍內可調，如圖3所示，虛線表示機架調節至同心時的構型。

圖3 變機架五桿機構簡圖

表1 五桿機構理論可達區與支鏈變化形態矩陣

1.3 打印機結構設計

3D打印機的三維設計如圖4所示，工作臺1安裝在立式臺架2上。打印頭12安裝在五桿機構11的連桿末端，五桿機構的兩連架桿由豎直方向錯開布置的兩臺伺服電機9、14分別驅動。為使機架長度可調，使用正反雙向螺桿8連接兩電機所在的支撐板10、13，兩電機軸距最小可調整為零。整個運動平臺5、6、7可在螺旋推進裝置的驅動下沿直線導軌3、4做豎直方向移動。

圖4 打印機三維結構示意圖

1.4 基于五桿機構的3D打印機運動分析

1.4.1 奇異性規避策略與唯一解定義

為便于五桿機構的驅動與控制，需要避免理論可達半區存在的奇異位置。如圖5所示，五桿機構的正解（已知θ2、θ5求C點坐標）有兩解，對應構型為{A,B,C,D,E}和{A,B,C',D,E}；五桿機構的反解（已知C點坐標求θ2、θ5）有四解，對應構型分別為：{A,B,C,D,E}；{A,B,C,D',E}；{A,B',C,D',E}；{A,B',C,D,E}。多解之間的過渡會通過相鄰桿共線的構型，運動空間和特性會發生不確定性，導致五桿機構的奇異性。為保證3D打印機運動的連續性和控制的可靠性，分析所有構型可知，僅需定義“凸五邊形”構型為唯一實解，即可同時保證正解和反解都有唯一解{A,B,C,D,E}，便于后續控制算法的擬定。

1.4.2 最佳打印區定義

當機架AE不為零時，需考慮避開兩連桿共線時的位置以避免電機的運動干涉。如圖6所示，機架以上部分為理論可達半區SH；在BCD三點保持共線時轉動兩主動桿，C點產生的軌跡所包圍的區域定義為打印奇異區SS；打印奇異區以外的理論可達區定義為實際可達區SR；而為適應打印空間的規則性，定義圖示連桿共線時BD上方內接四邊形為最佳打印區SP。用線性規劃的方

圖5 五桿機構兩個正解與四個反解

式不難得到SP的最大面積。

圖6 打印空間定義

特別的，當機架AE=0時，打印奇異區將消失，且理論可達上、下半區將聯通為實際可達區。打印奇異區的高度與AE長度的關系如表2所示。

2 基于瞬心速度轉置法的五桿機構軌跡控制

五桿機構軌跡控制任務是根據打印頭的位置和速度要求，控制兩主動桿的角速度及其轉向完成預定軌跡。常見的軌跡控制方法有位置環控制和速度環控制。位置環控制原理上基于五桿機構運動學逆解，求解過程較為復雜，且無法保證插補點之間的恒定速度。本文提出一種基于瞬心速度轉置的速度環控制方法[9]。

假設C點以3D打印的恒定速度VC向目標點P做勻速直線運動，表3以P點在上下左右(a,b,c,d)四個方位為例研究轉置速度。由于B、C兩點同在L3上，可求出L3的速度瞬心P31，同理求出L4的速度瞬心P41。將VC順時針旋轉90°得轉置速度VC，過VC'矢量終點分別作L3、L4的平行線交L2、L5得轉置速度Vb'，Vd'，再將兩轉置速度Vb'，Vd'分別繞B、D逆時針回轉90°得到B、D的真實速度Vb，Vd。

表2 打印奇異區高度與機架變化表

表3 瞬心速度轉置變化對比

已知打印頭運行速度Vc的大小，可用運動分析的方式求出Vb，Vd的線速度大小，進而求出兩主動桿所需的角速度大小。為直觀判斷主動桿的轉向。分析表3可知：當轉置速度的矢量終點落在連架桿上，即|AVx'|

圖7 五桿機構瞬心速度轉置法控制流程圖

3 MATLAB軌跡控制仿真與誤差分析

3.1 圖案打印測試與位置偏差分析

為驗證上文提出的基于瞬心速度轉置的速度環軌跡控制方法的正確性，編寫MATLAB控制代碼[10]。設置工進和快進兩種運動模式，快進時打印頭快速到達目標點，不留下運動軌跡；工進時速度較慢，保留打印頭C點產生的軌跡。通過實時刷新五桿機構各鉸鏈位置的折線圖來模擬五桿機構的動畫效果。

圖8 MATLAB圖案打印仿真與位置誤差分析

該程序實現的功能為：使用瞬心轉置算法控制兩主動轉角完成一幅由直線、圓弧、字母和文字等測試元素構成的“同濟小屋”圖案，如圖8(a)所示；在運動過程中實時監測C點實際位置與理論位置的偏差，繪出已生成曲線和理論曲線之間的標準差的平均值，如圖8(b)所示，當前軌跡段運行時位置偏差的標準差，如圖8(c)所示和整個軌跡段運行時位置偏差的標準差，如圖8(d)所示。實線表示工進，灰度線表示快進。

分析圖8可知：快進時標準差通常比工進時更大，這意味著打印速度提高時，控制精度降低；當打印頭接近打印區邊界時誤差較大，打印時應盡量選擇中間區域；當速度方向發生突變時誤差較大，在零件建模時可考慮轉折點的平滑過渡。

在忽略邊界點和轉折點誤差的情況下，每段軌跡的局部偏差的標準差控制在0.01左右，全局軌跡段偏差的標準差在0.05左右，說明標準差峰值主要由軌跡段之間的切換引起。仿真結果證明，瞬心速度轉置法可控制五桿機構末端執行點在整個打印可達區完成任意預定軌跡，且位置誤差得到有效控制。

3.2 速度環控制與位置環控制對比

為研究本文提出的瞬心速度轉置法相對于傳統控制法控制效果的優劣，使用基于運動學逆解的位置環控制與基于瞬心轉置法的速度環控制兩種方法分別繪制圖8(a)所示的“同濟小屋”圖案。調用MATLAB函數將兩種方法產生的位置數據導入Excel，通過打印頭每個時刻的位置變化求其平均速度。

3.2.1 位置偏差對比

表4 位置偏差對比

由表4可知，速度環控制時，工進路段的位置偏差標準差平均值為0.02，最大值為0.4；位置偏差波動較小。快進路段的標準差平均為0.22，最高值為4.47。偏差峰值集中在轉折區和打印邊緣區，且最大誤差對打印速度較為敏感。

位置環控制時，工進路段的位置偏差標準差平均值約為0.012，最大值為0.893，約為速度環控制的兩倍。且最大偏差并非發生在轉折區或打印邊緣區等特殊位置。綜合比較看來，速度環控制在位置精度上略遜于位置環控制，但可以有效控制位置誤差的突變。兩方法都可以保證較高的位置精度，綜合控制效果相差不大。

3.2.2 速度偏差對比

由表5可知：速度環控制時，速度相對偏差較小，主體部分穩定在1%左右，平均值為0.20%，最大值為9.32%，峰值發生在轉折區或邊緣區。

表5 速度偏差對比表

位置環控制時，速度的相對偏差大于速度環控制，主體穩定在10%范圍內，平均值為1.20%，最大波動可達70%，這對打印頭均勻噴涂的平穩性要求較為不利。在速度波動對比中，本文提出的速度環控制方法具有顯著優勢。

4 結論

本文研究了五桿機構作為3D打印頭平面傳動機構的可行性，建立了五桿機構尺寸與其平面運動特性的關系模型，并設計了最佳打印區。針對3D打印對位置和速度精度的要求提出一種基于瞬心速度轉置法的五桿機構軌跡控制方法，并編寫了MATLAB控制程序。仿真結果表明：該方法能有效控制五桿機構在任意軌跡上勻速運動，位置精度和速度波動的綜合評價指標優于傳統位置環控制方法。

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